2022-2023学年湖南省邵阳市武冈市九年级（下）期中数学试卷(含解析）

2022-2023学年湖南省邵阳市武冈市九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.下列图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.粮食是人类赖以生存的重要物质基础，年我国粮食总产量创历史新高，达万亿斤，该数据可用科学记数法表示为( )
A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤
4.某次比赛共有位选手参加角逐争取个晋级名额，已知他们的分数互不相同，小张要判断自己是否能够晋级，只要知道下列名选手成绩统计量中的( )
A. 众数 B. 方差 C. 中位数 D. 平均数
5.由个大小相同且边长为小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 主视图的面积最小 B. 左视图的面积最小
C. 俯视图的面积最小 D. 三个视图的面积相等
6.如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.若一个圆锥的母线长是它底面半径的倍，则它的侧面展开图的圆心角等于( )
A. B. C. D.
9.若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
10.如图是二次函数为常数图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：；：；为实数；当时，，其中正确的有( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.因式分解：______．
12.已知，为实数，且，则
13.据有关测定，气温处于人体正常体温的黄金分割比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为______结果保留整数．
14.已知正比例函数与反比例函数的图象都过点，另一个交点的坐标为______．
15.如图，的直径，是的弦，，垂足为，且：：，则的长为______．
16.如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，若使，则的取值范围是______．
17.如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为 ．
18.在矩形中，，，平分，过点作于，延长、交于点，那么下列结论：；；；其中正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
已知：如图，是的边上一点，，交于点，．
求证：；
若，求证：四边形是矩形．
22.本小题分
某中学积极落实国家的“双减”教育政策，决定增设：跳绳；书法；舞蹈；足球四项课外活动来促进学生全面发展，学校面向七年级参与情况开展了“你选修哪项活动”的问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
本次调查中，一共调查了 名同学；
条形统计图中， ， ；
扇形统计图中，书法所在扇形的圆心角的度数 ；
小红和小强分别从这四项活动中任选一门参加，求两人恰好选到同一门课程的概率用树状图或列表法解答．
23.本小题分
冬天是吃羊肉的好时节．白萝卜炖羊肉，不仅鲜美可口，对慢性支气管炎、脾虚积食等病症有补益效果．所以一到冬天，羊肉就是各大超市的畅销品．某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了斤羊腿，斤羊排，一共花了元；顾客乙买了斤羊腿，斤羊排，一共花了元．
羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？
第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共斤，且羊腿的重量不少于斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利元，每斤羊排可盈利元，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？
24.本小题分
小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度，小亮通过操控器指令无人机测得桥头，的俯角分别为，，且，，在同一水平线上．已知桥米，求无人机飞行的高度精确到米．参考数据：，
25.本小题分
如图，点是以为直径的上一点，过点作的切线，交的延长线于点，是的中点，连接并延长与的延长线交于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．
26.本小题分
如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为线段上的动点．
求抛物线的解析式；
求的最小值；
过点作交抛物线的第四象限部分于点，连接，，记与面积分别为，，设，求点坐标，使得最大，并求此最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义即可得到结论．
本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
3.【答案】
【解析】解：万亿斤斤斤．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键．
4.【答案】
【解析】解：由题意可得，名选手的成绩按照从小到大进行排序，中位数及中位数之后有个数，
所以只需要知道自己的成绩以及所有选手成绩的中位数，就能够判断是否能够晋级；
故选：．
有位选手参加角逐争取个晋级名额，晋级的选手肯定是得分高的名选手，对名选手的成绩按照从小到大进行排序，中位数及中位数之后有个数，知道自己的成绩以及所有选手成绩的中位数即可判定是否能够晋级．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
5.【答案】
【解析】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，主视图的面积是；
从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图的面积为；
从上边看上面一层是三个小正方形，下面一层是一个小正方形，俯视图的面积是，
左视图面积最小，故B正确，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
6.【答案】
【解析】解：设，则，，
在直角三角形中，，
解之得，．
故选C．
根据折叠前后角相等可知≌，利用勾股定理可求出．
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
7.【答案】
【解析】解：如图：连接，
由题意得：，
，
，
，
是直角三角形，
，
在中，，，
，
故选：．
连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设底面半径为，则母线为，
则，
解得．
故选A．
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得．
圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，此扇形的半径等于圆锥的母线长．
本题就是把圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，也考查了一次函数的性质．
利用一次函数的性质得到，，再判断，从而得到方程根的情况．
【解答】
解：一次函数的图象不经过第二象限，
，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴在轴的右侧，交轴的正半轴，
，，，
则，故正确；
，
，故正确；
，
，
当时，，
，
，
故错误；
根据图象知，当时，有最小值；
当为实数时，有，
所以为实数．
故正确；
函数图象与轴的交点没有具体说明交点的坐标，
当时，不一定成立，故错误，
正确的是，
故选：．
根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
11.【答案】
【解析】【分析】
先提公因式，分解成，而可利用平方差公式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
【解答】
解：．
故答案为．
12.【答案】或
【解析】解：由题意得，
解得，
，
或．
故答案为或．
根据一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为可得可能的值，进而得到的值，相减即可．
本题考查二次根式有意义的相关计算；得到可能的值是解决本题的关键；用到的知识点为：一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为．
13.【答案】
【解析】解：设这个气温为，
由题意得：，
解得：，
这个气温约为，
故答案为：．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：将点代入反比例函数得，，
解得，
所以，点的坐标为，
将点代入正比例函数得，，
解得，
所以，正比例函数解析式为，
联立，
解得为点，舍去，，
所以，另一个交点的坐标为．
故答案为：．
将点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，从而得到点的坐标，再代入正比例函数解析式求出值，然后联立两函数解析式解方程组即可得解．
本题考查了反比例函数函数与一次函数的交点问题，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，利用反比例函数求出点的坐标是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：的直径，
，
：：，
，
，
连接，
，
，，
，
．
故答案为：．
先根据的直径求出的长，再根据：：得出的长，进而得出的长，连接，根据勾股定理求出的长，再根据垂径定理即可得出结论．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．
根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围即可．
【解答】
解：根据图形，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，．
故填或．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题，明确当、、在一条直线上时有最小值是解题的关键．
作点关于的对称点，则，，由两点之间线段最短可知当、、在一条直线上时，有最小值，然后求得的长度即可．
【解答】
解：作点关于的对称点，则，，连接交于点．
．
由两点之间线段最短可知：当、、在一条直线上时，的值最小，此时．
四边形为菱形，周长为，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
的最小值为．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】解：矩形，
，，，，，
，
，，由勾股定理得：，
，
是等边三角形，
，，
平分，
，
，
，
，正确；
，，
，
，
，
，正确；
和不垂直，，错误；
，，
，
，正确．
故答案为：．
根据勾股定理求出，推出，得到等边三角形，推出，，求出，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出，根据三角形外角性质求出，推出，，根据矩形性质推出即可求出答案．
本题主要考查对等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，矩形的性质，平行线的性质，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
19.【答案】解：
．
【解析】根据绝对值，零指数幂，负整指数幂以及特殊角的三角函数值求解即可．
此题考查了实数的有关运算，涉及了绝对值，零指数幂，负整指数幂以及特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
20.【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【解析】将被除式分子、分母因式分解、把除法转化为乘法，再约分计算乘法，最后计算减法即可化简原式，继而把的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
21.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
；
，，
，
，
由知四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
【解析】根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后判定四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出，再根据等角对等边可得，然后证明，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形与矩形之间的关系，并由第一问求出四边形是平行四边形是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：名．
故答案为：．
，
．
故答案为：；．
．
故答案为：．
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程的结果有种，
两人恰好选到同一门课程的概率为．
用参与项课外活动的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数．
用乘以可得的值，用可得的值．
用乘以本次调查中书法所占的百分比，即可得出答案．
画树状图得出所有等可能的结果数和两人恰好选到同一门课程的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
23.【答案】解：设羊腿的售价每斤为元，羊排的售价每斤为元，根据题意，得：
，解得，
答：羊腿和羊排的售价分别是元，元；
设购进羊腿斤，这批羊肉卖完时总获利为元，
根据题意，得：，
，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，，
此时，斤，
答：超市老板应该购进斤羊腿，斤羊排，才能使得这批羊肉卖完时获利最大，最大利润是元．
【解析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
根据题意可以列出二元一次方程组，解方程组即可求出羊腿和羊排的售价；
设购进羊腿斤，这批羊肉卖完时总获利为元，根据题意得出与的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
24.【答案】解：，，
，，
，，
，
米．
【解析】由、可得出、，进而可得出、，再结合米即可求出的长度．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形找出、是解题的关键．
25.【答案】解：如图，连接，，
为的直径，
，
在中，，
，
，
是的切线，
，
，
又，
，
为的切线；
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【解析】连接，由为的直径得，根据知、由知，根据是的切线得，即，得证；
根据直角三角形的性质得到，，求得，得到，根据三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：抛物线交轴于，两点，
设，
将代入得，
解得，
，
抛物线的解析式为；
如图，作点关于直线的对称点，连接，，，，
，，
，
、关于直线对称，
垂直平分，
，
四边形为菱形，
又，
四边形是正方形，
坐标为，
在中，，
，，
，
即点位于直线与直线交点时，有最小值；
设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线的解析式为，
，
直线的解析式可设为，
设点坐标为，
代入直线的解析式得，
解得，
直线的解析式为，
联立方程组得
解得
点坐标为，
由题意，
，都在第四象限，
，的纵坐标均为负数，
，
由题意得，
当时，最大，最大值为
此时点坐标为
【解析】运用待定系数法设，将代入，即可求得答案；
如图，作点关于直线的对称点，连接，，，，由、关于直线对称，得出四边形是正方形，根据，，即可得出答案；
运用待定系数法求出直线、、的解析式，设，联立方程组，得，求得，再运用三角形面积公式求得答案．
本题考查二次函数综合．
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