2022-2023学年江西省南昌十九中高二（下）期中数学试卷(含解析）

2022-2023学年江西省南昌十九中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数在处的导数为，则( )
A. B. C. D.
2.下列求导数运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
3.设为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
4.足球训练中点球射门是队员练习的必修课，经统计，某足球队员踢向球门左侧时进球的概率为，踢向球门右侧时进球的概率为若该球员进行点球射门时踢向球门左、右两侧的概率分别为、，则该球员点球射门进球的概率为( )
A. B. C. D.
5.随机变量的概率分布为，其中是常数，则( )
A. B. C. D.
6.若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
7.今年元旦，市民小王向朋友小李借款万元用于购房，双方约定年利率为，按复利计算即本年利息计入次年本金生息，借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是
万元四舍五入，精确到整数参考数据：，，( )
A. B. C. D.
8.对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲罐中有个红球，个白球，个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，，表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.设数列的前项和为，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
11.下列说法正确的有( )
A. 已知一组数据，的方差为，则的方差也为
B. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 已知随机变量服从二项分布，若，则
12.已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则( )
A. 为单调递增的等差数列 B.
C. 为单调递增的等比数列 D. 使得成立的的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设数列满足，且，数列的通项公式为 ．
14.已知函数，则______．
15.假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过的概率为，则的值为______．
参考数据：若，则；；
16.如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线设原正三角形图的边长为，将图，图，图，图中的图形周长依次记为，，，，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，，求的面积为坐标原点；
求与曲线相切，并过点的直线方程．
18.本小题分
已知数列是由正数组成的等比数列，且，．
求数列的通项公式；
设数列满足，求数列的前项和．
19.本小题分
数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
记数列，求数列的前项和．
20.本小题分
金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生新生接待其实也是和社会沟通的一个平台校团委、学生会从在校学生中随机抽取了名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如表：
愿意 不愿意
男生
女士
根据上表说明，能否有把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；
现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取人若从这人中随机选取人到火车站迎接新生，设选取的人中女生人数为，写出的分布列，并求．
附：，其中．
21.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，点、分别是和的中点，设，，直线与直线所成角为．
求证：平面平面；
求二面角的平面角的正切值．
22.本小题分
已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，，四边形的周长为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设斜率为的直线与轴交于点，与椭圆交于不同的两点，，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若的面积为，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据导数的定义得：
函数在处的导数为，
则
．
故选：．
根据导数的定义，转化为导数表达式能求出结果．
本题考查导数的定义、性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于选项，，故A错误；
对于选项，，故B正确；
对于选项，，故C错误；
对于选项，，故D错误．
故选：．
根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求解即可．
本题考查导数的运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，，，
，
解得．
则．
故选：．
利用等差数列的求和公式与通项公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据该球员点球射门进球的可能情况，即踢向球门左、右两侧时都有进球的可能，由此求得答案．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
5.【答案】
【解析】解：，
，，，
又，
，
解得，
，，，
．
故选：．
由可求出的值，再结合离散型随机变量的期望公式求解．
本题主要考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：当点是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时，点到直线的距离最小，
由，得，
由，解得，故点的坐标为，
点到直线的距离的最小值为．
故选：．
问题转化为曲线的切线中与直线平行的直线的切点到直线的距离，再由点到直线的距离公式求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：设每次还款额为万元，由题意可得，
，
，，
，解得．
故选：．
设每次还款额为万元，根据复利计算可知，，解出方程，即可求解．
本题主要考查了函数的实际应用，以及复利计算问题，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了新定义、等差数列的通项公式与单调性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由题意，可得，则数列为等差数列，对任意的恒成立可化为，，求解即可．
【解答】
解：由题意，，
则，
当时，，
则，
则，对也成立，
故，
则，
则数列为等差数列，
由易知有最大值，所以数列的公差小于，
故对任意的恒成立可化为
，；
即
解得，，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，，，
，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
根据条件概率、全概率计算公式等知识计算求解．
本题考查命题真假的判断，考查条件概率、全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：当，时，，所以，
因为，所以是首项为，公比为的等比数列，则，故 A正确；
当，时，，即因为，所以，
则，故B错误；
当，时，，因为，所以，，
所以是周期为的周期数列，则，故C错误；
当，时，，则，即．
因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，故D正确．
故选：．
将选项中的、值代入题中式子，判断数列类型，根据数列类型求解即可．
本题主要考查了等比数列的性质，考查了数列的递推式，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于：已知一组数据，的方差为，则的方差为，故A错误；
对于：对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，故，解得，故B正确；
对于：已知随机变量服从正态分布，若，则 ，故C正确；
对于：已知随机变量服从二项分布，所以，若，则，故D正确．
故选：．
直接利用均值和方差的关系式及正态分布的性质判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：均值和方差的关系式，正态分布的关系式的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数与数列的综合，考查导数的运算，等比数列的通项公式、性质及前项和公式，属于中档题．
对求导，及等比数列的性质即可求得，由，可得，即可判断选项B；由等差数列的定义即可判断选项A；由等比数列的前项和公式可得数列的通项公式，从而可判断选项C；由，且，结合不等式的性质即可判断选项D．
【解答】
解：函数，
则，
因为，所以，
由等比数列的性质可得，
所以，所以，
由，可得，故B正确；
因为等比数列首项，公比为，所以，
则，
故为单调递减的等差数列，故A错误；
设，
则为常数，
因为，所以，单调递减，
所以为单调递增的等比数列，故C正确；
因为，且，
所以，，
所以使得成立的的最大值为，故D正确．
故选BCD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根据数列的递推公式求通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用当时，利用累加法求出，注意验证是否满足．
【解答】
解：数列满足，且，
当时，
，
当时上式也成立，
数列的通项公式为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：，
，
令，则，
，
故答案为：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
15.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，，，
，
由正态分布的对称性，
可得
，
故答案为：．
先求出均值和标准差，适合范围内取值在内，再由正态分布的对称性求解即可．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查学生的计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列，
从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的倍，边长是相邻前一个图形的，
因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有，
因此数列是首项，公比为的等比数列，
所以，，
所以．
故答案为：．
观察图形可知周长形成的数列是首项，公比为的等比数列，即可求解作答．
本题主要考查了归纳推理，考查了等比数列的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由题意：，，
又，所以曲线在点处的切线方程为：，
即，
所以，，
所以的面积为：；
设切点为，则，又，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，解得，
此时切线的斜率为：，
所以切线方程是：，即．
【解析】求出导函数以及切线方程，进而求出，的坐标，即可求解结论，
设切点，求出切线方程，根据切线过即可求解结论．
本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题．
18.【答案】解：设等比数列的公比为，
由，得，
即，解得或舍去，
又，，解得，
所以；
，
所以
．
【解析】设等比数列的公比为，由已知可得，可求公比，进而可得首项，进而可求数列的通项公式；
，利用分组求和法可求数列的前项和．
本题考查求等比数列的通项公式，考查利用分组求和法求数列的前项和，属中档题．
19.【答案】解：由题意，当时，
，
化简整理，得，
当时，，解得，
即当时，也满足上式，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，．
由可得，，
则，
，
两式相减，
可得
，
．
【解析】根据题干已知条件并结合公式进行推导得到，再将代入进行验证，即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，从而计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前项和．
本题主要考查求数列的通项公式，以及数列求和问题，考查了分类讨论思想，转化与化归思想，错位相减法，等比数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
20.【答案】解：的观测值，
有的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．
根据分层抽样方法得：男生有人，女生有人，
选取的人中，男生有人，女生有人．
则的可能取值有，，，，
，
，
，
，
的分布列为：
．
【解析】求出的观测值，即可判断是否有的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．
的可能取值有，，，，求出概率，得到的分布列，然后求解期望．
本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题．
21.【答案】证明：平面，又平面，
故，
又，
，，、平面，
平面，
又，是、的中点
，平面，
又平面，
面面；
解：平面，平面，所以，
又，，、平面，
所以平面，
又平面，
，又，平面平面，
从而为二面角的平面角，
直线与直线所成的角为
过点作于点，连接，
则，则，
在中，由勾股定理得，
在中，．
在中，．
故二面角的正切值为．
【解析】本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．
根据线面垂直的判定定理可知平面，而，从而面，即可证明；
易证，，从而为二面角的平面角，过点作于点，连接，在中，由勾股定理求得，在中求出，在中，求出答案即可．
22.【答案】解：Ⅰ依题意可得，解得，
椭圆的方程为；
Ⅱ依题意，可设直线的方程为，
，，
联立方程，可得，
，即，
，，
在直线的方程中，令，得，得，
依题意得，得直线的方程为，
令，得，
，
，
，解得．
的值为．
【解析】Ⅰ依题意可得，求解即可；
Ⅱ可设直线的方程为，联立方程组可得，，求得的方程，进而可得，计算可得结论．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，属中档题．
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