2022-2023学年广东省韶关市新丰一中高一（下）期中数学试卷(含解析）

2022-2023学年广东省韶关市新丰一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是( )
A. B. C. D.
3.若，且，那么( )
A. B. C. D.
4.若向量与向量不相等，则与一定( )
A. 不共线 B. 长度不相等 C. 不都是单位向量 D. 不都是零向量
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.在正方体中，直线与直线的位置关系为( )
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 不确定
7.铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种清朝时的一枚“嘉庆通宝”如图所示，它的形状为一个圆的中心挖去一个正方形，则其绕旋转轴虚线旋转一周，形成的几何体是( )
A. 一个球 B. 一个球挖去一个圆柱
C. 一个圆柱 D. 一个球挖去一个正方体
8.在平行四边形中，对角线与交于点，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，则( )
A. B.
C. D.
10.若复数为纯虚数，则( )
A. 为实数 B. 为实数 C. 为实数 D. 为实数
11.下列四个命题中正确的是( )
A. 若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面
B. 若两条直线相交，则这两条直线确定一个平面
C. 若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
D. 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
12.函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有( )
A. 的最小正周期为
B. 是的最小值
C. 在区间上的值域为
D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知为虚数单位，则在复平面上对应的点在第______象限．
14.已知向量，，若与共线且方向相反，则 ．
15.需要测量某塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为______米
16.如图，矩形的长为，宽为，是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则四边形的周长为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知复数，．
若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围；
若是纯虚数，求的值．
18.本小题分
已知正三棱柱的底面边长为，棱长为，在边上，．
求该三棱柱的体积与表面积；
求三棱锥的体积．
19.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的单调递减区间；
求在区间上的最大值与最小值．
20.本小题分
已知向量，，向量，的夹角为．
求的值；
求．
21.本小题分
在中，角、、所对应的边分别为、、，且，，求：
的值；
和的面积．
22.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且，，．
求；
求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨慢是逆时针旋转，
钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为．
故选：．
利用分针转一周为分钟，转过的角度为，得到分针是一周的三分之一，进而可得答案．
本题考查弧度的定义，一周对的角是弧度．考查逆时针旋转得到的角是正角，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：方法一：
，，
又，，，
．
方法二：
，，，
．
故选：．
先由同角三角函数平方关系求出，再由二倍角公式求解即可，也可由特殊角的三角函数值求解．
本题考查了二倍角的正弦公式，正余弦函数的平方关系，特殊角的三角函数值，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：若都是零向量，则；
与一定不都是零向量．
故选：．
显然可看出，与不相等时，与可以共线，可以长度相等，可以都是单位向量，但不能都是零向量，只能选D．
考查向量和相等向量的概念，共线向量、单位向量和零向量的理解．
5.【答案】
【解析】解：，
，
则．
故选：．
对所求式子利用诱导公式进行化简，再利用弦化切即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：平面，
又平面，
平面，，
与为异面直线．
故选：．
由异面直线的判断方法可直接得到结论．
本题考查异面直线的判定，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，圆旋转形成的球，正方形旋转形成的是圆柱，
则旋转后形成的几何体为一个球挖去一个圆柱．
故选：．
由旋转体的概念知该几何体是一个球挖去一个圆柱剩余的部分，即可得答案．
本题考查旋转体的定义，注意球、圆柱等常见旋转体的结构特征，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
利用平面向量的线性运算法则求解．
本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，，
对于，，故与不平行，故A错误；
对于，，故，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，故D正确；
故选：．
利用向量的坐标运算对选项一一求解即可．
本题主要考查了向量的坐标运算和向量的平行垂直关系，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为为纯虚数，设且，则，
由，所以A正确；
由，所以B错误；
由为实数，所以C正确；
由为实数，所以D正确．
故选：．
根据题意，设且，得到，结合复数的运算法则，逐项判定，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：公理的推论：经过两条平行直线有且只有一个平面，选项A正确；
公理的推论：经过两条相交直线有且只有一个平面，选项B正确；
空间四点不共面，则其中任何三点不共线，否则由公理的推论：直线与直线外一点确定一个平面，这空间四点共面，所以选项C正确；
若两条直线没有公共点，可以互相平行，不一定是异面直线，选项D错误．
故选：．
由公理及推论判断、、选项，由直线的位置关系判断选项．
本题考查平面的基本性质及推论，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于项，由图象可知，，所以，故A正确；
对于项，因为，所以，所以．
因为，所以，
所以．
取，则，
所以是的最小值，故B正确；
对于项，因为，所以，
根据正弦函数的图象可知，
当，即时，函数有最小值为；
当，即时，函数有最大值为，故C错误；
对于项，把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数解析式为，故D正确．
故选：．
由图象可推出；然后求出，根据，可推得取，则，代入，可得出项；求出，即可根据正弦函数的图象，得出值域；利用图象平移，即可得出项．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】四
【解析】解：在复平面上对应的点在第四象限．
故答案为：四．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：向量，，与共线且方向相反，
则，解得或舍去，
故，，
所以，即．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量平行的性质，求出，再结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解．
本题主要考查平面向量平行的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为在中，，，米，
所以，
由正弦定理得，即，解得米，
在中，，所以，即塔高米．
故答案为：．
根据正弦定理，直角三角形的三角函数，即可求解．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，方程思想，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：由斜二测画法的规则知与轴平行或重合的线段与轴平行或重合，其长度不变；
与轴平行或重合的线段与轴平行或重合，其长度变成原来的一半，
则原图形中所对应的边长为，
由，可得原图形中所对的边长为，
则原图形的周长是：．
故答案为：．
由斜二测画法的规则知与轴平行或重合的线段与轴平行或重合，其长度不变；与轴平行或重合的线段与轴平行或重合，其长度变成原来的一半，由此能求出四边形的周长．
本题考查的知识点是平面图形的直观图，掌握斜二测画法的规则是关键，属于基础题．
17.【答案】解：在复平面内对应的点在第四象限，
，解得，
故的取值范围为．
是纯虚数，
，解得，
故．
【解析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及纯虚数的定义，属于基础题．
18.【答案】解：正三棱柱的体积，
表面积；
，，，
．
【解析】直接由三棱柱的体积与表面积公式求解；
利用等体积法求三棱锥的体积．
本题考查三棱柱的体积与表面积，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
19.【答案】解：函数的最小正周期为，
，
，
令，，
解得，，
的单调递减区间为；
，
当时，，
，
在区间上的最大值为，最小值为．
【解析】由的最小正周期为可求出的值，进而得到的解析式，再利用正弦函数的图象求出其单调递减区间即可；
利用正弦函数的图象求解．
本题主要考查了正弦函数的单调性和最值，属于基础题．
20.【答案】解：由，，向量，的夹角为，
则，，
所以
结合可得，
所以
【解析】根据题意得到，，再根据数量积的定义即可求解；
结合可得，进而即可求得
本题考查向量的运算，属于基础题．
21.【答案】解：，，
由余弦定理可得，，即，解得．
，，，
，
，
，
，
．
【解析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
根据已知条件，结合余弦定理，求出角，再结合三角形面积公式，即可求解．
本题主要考查余弦定理的应用，考查转化能力，属于基础题．
22.【答案】解：，，
．
，，
，，．
，
，
．
，
，
．
，
，
故．
【解析】根据已知条件，结合三角形的性质，以及三角函数的诱导公式，即可求解．
根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及余弦的两角差公式，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
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