2022-2023学年云南省昆明市西山区昆明师范专科学校附中高一（下）期中数学试卷(含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年云南省昆明市西山区昆明师范专科学校附中高一（下）期中数学试卷(含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 120.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-11 10:40:00 | ||
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文档简介
2022-2023学年云南省昆明市西山区昆明师范专科学校附中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值是( )
A. B. C. D.
2.是四边形构成平行四边形的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在中，已知，则角为( )
A. B. C. D. 或
4.已知单位向量的夹角为，与垂直，则实数( )
A. B. C. D.
5.函数是( )
A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数
6.如图，中，，，，则等于( )
A. B. C. D.
7.设函数，给出下列结论：
的最小正周期是；
在区间内单调递增；
将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
8.在中，，，分别为内角，，的对边，若，，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，为同一平面内的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则( )
A. 与的夹角 B.
C. D.
10.下列说法正确的有( )
A. 在中，：：：：
B. 在中，若，则
C. 在中，是的充要条件
D. 在中，若，则为等腰或直角三角形
11.折纸发源于中国．世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起称为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车如图是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图，则( )
A. B.
C. D.
12.若函数在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是( )
A.
B. 的图象的一个对称中心为
C. 的单调递增区间是，
D. 把的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，的夹角为，，，则______．
14.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字如图，在中国的象棋半个棋盘的矩形中每个小方格都是单位正方形中若马在处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”若马在处或处，则表示马走了“一步”的向量共有______个
15.已知锐角，满足，，则 ______．
16.已知是的中线，若，，则的最小值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设向量，满足及
Ⅰ求，夹角的大小；
Ⅱ求的值．
18.本小题分
已知．
求和的值；
求的值．
19.本小题分
在中，已知为线段上一点，．
若，求实数、的值；
若，，且与的夹角为，求的值．
20.本小题分
已知的内角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，求的面积．
21.本小题分
如图所示，是边长为的正三角形，点，，四等分线段．
求的值；
若点是线段上一点，且，求实数的值．
22.本小题分
已知函数同时满足下列四个条件中的三个：；；最大值为；最小正周期为．
Ⅰ给出函数的解析式，并说明理由；
Ⅱ求函数的单调递减区间．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，再结合余弦函数的两角差公式，即可求解．
本题主要考查了两角和与差的余弦函数，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定定理、向量相等的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用平行四边形的判定定理、向量相等的性质即可判断出结论．
【解答】
解：四边形构成平行四边形，
反之不一定成立，，，，四点可能共线，
是四边形构成平行四边形的必要不充分条件，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：因为，即，
由余弦定理可得，
又因为，
所以．
故选：．
根据题意，利用余弦定理的应用求得，即可求解．
本题考查的知识要点：余弦定理的应用，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．
由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得的值．
【解答】
解：单位向量的夹角为，
，
与垂直，
，
则实数，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：
，
原函数为奇函数，
故选A
逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题．
利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．把函数化为的形式再解决三角函数性质有关问题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，中，，则，
，，则，，
则，
故选：．
根据题意，分析可得，由向量的数乘运算和加减运算可得，据此分析可得答案．
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数，
的最小正周期是，所以正确；
当时，解得时，函数是增函数，所以在区间内单调递增，所以正确
将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象．所以不正确；
故选：．
利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期判断；利用函数的单调性判断；三角函数的图象变换判断即可．
本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的简单性质的应用，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：由，得，
，
即，
则，则，
由余弦定理得，
即，
整理得，得或舍，
则三角形的面积，
故选：．
根据正弦定理和余弦定理求出角的值，结合三角形的面积公式进行求解即可．
本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由，，为同一平面内的单位向量，，，
则，
即，
又与的夹角为锐角，
则，即选项A正确；
对于选项B，不妨设，，则，即，即选项B错误；
对于选项C，，即选项C错误；
对于选项D，，即选项D正确，
故选：．
由平面向量数量积的运算及平面向量模的运算，结合向量夹角的运算逐一判断即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项，由正弦定理得：：：：：：，
是三角形外接圆的半径，所以选项正确；
选项，若，则或，所以选项错误；
选项，若，由正弦定理得，
则，所以，反之也成立，所以选项正确；
选项，若，则或，
所以或，所以为等腰或直角三角形，所以选项正确．
故选：．
利用正弦定理、充要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查了正弦定理和充要条件的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】选项A，由对称性知，，与即不平行也不重合；
选项B，设风车的中心为，由，结合平面向量数量积的运算法则，展开计算，即可；
选项C，由平面向量的加法法则，可判断；
选项D，根据平面向量数量积的几何意义，可判断．
本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的加法、减法和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
【解答】
解：选项A，由对称性知，，而与不重合，即A错误；
选项B，设风车的中心为，
，即B正确；
选项C，，即C正确；
选项D，，
，即D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由图可知，，选项错误．
，
，
故，选项正确．
由，解得，
所以的单调递增区间是，，选项正确．
把的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到，选项错误．
故选：．
根据图象求得的解析式，利用代入验证法判断的对称中心，根据三角函数单调区间的求法求得的单调区间，根据三角函数图象变换的知识确定选项的正确性．
本题考查由的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为向量，的夹角为，，，
所以，
所以．
故答案为：．
先计算出向量的数量积的值，再根据向量模的定义，计算即可求得结论．
本题考查平面向量的数量积、向量的模的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：“马”在处走了“一步”的情况一共有种，
在处走了“一步”的情况一共有种，共有种，如图所示：
故表示表示马走了“一步”的向量共有个．
故答案为：．
利用向量的定义结合象棋中“马”的走法，作出所有走法的图形即可；
本题考查了向量基本概念的理解，解题的关键是掌握象棋中“马”的走法，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，为锐角，且，，
所以，，
所以，
又，
所以．
故答案为：．
利用同角三角函数关系式求出，，然后由余弦的两角和公式求出，结合的范围，求出角即可．
本题考查了三角函数的化简求值以及角的求解，涉及了两角和差公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由，
可得，又，
所以
，
当且仅当时等号成立，所以．
故答案为：．
先求得，然后利用基本不等式求得的最小值．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
17.【答案】解：Ⅰ设与夹角为，
向量，满足及，
，
，．
又，与夹角为．
Ⅱ．
【解析】本题主要考查利用向量的数量积求向量的模，利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题．
由题意，利用向量的数量积运算性质即可得出．熟练掌握向量的数量积运算性质是解题的关键．
18.【答案】解：由，可得，
，，
又由，；
由得，，
．
【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式，二倍角公式，属于基础题．
由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式，计算求得结果．
由题意利用两角差的正切公式，计算求得结果．
19.【答案】解：在中，已知为线段上一点，，
则，
即，；
由，，且与的夹角为，
则，
则．
【解析】由平面向量的线性运算可得，得解；
由平面向量数量积运算可得，然后结合已知条件求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
20.【答案】解：依题意可得，，
，
．
由余弦定理得，，
，
，即，
．
【解析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形面积公式，即可求解．
本题主要考查解三角形，掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
21.【答案】解：因为点，，四等分线段，
所以，，
，
因为点在线段上，所以，
因为，可得，所以，解得，
因此所求实数的值为．
【解析】根据平面向量的线性运算法则，结合向量数量积的运算性质，求得的值；
根据两个向量共线的条件，建立关于的等式，解之即可得出实数的值．
本题主要考查平面向量的线性运算法则、向量数量积的定义与运算性质等知识，考查了计算能力，属于基础题．
22.【答案】解：Ⅰ若满足，则，
此时与矛盾，故不能成立，
则选，
由得，由得，，
则，
因为，
所以，；
Ⅱ令，，
解得，，
故函数的单调递减区间为，．
【解析】Ⅰ先确定所选项条件，然后结合条件及正弦函数性质求出函数解析式；
Ⅱ结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了由正弦函数的性质求解正弦函数解析式，属于基础题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值是( )
A. B. C. D.
2.是四边形构成平行四边形的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在中，已知，则角为( )
A. B. C. D. 或
4.已知单位向量的夹角为，与垂直，则实数( )
A. B. C. D.
5.函数是( )
A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数
6.如图，中，，，，则等于( )
A. B. C. D.
7.设函数，给出下列结论：
的最小正周期是；
在区间内单调递增；
将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
8.在中，，，分别为内角，，的对边，若，，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，为同一平面内的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则( )
A. 与的夹角 B.
C. D.
10.下列说法正确的有( )
A. 在中，：：：：
B. 在中，若，则
C. 在中，是的充要条件
D. 在中，若，则为等腰或直角三角形
11.折纸发源于中国．世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起称为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车如图是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图，则( )
A. B.
C. D.
12.若函数在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是( )
A.
B. 的图象的一个对称中心为
C. 的单调递增区间是，
D. 把的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，的夹角为，，，则______．
14.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字如图，在中国的象棋半个棋盘的矩形中每个小方格都是单位正方形中若马在处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”若马在处或处，则表示马走了“一步”的向量共有______个
15.已知锐角，满足，，则 ______．
16.已知是的中线，若，，则的最小值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设向量，满足及
Ⅰ求，夹角的大小；
Ⅱ求的值．
18.本小题分
已知．
求和的值；
求的值．
19.本小题分
在中，已知为线段上一点，．
若，求实数、的值；
若，，且与的夹角为，求的值．
20.本小题分
已知的内角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，求的面积．
21.本小题分
如图所示，是边长为的正三角形，点，，四等分线段．
求的值；
若点是线段上一点，且，求实数的值．
22.本小题分
已知函数同时满足下列四个条件中的三个：；；最大值为；最小正周期为．
Ⅰ给出函数的解析式，并说明理由；
Ⅱ求函数的单调递减区间．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，再结合余弦函数的两角差公式，即可求解．
本题主要考查了两角和与差的余弦函数，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定定理、向量相等的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用平行四边形的判定定理、向量相等的性质即可判断出结论．
【解答】
解：四边形构成平行四边形，
反之不一定成立，，，，四点可能共线，
是四边形构成平行四边形的必要不充分条件，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：因为，即，
由余弦定理可得，
又因为，
所以．
故选：．
根据题意，利用余弦定理的应用求得，即可求解．
本题考查的知识要点：余弦定理的应用，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．
由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得的值．
【解答】
解：单位向量的夹角为，
，
与垂直，
，
则实数，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：
，
原函数为奇函数，
故选A
逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题．
利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．把函数化为的形式再解决三角函数性质有关问题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，中，，则，
，，则，，
则，
故选：．
根据题意，分析可得，由向量的数乘运算和加减运算可得，据此分析可得答案．
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数，
的最小正周期是，所以正确；
当时，解得时，函数是增函数，所以在区间内单调递增，所以正确
将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象．所以不正确；
故选：．
利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期判断；利用函数的单调性判断；三角函数的图象变换判断即可．
本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的简单性质的应用，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：由，得，
，
即，
则，则，
由余弦定理得，
即，
整理得，得或舍，
则三角形的面积，
故选：．
根据正弦定理和余弦定理求出角的值，结合三角形的面积公式进行求解即可．
本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由，，为同一平面内的单位向量，，，
则，
即，
又与的夹角为锐角，
则，即选项A正确；
对于选项B，不妨设，，则，即，即选项B错误；
对于选项C，，即选项C错误；
对于选项D，，即选项D正确，
故选：．
由平面向量数量积的运算及平面向量模的运算，结合向量夹角的运算逐一判断即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项，由正弦定理得：：：：：：，
是三角形外接圆的半径，所以选项正确；
选项，若，则或，所以选项错误；
选项，若，由正弦定理得，
则，所以，反之也成立，所以选项正确；
选项，若，则或，
所以或，所以为等腰或直角三角形，所以选项正确．
故选：．
利用正弦定理、充要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查了正弦定理和充要条件的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】选项A，由对称性知，，与即不平行也不重合；
选项B，设风车的中心为，由，结合平面向量数量积的运算法则，展开计算，即可；
选项C，由平面向量的加法法则，可判断；
选项D，根据平面向量数量积的几何意义，可判断．
本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的加法、减法和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
【解答】
解：选项A，由对称性知，，而与不重合，即A错误；
选项B，设风车的中心为，
，即B正确；
选项C，，即C正确；
选项D，，
，即D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由图可知，，选项错误．
，
，
故，选项正确．
由，解得，
所以的单调递增区间是，，选项正确．
把的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到，选项错误．
故选：．
根据图象求得的解析式，利用代入验证法判断的对称中心，根据三角函数单调区间的求法求得的单调区间，根据三角函数图象变换的知识确定选项的正确性．
本题考查由的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为向量，的夹角为，，，
所以，
所以．
故答案为：．
先计算出向量的数量积的值，再根据向量模的定义，计算即可求得结论．
本题考查平面向量的数量积、向量的模的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：“马”在处走了“一步”的情况一共有种，
在处走了“一步”的情况一共有种，共有种，如图所示：
故表示表示马走了“一步”的向量共有个．
故答案为：．
利用向量的定义结合象棋中“马”的走法，作出所有走法的图形即可；
本题考查了向量基本概念的理解，解题的关键是掌握象棋中“马”的走法，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，为锐角，且，，
所以，，
所以，
又，
所以．
故答案为：．
利用同角三角函数关系式求出，，然后由余弦的两角和公式求出，结合的范围，求出角即可．
本题考查了三角函数的化简求值以及角的求解，涉及了两角和差公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由，
可得，又，
所以
，
当且仅当时等号成立，所以．
故答案为：．
先求得，然后利用基本不等式求得的最小值．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
17.【答案】解：Ⅰ设与夹角为，
向量，满足及，
，
，．
又，与夹角为．
Ⅱ．
【解析】本题主要考查利用向量的数量积求向量的模，利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题．
由题意，利用向量的数量积运算性质即可得出．熟练掌握向量的数量积运算性质是解题的关键．
18.【答案】解：由，可得，
，，
又由，；
由得，，
．
【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式，二倍角公式，属于基础题．
由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式，计算求得结果．
由题意利用两角差的正切公式，计算求得结果．
19.【答案】解：在中，已知为线段上一点，，
则，
即，；
由，，且与的夹角为，
则，
则．
【解析】由平面向量的线性运算可得，得解；
由平面向量数量积运算可得，然后结合已知条件求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
20.【答案】解：依题意可得，，
，
．
由余弦定理得，，
，
，即，
．
【解析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形面积公式，即可求解．
本题主要考查解三角形，掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
21.【答案】解：因为点，，四等分线段，
所以，，
，
因为点在线段上，所以，
因为，可得，所以，解得，
因此所求实数的值为．
【解析】根据平面向量的线性运算法则，结合向量数量积的运算性质，求得的值；
根据两个向量共线的条件，建立关于的等式，解之即可得出实数的值．
本题主要考查平面向量的线性运算法则、向量数量积的定义与运算性质等知识，考查了计算能力，属于基础题．
22.【答案】解：Ⅰ若满足，则，
此时与矛盾，故不能成立，
则选，
由得，由得，，
则，
因为，
所以，；
Ⅱ令，，
解得，，
故函数的单调递减区间为，．
【解析】Ⅰ先确定所选项条件，然后结合条件及正弦函数性质求出函数解析式；
Ⅱ结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了由正弦函数的性质求解正弦函数解析式，属于基础题．
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