2022-2023学年安徽省合肥七中紫蓬分校肥西农兴中学高一（下）期中数学试卷(含解析）

2022-2023学年安徽省合肥七中紫蓬分校肥西农兴中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列命题中，正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，四边形是以向量，为边的平行四边形又，，则用，表示( )
A.
B.
C.
D.
5.下列说法正确的是( )
A. 等腰直角三角形绕其一边旋转一周所得的几何体一定是圆锥
B. 过球心的平面截球面所得的圆面的圆周的半径等于球的半径
C. 棱锥的侧棱一定相等
D. 正三角形的平面直观图一定是等腰三角形
6.在中，，，其面积为，则等于( )
A. B. C. D.
7.已知向量，，且向量在向量上的投影向量为：，则( )
A. B. C. D.
8.伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球、圆柱的体积比为( )
A. ：：
B.
C.
D. ：：
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是( )
A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
10.下列说法正确的是( )
A. 向量与共线是，，，四点共线的必要不充分条件
B. 若，则存在唯一实数使得
C. 已知，则与的夹角为锐角的充要条件是
D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量
11.对于，有如下命题，其中正确的有( )
A. 若，则是等腰三角形
B. 若是锐角三角形，则不等式恒成立
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，，，则的面积为或
12.如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水未满，现将容器底面一边固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，则其中正确命题的是( )
A. 水的部分始终呈棱柱状
B. 水面四边形的面积为定值
C. 棱始终与水面平行
D. 若，，则是定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设向量，，若，则 ______．
14.若，则的值为______．
15.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______．
16.一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高．北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”如图深受广大市民的喜爱，它离意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能．它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体如图已知该圆台的底面半径分别和，高为球缺所在球的半径为，则该组合体的体积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
已知非零向量，满足，且
求；
当，求向量与的夹角的值．
19.本小题分
如图，在中，为边上的一点，，且与的夹角为．
设，求，的值；
求的值．
20.本小题分
已知，，分别为三个内角，，得对边，且．
求；
若，求的面积．
21.本小题分
如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图．
画出它的原图形；
若，的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积．
22.本小题分
已知半圆圆心为点，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
求点、、的坐标；
若，求与夹角的大小；
试求点的坐标，使取得最小值，并求此最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，共轭复数为，
共轭复数在复平面内对应的点为，位于第三象限．
故选：．
化简复数，可得其共轭复数，以及对应的点的坐标．
本题考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：若，但两个向量的方向不确定，
故不一定成立，故 A不正确；
若，则两个向量的模长必相等，故B正确；
向量无法比较大小，故C错误；
，等号左边是向量，右边是数量，不可能相等，故D错误．
故选：．
根据向量相等的定义可判断与的真假，根据向量不能比较大小，可判断的真假；根据向量与数量不能相等可判断的真假．
本题考查向量的基本概念，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故选：．
由已知求得的坐标，再由数量积的坐标运算列式求解．
本题考查平面向量数量积的性质及应用，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据向量加法、减法和数乘的几何意义可得出：，代入并进行向量的数乘运算即可．
本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于，等腰直角三角形绕其一直角边旋转一周所得的几何体是圆锥，所以选项A错误；
对于，过球心的平面截球面所得的圆面的圆周的半径等于球的半径，选项B正确；
对于，棱锥的侧棱不一定相等，所以选项C错误；
对于，正三角形的平面直观图不是等腰三角形，所以选项D错误．
故选：．
根据题意，对选项中的命题分析、判断真假性即可．
本题考查了多面体与旋转体的结构特征与应用问题，也考查了斜二测画平面直观图的应用问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：在中，，，其面积为，
则，
即，
由余弦定理可得：，
即，
由正弦定理可得：，
故选：．
由三角形面积公式，结合正弦定理及余弦定理求解即可．
本题考查了三角形面积公式，重点考查了正弦定理及余弦定理，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：由于向量在向量上的投影向量满足，
整理得，
所以．
所以．
故．
故选：．
直接利用向量的夹角和向量的模的运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的夹角，向量的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间几何体的体积，熟记圆柱、圆锥、球的体积公式是关键，是基础题．设圆柱底面半径为，则球的半径为，圆柱和圆锥的高均为，代入几何体体积公式计算即可．
【解答】
解：设圆柱底面半径为，则球的半径为，圆柱和圆锥的高均为，
，
，
，
：：：：：：．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】先对已知进行化简求出，然后结合复数的基本概念及复数的几何意义分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的概念及几何意义，属于基础题．
【解答】
解：，
所以，
故，A错误；
，B错误；
的虚部为，C错误；
复数在复平面内对应的点在第一象限，D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：因为，，，四点共线时向量与一定共线，但向量与共线时，，，四点不一定共线，所以对；
对于中说法缺少条件“”，所以错；
因为，所以，所以，
又因为与的夹角为锐角，所以且，解得：且，所以对；
根据题意可知平分且是边上的中线，所以，所以是在上的投影向量，所以对．
故选：．
根据平面向量共线定义可判断；根据平面向量共线定理可判断；与的夹角为锐角的充要条件是且与不同向，以此计算可判断；
根据题意可得垂直于，以此可判断．
本题考查平面向量共线定义及定理、平面向量数量积、平面向量投影向量，考查数学运算能力及推理能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于．
A.，，或，解得：，或，则是等腰三角形或直角三角形，因此不正确；
B.是锐角三角形，，，化为恒成立，因此正确；
C.，，由正弦定理可得：，，为钝角，则为钝角三角形，因此正确；
D.，，，设，由余弦定理可得：，化为：，解得或则的面积，或的面积，因此正确．
综上可得：只有BCD正确．
故选：．
对于．
A.根据，可得，或，化简即可判断出正误；
B.由是锐角三角形，可得，于是，化简即可判断出正误；
C.由，可得，利用正弦定理与余弦定理化简即可判断出正误；
D.由，，，设，由余弦定理可得：，化简解得，利用三角形面积计算公式计算得出，即可判断出正误．
本题考查了正弦定理余弦定理、三角形的形状判定方法、三角形面积计算公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：结合题设中提供的图形信息可知：当容器底面一边固定时，，故由线面平行的判定定理可知，“棱始终与水面平行”成立，故选项C正确；
由于四边形≌四边形，且互相平行，则由棱柱的定义可知，“水的部分始终呈棱柱状”正确，故选项A正确；
如图，由于水平放置时，水的高度是定值，所以当一部分上升的同时，另一面下降相同的高度，因为，且，所以定值，即“若，，则是定值”是正确的，故选项D正确；
因为水面四边形的边长在变化，因此其面积是变化的，故“水面四边形的面积为定值”的说法不正确，故选项B错误．
故选：．
利用线面平行的判定定理即可判断选项C；利用棱柱的定义即可判断选项A；由水面四边形的边长在变化，即可判断选项B；由于水平放置时，水的高度是定值，从而求出为定值，即可判断选项D；
本题考查了棱柱的结构特征的理解和应用，解题的关键是掌握棱柱的概念以及几何特征，考查了空间想象能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，向量，，
若，则有．
故答案为：．
根据题意，由向量垂直的坐标表示方法，可得关于的方程，解可得答案．
本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
则，，
故．
故答案为：．
根据已知条件，先对原式化简，再结合复数相等的条件，即可求解．
本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
又，，三点共线，
所以，解得．
故答案为：．
由已知结合向量的线性表示及平面向量共线定理可求．
本题主要考查了向量的线性表示及平面向量共线定理，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意得可得截面图形如图所示：
由题意得，，，，
在中，
则球缺的高，
球缺的体积为，
，
组合体的体积为，
故答案为：
根据题意，作出截面图形，求出球缺的高，分别求出球缺的体积和圆台的体积，即可得出答案．
本题考查棱柱、棱台的体积，考查转化思想，考查运算能力和直观想象，属于中档题．
17.【答案】解：．
．
【解析】运用复数加减、乘法运算即可．
运用复数的代数运算及复数的周期性求解即可．
本题考查复数的四则运算，属于基础题．
18.【答案】解：非零向量，满足，且，
可得：，
；
当，
所以：，
可得，
，
向量与的夹角的值为：．
【解析】本题考查向量的数量积公式的应用，考查计算能力．
利用向量的数量积转化求解即可．
利用向量的数量积求解向量与的夹角的值．
19.【答案】解：，，
，
，．
，，，
．
【解析】本题考查了平面向量的基本定理，数量积运算，属于基础题．
用表示出即可得出，的值；
用表示出，，再计算的值．
20.【答案】解：因为，
由余弦定理得：，
整理得：，所以，
即，所以，
又，所以；
由余弦定理得：，
化简得，解得，所以，
所以的面积为．
【解析】根据已知由余弦定理化简得，再利用余弦定理求得，从而可求角；
利用余弦定理及已知条件求得，代入三角形面积公式即可求解．
本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．
21.【答案】解：根据题意，直观图轴，则原图中，轴，即与轴垂直，
其原图如图：
由的结论，与轴垂直，原图中，边上的高为，
若，的面积是，则有，解可得，
故原图形中边上的高，
原图的面积．
【解析】根据题意，由斜二测画法分析可得原图，
根据题意，由三角形面积公式求出的长，结合斜二测画法可得原图中的长，计算其面积可得答案．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
22.【答案】解：因为半圆的直径，由题易知：又、
又，，
则，
则．
由知，，，所以．
设与夹角为，则，
又因为，
所以，
即与的夹角为．
设，
由知，，
则，，
所以，
又因为，
所以当时，有最小值为，
此时点的坐标为．
【解析】由图可标出点、、的坐标；
由平面向量数量积运算，结合平面向量的夹角公式求解即可；
设点的坐标，再结合平面向量数量积运算即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了向量的坐标运算，属中档题．
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