2022-2023学年湖北省鄂东南三校高一（下）联考数学试卷（3月份）(含解析）

2022-2023学年湖北省鄂东南三校高一（下）联考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数是幂函数的是( )
A. B. C. D.
3.若，，与的夹角为，则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知，，则是的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，则( )
A. B. C. 或 D.
6.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则( )
A. B. C. D.
7.函数的部分图象是( )
A. B.
C. D.
8.甲，乙两位同学解关于的方程，甲写错了常数，得到或，乙写错了常数，得到或，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式一定正确的有( )
A. B.
C. D.
10.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则具有性质( )
A. 最小正周期为 B. 图象关于直线对称
C. 图象关于点对称 D. 在上单调递减
11.已知，，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
12.已知是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则( )
A. 的值域为 B. 的最小正周期为
C. 在上有个零点 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.半径和圆心角都是的扇形的面积为 ．
14.已知向量与的夹角为，，，则 ______．
15.已知函数的图象与轴无公共点，求实数的取值范围是______．
16.已知函数，若对任意恒有，则的取值集合为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，．
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知函数．
判断并证明函数的奇偶性；
判断函数在区间上的单调性不必写出过程，并解不等式．
19.本小题分
已知函数在区间上的最大值为，最小值为．
求，的值
若正实数，满足，求的最小值．
20.本小题分
已知函数的部分图象如图所示，且在处取得最大值，图象与轴交于点
求函数的解析式；
若，且，求的值．
21.本小题分
已知向量，不共线，，，．
若，，求，的值；
若，，三点共线，求实数的值．
22.本小题分
已知函数．
求的定义域，并证明的图象关于点对称；
若关于的方程有解，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，解得，
所以．
故选：．
根据集合的描述法结合交集的运算分析求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由幂函数的定义，形如，叫幂函数，
对，，故A正确；，，均不符合．
故选：．
由幂函数的定义可判断各选项．
本题主要考查了幂函数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，与的夹角为，
则向量在上的投影向量为：．
故选：．
利用向量的数量积公式求解向量在上的投影向量即可．
本题考查向量的数量积的应用，投影向量的求法，是中档题．
4.【答案】
【解析】解：令，，满足，但，故不能推出，
当，时，
当时，，当时，，
故能推出，
故是的必要不充分条件．
故选：．
根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
再根据，
可得，．
则，
故选：．
由题意，利用同角三角函数的基本关系式、两角差的正切公式，计算求得、的值，可得要求式子的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角差的正切公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础题．
根据题意得：，结合向量加法的平行四边形法则及平面向量的基本运算可求．
【解答】
解：根据题意得：，
又，，
所以．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，设，
则，排除，
在区间上，，排除；
故选：．
根据题意，利用解析式计算的值，排除，在分析区间上，的符号，排除，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，注意用间接法分析，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：令，则方程，即为，
当甲写错了常数时，得到的根为或，
由两根之和得，即；
当乙写错了常数时，得到的根为或，
由两根之积得；
综上所述：，．
则不等式即为，解得，
所以不等式的解集为．
故选：．
用换元法，令，根据指数、对数的运算结合韦达定理可求，，再解一元二次不等式即可．
本题考查了指数函数与一元二次不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：，所以A正确；
，所以B正确；
，
，所以不正确；
，前者是与共线的向量，后者是与共线的向量，所以不正确；
故选：．
利用向量的数量积判断选项的正误即可．
本题考查向量的数量积的运算与性质，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得个．
对于，，所以的最小正周期，故A正确；
对于，，因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误；
对于，，因为，所以的图象不关于点对称，故C错误；
对于，，因为时，，所以在上单调递减，故D正确．
故选：．
先求得的解析式，然后根据三角函数的周期性、对称性、单调性对选项进行分析，从而确定正确选项．
本题主要考查由函数的图象变换规律，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，所以，即，当且仅当时，等号成立，选项A错误；
，，当且仅当时，等号成立，
所以，选项B错误；
，，当且仅当时，等号成立，选项C正确；
，，当且仅当时，等号成立，选项D正确．
故选：．
，由，可得；
，先变形，再结合选项A中的结论，得解；
，由对数的运算法则知，，再结合中结论，得解；
，由指数的运算法则知，，再结合中结论，得解．
本题主要考查基本不等式的应用，还涉及指数和对数的运算，注意基本不等式“一正二定三相等”的条件，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，因为是奇函数，所以的图象关于对称，且，
因为为偶函数，图象关于轴对称，且当时，，作出的图象，如下图所示：
由图可知，的值域为，故A错误；
对于，因为是奇函数，所以，
即，因为为偶函数，
所以，即，
所以，即，所以函数的最小正周期为，故B正确；
对于，由图象可得在上，的图象与轴有个交点，所以函数在上有个零点，故C正确；
对于，由题意得，，所以，故D正确．
故选：．
根据题意，根据函数的奇偶性与对称性得到函数图象，即可判断、，再求出周期，即可判断、综合可得答案．
本题考查函数奇偶性和对称性，涉及函数的周期性，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查扇形面积的计算，根据扇形的弧长公式先求出弧长是解决本题的关键，属于基础题．
根据扇形的弧长公式先求出弧长，然后利用扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】
解：扇形的弧长，
则扇形的面积．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：向量与的夹角为，，，
；
．
故答案为：．
根据题意，利用，即可求出正确的答案．
本题考查了应用平面向量的数量积求向量模长的问题，解题时应根据平面向量的数量积进行计算即可，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：的图象与轴无公共点，且恒成立，
恒成立，
．
又，当且仅当，即时，等号成立，
，，
．
故答案为：．
由已知不等式，结合指数函数的性质进行分离参数，然后结合基本不等式可求．
本题主要考查了由不等式恒成立求解参数取值范围，解题的关键是基本不等式的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
因为，
因为，则，
，
所以，故，所以的取值集合为．
故答案为：．
由绝对值不等式解得对恒成立，再结合二次函数的图象和单调性即可得到答案．
本题主要考查三角函数的最值，函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：由，，得，
．
则；
．
【解析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值；
利用诱导公式结合两角和的正切公式可求得所求代数式的值．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
18.【答案】解：是上的偶函数，
证明：依题意，函数的定义域为，
对任意，都有，
所以是上的偶函数．
函数在上单调递增，
因为是上的偶函数，所以等价于．
因为函数在上单调递增，所以，
即，解得，
所以不等式的解集为．
【解析】是上的偶函数，利用定义法即可证明；
判断上单调递增，利用函数的单调性与单调性将不等式进行转化，即可求解不等式的解集．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，考查不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：，
则在上单调递增，在上单调递减，
，即，
解得，．
由知，
则，
当且仅当时，取得最小值．
【解析】求得的对称轴方程，可得在上单调递增，在上单调递减，得到最值代人计算即可．
利用基本不等式求解即可．
本题考查了二次函数的性质，基本不等式求最值，属于基础题．
20.【答案】解：由图象可知函数的周期为，所以．
又因为函数在处取得最大值，根据五点法作图，，，故．
又因为，所以，
所以．
因为，所以，
因为，所以，所以
因为，所以，
所以
．
【解析】由周期求出，由五点作图求出，由特殊点的坐标求出，可得函数的解析式．
由题意利用先求出，再利用同角三角函数的基本关系式，求得，再利用两角和差的三角公式，求得的值．
本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，由周期求出，由五点作图求出，由特殊点的坐标求出，还考查了同角三角函数的基本关系式，两角和差的三角公式，属于中档题．
21.【答案】解：，，
，
向量，不共线，则由平面向量基本定理知：
，解得：．
，，三点共线，且，
且，存在唯一实数，使得，
，，．
【解析】由平面向量基本定理建立方程组即可求；
三点共线转化为向量共线，再用平面向量共线定理即可求．
本题考查平面向量基本定理和平面向量共线定理的应用，还考查了计算能力，属基础题．
22.【答案】解：由题设可得，解得，故的定义域为，
而，
故的图象关于点对称．
法一：因为关于的方程即有解，
故在上有解．
下面求在上有解时实数的取值范围．
因为与在区间上都是减函数，
所以函数在区间上也是减函数，
所以时，的取值范围是．
令，解得．
因此，所求实数的取值范围是．
法二：，即，
因为有解，故在上有解，
整理得到在上有解，
设，显然，则或
解得．
故实数的取值范围为．
【解析】直接根据，即可得定义域，通过可得对称性；
法一、题意转化为在上有解，通过的单调性得其范围，进而得的取值范围；
法二、题意转化为在上有解，根据一元二次方程根的分布列出不等式组得出的范围．
本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的性质进行求解是解决本题的关键，是中档题．
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