2022-2023学年北京交大附中第二分校高一（下）开学数学试卷(含解析）

2022-2023学年北京交大附中第二分校高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合或，，则( )
A. 或 B.
C. D.
2.命题：对任意，的否定是( )
A. ：存在， B. ：存在，
C. ：不存在， D. ：对任意，
3.函数的定义域( )
A. B. C. ， D. ，
4.函数的零点的个数为( )
A. B. C. D.
5.在同一个坐标系中，函数与且的图像可能是( )
A. B.
C. D.
6.如果，那么( )
A. B. C. D.
7.设的定义域是，则函数的值域中含有整数的个数为( )
A. B. C. D.
8.朗伯比尔定律是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为，其中为吸光度，为透光度，为摩尔吸光系数，为吸光物质的浓度，单位为，为吸收层厚度，单位为保持，不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的变为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则“”是“为奇函数”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若复数，则______．
12.已知，则______．
13.已知方程组，则：： ______．
14.函数，给出下列四个结论
的值域是；
任意，且，都有；
任意，且，都有；
规定，，其中，则．
其中，所有正确结论的序号是 ．
15.某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则请你参考这些信息，推知函数的图象的对称轴是 ；函数的零点的个数是 ．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如下．
体育成绩大于或等于分的学生常被称为“体育良好”已知该校高一年级有名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；
为分析学生平时的体育活动情况，现从体有成绩在和的样本学生中随机抽取人，求在抽取的名学生中，恰有人体育成绩在的概率；
假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，，，且分别在，，三组中，其中，，当数据，，的方差最小时，写出，，的值结论不要求证明．
17.本小题分
已知函数．
直接写出函数的零点和不等式的解集；
直接写出函数的定义域和值域；
求证：函数的图象关于点中心对称；
用单调性定义证明：函数在区间上是减函数；
设，直接写出它的反函数．
18.本小题分
已知函数，无理数
求证：为奇函数；
计算的值；
求证：不是的单调区间；
求函数的最小值；
指数函数是否可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和的形式，若可以，直接写出你的结论，若不可以，请说明理由；
已知求证：恒大于零．
19.本小题分
已知为实数，用表示不超过的最大整数例如，，若对于函数，存在实数且，使得，则称函数是函数．
直接写出下列式子的值：；；；
分别判断函数，是否是函数；只需写出结论
已知，请写出一个的值，使得是函数，并给出证明；
定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期如果在所有的周期中存在一个最小的正数，就把它叫做的最小正周期设函数是定义在上的周期函数其最小正周期为，若不是函数求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则或，
故选：．
根据集合并集的定义进行求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，结合集合并集的定义是解决本题的关键．比较基础．
2.【答案】
【解析】解：命题是全称命题，
：存在，．
故选：．
根据全称命题的否定是特称命题进行否定即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．
3.【答案】
【解析】解：函数要有意义，
需满足，解得，且，
故函数定义域为：．
故选：．
根据函数解析式列出不等式组，即可求得答案．
本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的零点，属于中档题．
作出的图像，根据函数跟轴的交点个数判断即可．
【解答】
解：作出的图像，如下图所示：
由图像易知，与轴有两个交点，所以零点的个数为，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：若，则函数单调递减，函数在上单调递减，
若，则函数单调递增，函数在上单调递增，
结合选项可知A正确．
故选：．
分两种情况：若，若，分析函数与的单调性，即可得出答案．
本题考查指数函数与对数函数的图像和性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，．
．
故选：．
利用指数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：的定义域是，
且的对称轴为：，
在单调递增，
，，的值域为，
则函数的值域中含有的整数为，，，，，共个．
故选：．
根据二次函数的对称轴和定义域求出值域即可得解．
本题考查函数的值域及其求法，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由，
得，所以，
当保持，不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，
则，
所以，
所以，
所以透光度由原来的变为．
故选：．
根据题中所给公式用表示增加前的，然后再求出增加后的，从而可得出答案．
本题主要考查函数模型及其应用，对数的运算法则等知识，属于基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数不等式的求解，考查了学生的分析运算能力，属于中档题．
由题意令，得，分别画出，的图象，然后分析求解即可．
【解答】
解：依题意，
由解得或
画出，的图象，
由图可知，不等式的解集是．
故选：
10.【答案】
【解析】解：若为奇函数，则，
则，反之亦成立，
所以“”是“为奇函数”的充要条件．
故选：．
根据奇函数的定义可知，，由此可得，进而得解．
本题考查函数的奇偶性以及充要条件的判断，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为复数，
所以，
则．
故答案为：．
由已知结合复数的模长公式可求．
本题主要考查了复数的模长公式的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
由，得，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】：：
【解析】解：由，得，所以，
令，，得，所以，
所以：：：：．
故答案为：：：．
根据题目中等量关系代入即可求解．
本题考查了线性方程组的解法与应用问题，是基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数奇偶性、单调性及值域和递推思想，属于中档题．
判断出函数奇偶性和单调性就能判断，对，分别取值代入即可验证，对由递推式得到的表达式即可判断．
【解答】
解：
，
又，
为奇函数；
当时，，且在上单增，
所以在上单增，又在上连续，所以在上单增，
所以正确；
又因为当时，，
所以的值域为，故正确；
对于，取，，则，
，
所以，
所以，
故错误；
对于，
因为，
又因为，
所以，
，
，
，
，故正确；
故选：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的零点及个数判断，考查化归与转化的数学思想，属于中档题．
根据题意结合零点存在定理求解即可．
【解答】
解：由题意可得函数，从运动的观点看，当点从点向点运动的过程中，在运动到的中点之前，的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，
当点在的中点上时，即、、三点共线时，即在矩形的对角线上时，取得最小值；当在点或点时，取得最大值．
函数的图象的对称轴是；
，的值也是先减后增，关于对称，
又，，由零点存在定理知有两解．
故答案为：；
16.【答案】解：根据题意，由折线图，样本中体育成绩大于或等于分的学生有人，
所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生人数大约为人；
根据题意，成绩在有名学生，设为，；
有名学生，设为，，
故抽取名学生的情况有：，，，，，，共种情况，
其中恰有人体育成绩在的情况有：，，，，共种情况，
故在抽取的名学生中，恰有人体育成绩在的概率为；
甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，，，且分别在，，三组中，其中，，，
要想数据，，的方差最小，则，，三个数据的差的绝对值越小越好，故，，
则甲、乙、丙三人的体育成绩平均值为，
故方差，
对称轴为，
故当或时，取得最小值，，，的值为，，或，，．
【解析】根据折线图求出样本中体育成绩大于或等于分的学生数，从而得到相应的比例，估计出高一全年级中“体育良好”的学生人数；
利用列举法求出古典概型的概率；
先分析出，，再列出方差，由二次函数的对称轴得到当或时，取得最小值．
本题考查了求平均数与方差和标准差的问题，记住平均数与方差、标准差的公式是解题的关键，属于基础题．
17.【答案】解：令，解得，
故零点为，
由，
得，
所以等式的解集为：．
因为，
所以，
所以函数的定义域为．，
所以值域为：．
证明：因为，
所以函数的图象关于点中心对称．
证明：在区间上任意取，
所以，即，
所以函数在区间上是减函数．
．
所以，
所以．
【解析】根据函数的零点定义和除法不等式解法即可求解；定义域的求法和分离常数法求值域即可求解；根据函数对称性的证明即可求解；根据函数单调性的证明即可求解；根据反函数的求法即可求解．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于中档题．
18.【答案】证明：因为，
所以，
所以为奇函数．
解：．
证明：，
所以，
所以为偶函数，
所以不是的单调区间．
解：，
当且仅当，即时成立，
所以的最小值为．
解：，
其中为奇函数，为偶函数．
证明：，
所以恒大于零．
【解析】根据函数的奇偶性证明即可得解；
根据指数的运算法则代入计算即可求解；
证明函数的奇偶性即可求解；
根据基本不等式即可求解；
；
转为对数计算，并根据对数函数恒为正数，并根据对数函数的单调性即可求解．
本题主要考查函数奇偶性的判断，函数最值的求法，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：不超过的最大整数是，故；，故，，故；，所以．
，，
由题意，
当且时，容易知道是单调增函数，因此不成立；
当且时，容易知道是单调增函数，因此不成立；
故不是函数．
因为，，，
所以，
所以存在实数，使得，
故是函数．
，，
所以，，
所以，
即，
所以存在实数，使得，
所以符合题意．
恒成立，
所以，
所以，
故最小值为．
【解析】根据函数特点和具体数值范围即可求解；
根据函数定义即可求解；
根据对号函数和函数的特点即可求解；
根据周期函数的特点和函数的特点即可求解．
本题主要考查函数的零点和方程根关系，属于中档题．
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