北师大版七年级数学下册第四章三角形单元练习题 含解析

北师大版七年级数学下册第四章三角形单元练习题
一、填空题
1．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“AAS”证明△AOB≌△DOC还需增加条件　 　.
2．如图，已知 ，则 的度数是 　 　 .
3．如图，AC//BD，BC平分∠ABD，若∠EAF=130°，则∠ACB=　 　．
4．如图，在锐角△ABC中，AB=4 ，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　 　．
二、单选题
5．如图，，则与长度相等的线段是（　　）
A． B． C． D．
6．下列图中具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
7．各图的中，正确画出边上的高的图形是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列说法中错误的是（　　）
A．全等三角形的对应边相等 B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的角平分线相等
9．根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（　　）
A．AB＝3，∠A＝60°，∠B＝40° B．AB＝3，BC＝4，∠A＝40°
C．AB＝3，BC＝4，AC＝8 D．AB＝3，∠C＝90°
10．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（　　）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
11．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
12．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
13．如图，已知AB=DC，下列条件中，不能使△ABC≌△DCB的是（　　）
A．AC=DB B．∠A=∠D=90°
C．∠ABC=∠DCB D．∠ACB=∠DBC
14．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：6，则此三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
三、解答题
15．已知： 及 内部一点 ．
（1）过点 画直线 ∥ ；
（2）过点 画 于点 ；
（3） 与 的数量关系是　 　．
16．如图， ， ，垂足分别 、 ， 、 相交于点 ，且 .求证： .
17．如图所示，点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．试说明：△ABC≌△DEF．
18．如图，在四边形中，，，平分，平分，则与有何位置关系？试说明理由．
19．如图，是的中点，．求证：．
20．如图，在 中， ，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分 ，且 于点E，与CD相交于点F．
（1）求证：BF=AC；
（2）求证： ．
21．如图，点O在直线l上，过点O作 ， ．P为直线l上一点，连结 ，在直线l右侧取点B， ，且 ，过点B作 交l于点C．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长；
（3）连结 ，若点C为 的外心，则 　 　．
22．如图：在矩形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，且BE=AF，∠1=∠2．
（1）Rt△AEF与Rt△BCE全等吗？说明理由；
（2）△CEF是不是直角三角形？说明理由．
23．如图
（1）如图①，在四边形 中， ，点 是 的中点，若 是 的平分线，试判断 ， ， 之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法：延长 交 的延长线于点 ，易证 得到 ，从而把 ， ， 转化在一个三角形中即可判断. ， ， 之间的等量关系　 　；
（2）问题探究：如图②，在四边形 中， ， 与 的延长线交于点 ，点 是 的中点，若 是 的平分线，试探究 ， ， 之间的等量关系，并证明你的结论.
答案解析部分
1．【答案】∠B=∠C
【解析】【解答】解：∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，
∴当∠B=∠C时，符合AAS定理，
故答案为：∠B=∠C.
【分析】抓住已知条件OA=OD，图形中隐含对顶角相等即∠AOB=∠DOC，由此可得到利用AAS证明△AOB≌△DOC还需增加条件.
2．【答案】20°
【解析】【解答】解：∵BE=CD，
∴BD=CE．
在△ABD和△ACE中，
∵ ，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠C．
∵∠BAC=80°，
∴∠C=（180°﹣80°）÷2=50°，
∴∠CAE=180°﹣110°﹣50°=20°．
故答案为：20°．
【分析】由BE=CD，可得BD=CE，利用SAS证明△ABD≌△ACE，就可得出∠B=∠C，再根据三角形内角和定理求出∠C的度数，利用三角形内角和定理就可求出结果。
3．【答案】25°
【解析】【解答】解：∵AC//BD，
∴∠ACB=∠CBD，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠EAF=130°=∠CAB，
∴∠ACB=（180°-130°）÷2=25°，
故答案为：25°．
【分析】根据平行线的性质得到∠ACB=∠CBD，结合角平分线的定义得到∠ABC=∠CBD，再根据三角形内角和求出结果.
4．【答案】4
【解析】【解答】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE、ME．
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME与△AMN中， ，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME≥BE．
∵BM+MN有最小值．
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，
又AB=4 ，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=4，
即BE取最小值为4，
∴BM+MN的最小值是4．
故答案为：4．
【分析】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴BC=DA.
故答案为：C.
【分析】全等三角形对应边相等，根据全等三角形的性质，即可解答.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：A：下边四边形部分不具有稳定性，所以A不正确；
B：四边形不具有稳定性，所以B不正确；
C：四边形部分不具有稳定性，所以C不正确；
D：图形分成了三个三角形，三角形具有稳定性，所以D正确。
故答案为：D.
【分析】根据三角形的稳定性进行选择即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】根据三角形高的定义可得：
A、AD不是AC边上的高，A不符合题意；
B、BD是AC边上的高，B符合题意；
C、BD不是AC边上的高，C不符合题意；
D、BD不是AC边上的高，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用三角形高的定义逐项判断即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的面积相等，
故 、 、 不符合题意，
故答案为： ．
【分析】根据全等三角形的性质及其推论，即可。特别要注意，全等三角形的性质中，各对量的对应关系.
9．【答案】A
【解析】【解答】A、两角夹边三角形唯一确定．本选项符合题意，
B、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意，
C、不满足三边关系，本选项不符合题意，
D、一边一角无法确定三角形．本选项不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的性质，三角形的三边关系一一判断即可
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE和△FCE中 ，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝3，
∵AB＝4，
∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1．
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质，得出∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，根据全等三角形的判定，得出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质，得出AD=CF，根据AB=4，CF=3，即可求线段DB的长．
11．【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵4+4=8＜9，不能是三角形的三边，故A不符合题意；
B、3+4=7＞5，可以是三角形的三边，故B符合题意；
C、∵2+6=8，不能是三角形的三边，故C不符合题意；
D、1+2=3，不能是三角形的三边，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系定理，逐一判断即可.
12．【答案】C
【解析】【解答】∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
在△ADO和△AEO中，
，
∴△ADO≌△AEO（AAS），
∴DO=EO，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴∠B=∠C，
在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO（AAS），
∵△ADO≌△AEO，
∴AD=AE，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（ASA），
综上，共有4对全等三角形，
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质分析求解即可.
13．【答案】D
【解析】【解答】解：A．AB=DC，BC=CB，AC=DB，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B．∠A=∠D=90°，AB=DC，BC=CB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C．AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选不项符合题意；
D．AB=DC，BC=CB，∠ACB=∠DBC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、根据“SSS”判断△ABC≌△DCB；
B、根据“HL”判断△ABC≌△DCB；
C、根据“SAS”判断△ABC≌△DCB；
D、无法判断两三角形全等.
14．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：6，
∴设：∠A=x，∠B=2x，∠C=6x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，即x+2x+6x=180°，
解得x=20°，
则最大角为∠C=120°，
∴则此三角形是钝角三角形，
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和三角形的内角和定理，可分别求出三角的度数，即可判断.
15．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）
【解析】【解答】解：结论：
理由：∵PD⊥OB
∴∠PDC=
∴∠PCD+∠CPD=
∵PC∥OA
∴∠AOB=∠PCD
∴∠AOB+∠CPD=
故答案为：∠AOB+∠CPD=
【分析】（1）（2）根据要求画出图形即可（3）利用平行线的性质，三角形内角和定理即可解决问题
16．【答案】证明：∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
∴ .
【解析】【分析】由同角的余角相等可得∠A=∠C ，结合已知用角边角可求解.
17．【答案】解：∵AB∥DF，
∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，
∵∠E=∠CPD，
∴∠E=∠B．
在△ABC和△DEF中，∠E=∠B，ED= AB，∠A=∠FDE，
∴△A BC≌△DEF(ASA)．
【解析】【分析】根据平行线的性质和等量代换先求出∠B=∠E，∠A=∠FDE，再根据ASA证明三角形全等。
18．【答案】结论：BE和DF的位置关系时平行
证明：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABC=2∠2，∠ADC=2∠4，
∴2∠2+2∠4=180°，
∴∠2+∠4=90°，
∵∠4+∠DFC=90°，
∴∠2=∠DFC，
∴BE∥DF
【解析】【分析】利用已知可知∠ABC+∠ADC=180°，利用角平分线的性质可推出∠ABC=2∠2，∠ADC=2∠4，由此可证得∠2+∠4=90°，利用三角形的内角和定理可证得∠4+∠DFC=90°，利用余角的性质可得到∠2=∠DFC，利用同位角相等，两直线平行，可证得结论.
19．【答案】证明：是的中点，
，
在和中，
，
【解析】【分析】根据两个三角形的三边对应相等，可以直接判定两个三角形全等。
20．【答案】（1）证明：∵DH垂直平分BC，且∠ABC=45°，
∴BD=DC，且∠BDC=90°，
∵∠A+∠ABF=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠ABF=∠ACD，
∴△BDF≌△CDA，
∴BF=AC．
（2）证明：由（1）得BF=AC，
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC，
∴在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴CE=AE
∴ ．
∴
【解析】【分析】（1）由ASA证△BDF≌△CDA，即可得出结论；（2）在△ABC中由垂直平分线可得AB=BC，即点E是AC的中点，再结合第一问的结论即可求解．
21．【答案】（1）证明： ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
；
（2）解：
， ，
；
的长为5．
（3）3
【解析】【解答】解：（3）若点C为 的外心，则点C位于斜边中点，又已知 ，故点C与点O重合，如图所示：
为等腰直角三角形
为等腰直角三角形
．
【分析】（1）利用等角的余角相等证出，再利用“AAS”证明三角形全等即可；
（2）根据三角形全等的性质求解即可；
（3）作出图形，利用等腰直接三角形的性质及全等的性质求解即可。
22．【答案】（1）解：结论：Rt△AEF与Rt△BCE全等．
理由：在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°
∵BE=AF，
∵∠1=∠2，
∴CE=EF
∴Rt△AEF≌Rt△BCE
（2）解：结论：△CEF是直角三角形．
理由：∵Rt△AEF≌Rt△BCE．
∴∠3=∠5，
∵∠3+∠4=90°，∠5+∠4=90°，
∴∠CEF=180°﹣（∠4+∠5）=180°﹣90°=90°，
所以△CEF是直角三角形．
【解析】【分析】（1）在△CEF中根据等角对等边可得CE=EF，由矩形ABCD可知
∠A=∠B=90° ，由HL可判定Rt△AEF≌Rt△BCE；
（2）由Rt△AEF≌Rt△BCE可得 ∠3=∠5 （全等三角形的对应角相等），根据三角形内角和可知 ∠3+∠4=90° ，因而得到 ∠5+∠4=90° ，则可得 ∠CEF 为直角，即 △CEF是直角三角形 。
23．【答案】（1） .
（2）解： .
理由如下：如图②，延长 交 的延长线于点 .
∵ ，∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ （AAS），∴ ，
∵ 是 的平分线，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴
【解析】【解答】（1）解： .
理由如下：如图①，∵ 是 的平分线，∴
∵ ，∴ ，∴ ，∴ .
∵点 是 的中点，∴ ，
又∵ ，
∴ ≌ （AAS），∴ .
∴ .
故答案为：
【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得 ，再根据AAS证得 ≌ ，于是 ，进一步即得结论；（2）延长 交 的延长线于点 ，如图②，先根据AAS证明 ≌ ，可得 ，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得 ，进而得出结论.
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