2023-2024学年七年级数学下册-5.3简单的轴对称图形（北师大版）
知识一遍过
（一）等腰三角形
（1）等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
（2）等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
（二）等边三角形
（1）等边三角形性质
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半
（2）等边三角形判定
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形。
（三）垂直平分线的性质
（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
（四）尺规作垂直平分线
（1）过一点作已知线段的垂线
求作：AB的垂线，使它经过点C
作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。
②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。
③作直线CF，CF即为所求的直线
（2）作已知线段的垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求
（五）角平分线的性质
（1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
（六）尺规作角平分线
作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线
考点一遍过
考点1：等腰三角形的对称轴
典例1：（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）．
A．过顶点的直线 B．底边的垂线
C．顶角的平分线所在的直线 D．腰上的高所在的直线
【答案】C
【分析】等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线，即可得．
【详解】解：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线，
故选：C．
【点睛】本题考查对称轴，解体的关键是理解题意，找出图形的对称轴．
【变式1】（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）
A．底边上的高 B．底边上的中线
C．顶角的平分线 D．底边的垂直平分线
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；判断即可．
【详解】解：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的垂直平分线．
对称轴是一条直线，而等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线均为线段，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，注意对称轴是直线．
【变式2】（2022秋·北京·八年级北京十四中校考期中）下列命题中，不正确的是（ ）.
A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B．一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
C．等腰三角形的对称轴是底边上的中线
D．等边三角形有3条对称轴
【答案】C
【分析】根据等边三角形的判定定理、轴对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A、一个三角形的外角是120°，则内角为60°，
∴这个等腰三角形是等边三角形，本选项说法正确，不符合题意；
B、一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，本选项说法正确，不符合题意；
C、等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，本选项说法错误，符合题意；
D、等边三角形有3条对称轴，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断以及等边三角形的判定，轴对称图形的概念等知识，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
【变式3】（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）对于下列轴对称图形，判断正确的是（ ）
A．等腰三角形有2条对称轴 B．等边三角形有3条对称轴
C．正方形有2条对称轴 D．圆有1条对称轴
【答案】B
【分析】根据对称轴的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做这个图形的对称轴，进行逐一判断即可.
【详解】解，A、等腰三角形有1条对称轴，故错误；
B、等边三角形有3条对称轴，故正确；
C．正方形有4条对称轴，故错误；
D、圆有无数条对称轴，故错误；
故选B.
【点睛】本题主要考查了对称轴的定义，解题的关键在于能够熟练掌握对称轴的定义.
考点2：等边对等角的性质应用
典例2：（2022秋·湖北武汉·七年级统考开学考试）等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】根据题意，分已知角是底角与顶角两种情况讨论，结合三角形内角和等于，分析可得答案．
【详解】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是，
∴顶角为 ，
②当这个角是顶角时，则顶角为，
综上，该等腰三角形的底角的度数是或．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和定理解答本题的关键．
【变式1】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市青木关中学校校考阶段练习）如图，是中边上一点，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形外角的性质可得，由等腰三角形的性质可得，，再根据三角形内角和定理进行计算即可得出的度数，从而得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
，
，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式2】（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考阶段练习）如图，，，平分外角，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的外角性质可得，根据角平分线的定义可得，进而可得答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵平分外角，
∴，
∴；
故选：A.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键.
【变式3】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，已知和的平分线交于点F，过F作交AB于点D，交AC于点E，如果，．那么等于（ ）
A．1 B．5 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据已知条件，可判断出和为等腰三角形，从而能够证明即可解决．
【详解】解：、分别平分、，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，利用边角关系并结合等量代换来推导证明．
考点3：“三线合一”应用
典例3：（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质求得，，再根据内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，明确“等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合”是解题的关键．
【变式1】（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中，点在边上，，，，，则点到边的距离是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【分析】过点作，交延长线于点，过点作于点，首先根据等腰三角形“三线合一”的性质推导，再证明，由全等三角形的性质可得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作，交延长线于点，过点作于点，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点到边的距离是2.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，中，，于点，于点，于点，，则（ ）
A．8 B．9 C．12 D．18
【答案】C
【分析】结合三角形面积公式可得，，易得，结合即可推导，即可获得答案．
【详解】解：∵中，，，
∴是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形面积、等腰三角形的性质等知识，解题关键是利用面积法求解．
【变式3】（2023秋·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，中，，于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等边对等角，以及三线合一，进行判断即可．
【详解】解：∵中，，，
∴，，，
无法确定，
∴不一定成立；
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质．熟练掌握等边对等角，以及等腰三角形三线合一，是解题的关键．
考点4：等边三角形性质
典例4：（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，均为等边三角形，连接交于点O，与交于点P．下列结论：①；②；③连接，则平分；④平分．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】首先利用证明，得，可说明①②正确，作，证得，即可证得平分，故③正确，于是得到不一定平分，故④错误．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，故①②正确；
作，垂足分别为M、N，
，
，
平分，故③正确，
，
，
，
与不一定相等，
与不一定相等，故④错误，
∴正确的有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式1】（2022秋·辽宁盘锦·八年级校考期中）如图所示，已知是等边三角形，点是上任意一点，，分别于两边垂直，等边三角形的高为1，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．不确定
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质可得，根据，可得的值．
【详解】解：连接，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，
∵，等边三角形的高为1，
又∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，直线，等边三角形的顶点C在直线b上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质可得，再根据等边三角形的性质和三角形内角和定理即可求解
【详解】解：∵直线，
∴，
在等边中，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质、等边三角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
【变式3】（2022秋·江西上饶·八年级统考期末）已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质可得，，再利用“边角边”证明，结合全等三角形的性质与三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质逐一分析判断即可．
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中， ，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确
∵，
∴，
∴．故③正确，
∵．，
∴，
∴，故④正确，
若，则，，与题干条件不符，
∴无法判断，故②错误，
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
考点5：等腰三角形性质——多解性
典例5：（2023秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）若一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（ ）
A．18cm B．12cm C．15cm D．12cm 或15cm
【答案】C
【分析】等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】解：①当腰是，底边是时：，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【变式1】（2023春·广东茂名·八年级统考期中）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】D
【分析】首先根据二次根式与平方的非负性求出，的数值，然后以，的数值分别为腰讨论，最后根据三角形的三边关系判断是否构成三角形即可．
【详解】解：
，
解得：，
当为腰时，三边分别为：，周长为，且三边能够构成三角形．
当为腰时，三边分别为：，周长为，且三边能够构成三角形．
故选D
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，相关知识点有：二次根式和平方的非负性，分类讨论是解题的关键．
【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，注意分类讨论思想的运用．
【详解】解：①，，，
，
；
②，，，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键．
【变式3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）在中，，边的垂直平分线与直线相交所夹的锐角为，则的顶角为（ ）
A．或 B．或 C．成 D．或
【答案】C
【分析】分交一点或反向延长线于一点两类结合内外角关系求解即可得到答案；
【详解】解：①当垂直平分线交于一点时，
∵垂直平分，，
∴，，
∴，
②当垂直平分线交反向延长线于一点时，
∵垂直平分，，
∴，，
∴，
∴，
故选：C；
【点睛】本题考查等腰三角形性质，垂直平分线性质，解题的关键是注意分类讨论．
考点6：等腰三角形性质应用
典例6：（2023春·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）如图，已知的面积为，，点，为边上一点，过点分别作于，于，若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】连接，根据三角形的面积公式即可得到，结合题意求出即可解决问题．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键．
【变式1】（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知，如图，，则的度数为（ ）
A．60° B．90° C．80° D．20°
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，
，
∴∠C=∠AEC，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．
【变式2】（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，平分交于点D，交的延长线于点E．则下列结论：①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据等角的余角相等可判断①；延长交于点F，证明和，可得可判断②；根据，可得，可得，可判断③；由，，可判断④；过点D作于点H，根据角平分线的性质可得，进而看=可判断⑤.
【详解】解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，故①正确；
延长交于点F，
∵平分，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，故④正确；
过点D作于点H，
∵，平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故⑤正确，
故选D
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判断和性质，等腰直角三角形，关键是掌握全等三角形的判定和性质.
【变式3】（2023·广东江门·统考一模）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据作图步骤得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，，然后利用三角形外角性质可计算出的度数．
【详解】解：由作法得，，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了尺规作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质和尺规作图的基本原理．
考点7：等边三角形性质应用
典例7：（2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，已知点B是边上的动点（不与A，C重合），在的同侧作等边△ABD和等边，连接，下列结论正确的个数有（ ）
①；
②；
③；
④是等边三角形；
⑤平分；
⑥．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质可以得到,然后推导,判断①正确；根据全等得到,然后根据三角形的外角的性质判断②；进而得到,得到,,判断④与③；根据角平分线的判定判断⑤；然后证明,得以判断⑥.
【详解】解: ∵为等边三角形,
∴,
∴,
∴,
在和中,
，
∴, 故①正确；
∴,
∴,
∴, 故②正确,
在和中,
，
∴,
∴,
∵,
∴是等边三角形, 故④正确,
∴,
∴, 故③正确,
∵,
∴和边上的高相等，
即点到和的距离相等，
∴平分, 所以⑤正确;
如图, 在上截取, 连接，
在和中,
，
∴,
∴,
∴
∴是等边三角形,
∴,
∴, 故⑥正确,
故选:.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.
【变式1】（2023秋·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，点P是内部一点，点P关于、的对称点是H、G，直线分别交、于点C、D，若，且，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据题意，得到，，结合，证明是等边三角形计算即可．
【详解】如图，连接，
根据题意，得到，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴的周长是，
故选D．
【点睛】本题考查了对称的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，在等边三角形中，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点A在边上的点D位置，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据折叠可知，，再由三角形的内角和定理即可计算出的度数，即可求的度数．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵是折叠而成，
∴，，
又∵
∴，
∴
∴在中，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及折叠的性质，解题的关键是熟知等边三角形与折叠的性质，并灵活运用三角形内角和定理进行计算．
【变式3】（2023秋·四川达州·九年级四川省渠县中学校考开学考试）如图，在等边中，点A为上一动点（不与P，Q重合），连接．有以下结论：①平分；②；④；⑤当时（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
【答案】D
【分析】根据点A为上一动点（不与P，Q重合），，可知与不一定相等，可判断①；证明出，可得，，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当时，最小，即可判断⑤．
【详解】解：∵点A为上一动点（不与P，Q重合），
与不一定相等，故①不正确；
和都为等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当时，
∴当时，的周长最小．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和最短路线问题，判断出是解本题的关键．
考点8：新定义问题
典例8：（2023·全国·八年级专题练习）定义：在一个等腰三角形中，如果一个内角等于另一个内角的两倍，则称该三角形为“倍角等腰三角形”.“倍角等腰三角形”的顶角度数是（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】设等腰三角形的顶角为，则底角为，分两种情况：当顶角为底角的2倍时，当底角为顶角的2倍时，分别列出方程求出x的值即可．
【详解】解：设等腰三角形的顶角为，则底角为，
当顶角为底角的2倍时，，
解得：；
当底角为顶角的2倍时，，
解得：；
综上分析可知，“倍角等腰三角形”的顶角度数是或，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是注意进行分类讨论．
【变式1】（2022秋·河南许昌·八年级统考期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边的长为，则腰的长为（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．6
【答案】B
【分析】由等腰是“倍长三角形”，可知或，若，可得的长为；若，因，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．
【详解】∵等腰是“倍长三角形”，
∴或，
若，则三边分别是、、，符合题意，
若，则，三边分别是、、，
∵，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，等腰三角形的腰的长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，读懂题意，理解“倍长三角形”是解本题的关键．
【变式2】（2022秋·湖南益阳·八年级校联考期中）定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．下列四个三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“优美线”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义以及等角对等边，大角对大边，小角对小边进行判断即可得到答案．
【详解】解：A.在直角三角形ABC中，
∴
又平分
∴
∴
∴
∴
又
∴
∴，即BD不是“优美线”
故选项A不符合题意；
B.在中，
∴是等边三角形，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴
∴
∴，，即BD不是“优美线”
故选项B不符合题意；
C.在中，
∴
又平分
∴
∴
∴，即BD不是“优美线”
故选项C不符合题意；
D. 在中，
∴
又平分
∴
∴
∴，即BD是“优美线”
故选项D符合题意；
故选D
【点睛】本题主要考查了“优美线”的定义，熟练掌握“优美线”的定义是解答本题的关键．
【变式3】（2022秋·江苏南通·八年级统考期中）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形中，则它的优美比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可以写出∠B和∠C，再根据三角形内角和定理可以得解．
【详解】解：由已知可得：∠B=∠C=k∠A=（36k）°，
由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，
∴k=2，
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键 ．
考点9：垂直平分线的性质——求角
典例9：（2022春·云南楚雄·八年级统考期末）如图，在四边形中，的垂直平分线交于，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据的垂直平分线交于，得，再由三角形外角性质解答即可．
【详解】解：的垂直平分线交于，
，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式1】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，中，，垂直平分，分别交于点D、E，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，先根据线段垂直平分线的性质及等边对等角得出，再由三角形外角性质得出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】解：设，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式2】（2022秋·山东滨州·八年级校考期中）如图，在中，，，垂直平分线交于，交于，给出下列结论：①；②平分；③；④是等腰三角形．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①根据三角形的内角和定理以及等边对等角即可求解；②根据线段的垂直平分线的定义求得，进而根据①的结论即可求得，根据角平分线的定义即可判断；③由①可知，根据三角形的外角性质求得，根据等角对等边即可得，进而可得，④根据③即可判断△BDC是等腰三角形
【详解】解： ，，
故①正确；
垂直平分
平分；
故②正确
，
故③正确
是等腰三角形
故④正确
故正确的有①②③④，共4个
故选D
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，三角形的内角和定理和外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式3】（2023秋·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校考阶段练习）如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M，N，若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和得到，根据线段的垂直平分线的性质得到，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，即可求出答案．
【详解】解：∵，
，
∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，
，
，
，，
，
，
∴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．
考点10：垂直平分线的性质——求线段
典例10：（2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于和，连接，若，的周长为，则的周长是（ ）
A．7cm B．10cm C．16cm D．19cm
【答案】A
【分析】利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用三角形周长的定义和等线段代换得到的值即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，，
的周长为，
即，
，
即，
的周长为．
故选：A．
【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段的垂直平分线的性质．
【变式1】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为( )
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【分析】在上取一点P，连接，，，由垂直平分线的性质可知，从而得到，点D是定点，由两点之间线段最短可知，最小值为的长，再利用三角形的面积公式求即可．
【详解】解：在上取一点P，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
点D是定点，由两点之间线段最短可知：点P在上时，最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∴最小值为4，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的面积公式，两点之间线段最短，垂直平分线的性质等知识，推导出最小值即为的长是解题的关键．
【变式2】（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点D、E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，，若的面积为3，则的面积是（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，，由线段的垂直平分线的定义得到，，根据三角形的面积计算即可得到答案．
【详解】解：连接，，
∵的垂直平分线分别与、交于点D、E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线，三角形的面积公式，掌握线段的垂直平分线的定义以及三角形的面积是解题的关键．
【变式3】（2022春·福建漳州·八年级校考期中）如图，中，，，，的垂直平分线分别交、于、；则的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线性质得出，求出的周长，再代入求出答案即可．
【详解】解：的垂直平分线分别交、于、，
，
，，
的周长为，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
考点11：尺规垂直平分线
典例11：（2023秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，已知，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图1中，在边上求作一点D，使得点D到边的距离相等；
(2)在图2中，在边上求作一点E，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作的角平分线，与的交点即为点D；
（2）作线段的垂直平分线，与的交点即为点E；
【详解】（1）解：如图，点D即为所作；
（2）解：如图，点E即为所作；
【点睛】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质，作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质．掌握基本作图方法是解题关键．
【变式1】（2023秋·湖北·八年级校考周测）尺规作图：请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【分析】由点P到点M和点N的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，由点P到两边的距离相等，可知点P在的平分线上，即点P为线段的垂直平分线与的平分线的交点，如图作垂线与角平分线即可．
【详解】解：如图：点P即为所求．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，垂直平分线的应用，作垂线，作角平分线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式2】（2023秋·福建泉州·八年级泉州五中校考阶段练习）尺规作图，已知．
(1)作的中线；
(2)作出的角平分线；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作线段的垂直平分线，其与线段的交点即为线段的中点，连接该中点与点，即为所求．
（2）以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半的长为半径作弧，两弧在内部交于一点，以点为顶点，过该点作射线，即为所求．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题主要考查尺规作图，牢记尺规作已知线段垂直平分线的方法和作已知角的平分线的方法是解题的关键．
【变式3】（2023秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，已知，根据要求作图：
(1)作边上的高线．
(2)用直尺和圆规作过点A将的面积平分的线段．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）直接用直角三角板过A点作边的延长线的垂线，垂足为E点，则就是边上的高；
（2）作边的垂直平分线交边于D点，连接，则线段就是平分的面积的线段．
【详解】（1）如图，线段即为所求．
（2）如图，线段即为所求．
【点睛】本题主要考查了限定工具，按要求作图．熟练掌握作钝角三角形的高和利用尺规作线段的垂直平分线是解题的关键．
考点12：角平分线的性质——求线段
典例12：（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作 交于点，交于点，过点作于点，某班学生在一次数学活动课中，探索出如下结论，其中错误的是( )
A． B．点到各边的距离相等
C． D．设，，则
【答案】C
【分析】利用角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质逐一判定即可．
【详解】解：在中，和的平分线相交于点
， ，，
（） ，故C错误；
，，
，，
，
，故A正确；
由已知，得点是的内心，到各边的距离相等，故B正确；
作，交于，连接，如图所示：
在中，和的平分线相交于点
，故D选项正确；
故选：C．
【点睛】此题主要考查运用角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，解题关键是注意数形结合思想的运用．
【变式1】（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图，平分，于点，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．不能确定
【答案】A
【分析】过D点作于F，如图，利用三角形面积公式计算出，然后根据角平分线的性质得到的长．
【详解】解：过D点作于F，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【变式2】（2023秋·浙江金华·八年级统考阶段练习）如图，平分，于点E，，F是射线上的任一点，则的长度不可能是（ ）
A．2.8 B．3 C．4.2 D．5
【答案】A
【分析】过D点作于H，根据角平分线的性质得，再利用垂线段最短得到，然后对各个选项进行判断即可，
【详解】过D点作于H，
平分，，，
∴，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了垂线段最短，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【变式3】（2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，的三边的长分别为，其三条角平分线将分成三个三角形，则（ ）
A．2：3：4 B．4：9：14 C．13：9：4 D．4：3：2
【答案】B
【分析】由角平分线的性质可得，点到三角形三边的距离相等，即三个三角形的、、边上的高相等，利用面积公式即可求解．
【详解】解：过点作于，于，于，
是三角形三条角平分线的交点，
，
∵的长分别为，，
∴ ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，作辅助线很关键．解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
考点13：角平分线的性质——求面积
典例13：（2022秋·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大2，则的面积是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．28
【答案】D
【分析】作于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式得到，根据题意列式计算得到答案．
【详解】解：作于，于，
平分，，，
，
，
设的面积为，则，，
的面积比的面积大2，
的面积比的面积大2，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【变式1】（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，是的角平分线，于E，的面积是，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点D作，垂足为点F，根据是的角平分线，得，根据的面积是，，，，即可求出．
【详解】解：如图，过点D作，垂足为点F，
∵是的角平分线，，
∴，
的面积是，，，
，
∴，即，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质；熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等三角形的面积计算公式等知识是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为18和11，则的面积为（ ）
A．7.5 B．5.5 C．3.5 D．2.5
【答案】C
【分析】过点作，证明，，得到，得到，即可得解．
【详解】解：过点作，
∵是的角平分线，，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，即：，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握角平分线的性质，添加辅助线，构造全等三角形．
【变式3】（2023春·河南信阳·八年级校联考阶段练习）如图，已知周长是10，，分别平分和，于点，且，则的面积是（ ）
A．5 B．8 C．20 D．10
【答案】D
【分析】作交于，作交于点，连接，根据角平分线的性质可得，，再根据进行计算即可．
【详解】解：如图，作交于，作交于点，连接，
，
分别平分，，，
，
同理可得，
周长是10，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
考点14：角平分线的性质综合——最值
典例14：（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，BD平分∠ABC，S△ABC＝8，AB＝4，E为BC上一动点，在BD上找一点F，使EF+FC的值最小，则这个最小值为( )
A．4 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【分析】过C点作CG⊥AB，根据三角形面积公式解答即可．
【详解】过C点作CG⊥AB，交BD与F'，过F'作F'E'⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CG⊥AB，F'E'⊥BC，
∴GF'＝F'E'，
∴EF+FC的值最小＝GF'+F'C＝CG，
∵S△ABC＝8，AB＝4，
∴CG＝，
故选A．
【点睛】此题主要考查三角形内线段最小值的求解，解题的关键是熟知根据题意作出辅助线及利用三角形的面积公式求解.
【变式1】（2023秋·宁夏石嘴山·八年级校考期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当最小时，的面积是（ ）
A．2 B．1 C．6 D．7
【答案】B
【分析】过点作于，由角平分线的作法可知，是的角平分线，利用角平分线的性质得出，根据过直线外一点到直线的垂线段最短， 最短为2，由直角三角形全等的判定和性质可得出，利用线段间的数量关系及三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，
由角平分线的作法可知，是的角平分线，
点为线段上的一个动点，最短，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查的是作图基本操作，角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质，过直线外一点到直线的垂线段最短等，理解题意，然后熟练掌握运用角平分线的性质是解题的关键．
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】由P为BC的动点，要使PE取最小值，当 PE⊥BC时，PE最小，由CEBE为角平分线，AE⊥AB，DE⊥CD，PE⊥BC，则PE=EA=ED=AD即可．
【详解】∵P为BC的动点，
要使PE取最小值，
当PE⊥BC时，PE最小，
∵AD⊥AB，AB∥CD，
∴AD⊥CD,
∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PE=AE=DE，
∵AD =8
∴PE=AE=DE AD=4，
∴PE最小值＝4，
故选择：D．
【点睛】本题考查直线上动点P到定点的距离问题，掌握角平分线的性质是解题关键．
【变式3】（2023春·四川雅安·八年级四川省名山中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,CD⊥AD，P是CD边上的一动点，要使PA+PB的值最小，则点P应满足的条件是( )
A．PB=PA B．PC=PD
C．∠APB＝90° D．∠BPC＝∠APD
【答案】D
【分析】首先根据轴对称的知识，可知P点的位置是连接点A和点B关于CD的对称点E与CD的交点，利用轴对称和对顶角相等的性质可得．
【详解】如图，作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于P，连接BP.
根据轴对称的性质，得∠BPC=∠EPC，
根据对顶角相等知∠APD=∠EPC，
所以∠BPC＝∠APD.
故选D.
【点睛】此题主要考查轴对称的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据轴对称的性质进行求解.
考点15：尺规作角平分线
典例15：（2022春·陕西宝鸡·七年级统考期末）如图，已知．请按步骤用尺规作图，并回答下列问题：
第一步：在，上分别截取，，使．
第二步：分别以点D和点E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点C．
第三步：作射线．（保留作图痕迹）
(1)射线是_______________________．
(2)连接，，与全等吗？请说明理由．
【答案】(1)图见解析，的角平分线
(2)全等，理由见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据证明三角形全等即可．
【详解】（1）解：图形如图所示：
的角平分线，
故答案为：角平分线；
（2）解：结论：．
理由：在和中，
，
．
【点睛】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式1】（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在△ABC中，AB＝BC．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线BD交边AC于点D（保留作图痕迹，不需写出作法）．
（2）求证：BD⊥AC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）利用基本作图，作∠ABC的平分线；
（2）根据等腰三角形的“三线合一”进行证明．
【详解】（1）解：如图，BD为所作；
（2）证明：∵AB=BC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵BD为角平分线，
∴BD⊥AC．
【点睛】本题考查作图-基本作图，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的作法及等腰三角形的性质．
【变式2】（2023秋·内蒙古呼和浩特·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点G（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，求△CBG的面积．
【答案】（1）见解析；（2）27
【分析】（1）根据角平分线的作法利用尺规即可作∠ABC的角平分线交AC于点G；
（2）作GD⊥AB，GE⊥BC，根据角平分线的性质可得GD＝GE，根据AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，即可求△CBG的面积．
【详解】解：（1）如图，BG即为所求；
（2）如图，∵BG平分∠ABC，
过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，
∴GD＝GE，
∵AB＝8，△ABG的面积为18，
∴
∴GD＝，
∵BC＝12，GE＝GD＝，
∴△CBG的面积为12×＝
【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）【教材呈现】数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：
试一试
如图，为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出的平分线.
第一步：在射线OA、OB上，分别截取OD、OE，使
第二步：分别以点D和点E为圆心，适当长(大于线段DE长的一半)为半径作圆弧，在内，两弧交于点C；
第三步：作射线OC.射线OC就是所要求作的的平分线
【问题1】赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是__________________．
【问题2】小明发现只利用直角三角板也可以作的角平分线，方法如下：
步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使．
②分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．
③作射线OP，则OP为的平分线．
请根据小明的作法，求证OP为的平分线．
【答案】【问题1】边边边（或SSS）；【问题2】见解析
【分析】问题1：根据三角形全等的SSS定理解答；
问题2：证明Rt△ONP≌Rt△OMP，根据全等三角形的性质证明即可．
【详解】解：问题1：张老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是SSS，
故答案为：SSS；
问题2：由作图得：
，，．
∴．
∴和是直角三角形．
∵，
∴．
∴．
∴OP为的平分线．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用及基本作图的知识，同学们注意仔细审题，理解这些作角平分线的方法，按照题目意思解答．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长交于，根据角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，进而求得答案．
【详解】解：如图，延长交于，
平分，
，
，
，
在与中，
，
≌ ，
，
，，
阴影部分的面积．
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用三角形的中线求面积，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】过D作DG⊥AC于点G，根据角平分线的性质以及割补法可列出等式，进而可求出BF的值．
【详解】解：如图，过D作DG⊥AC于点G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DG=DE=2，
∵，
∴，
∴，
解得BF=5，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，割补法求面积，能够熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．
3．（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）如图,在△ABC中,AB=8，BC=6，AC=5，点D在AC上,连结BD,将△ABC沿BD折叠后,若点C恰好落在AB边上的点E处,则△ADE的周长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据折叠，得到BE=BC=6，DE=CD，进而求出AE=2，△ADE的周长=AE+DE+AD=AE+AC，即可求得.
【详解】∵折叠
∴BE=BC=6，DE=CD
∴AE=AB-BE=8-6=2
△ADE的周长=AE+DE+AD=AE+AC=2+5=7
故选C
【点睛】本题考查了折叠的对称性，难度不大，相等线段之间的替换是解答本题的关键.
4．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面正确的结论有（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②AF＝AG；
③∠FAG＝∠ACF
④BH＝CH
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠ABC=∠DAC，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对②进行判断；根据等角的余角相等得到∠BAD=∠ACB，再根据角平分线的定义可对③进行判断．
【详解】解：∵BE是中线得到AE=CE，
∴S△ABE=S△BCE，故①正确；
∵∠BAC=90°，AD是高，
∴∠ABC=∠DAC，
∵CF是角平分线，
∴∠ACF=∠BCF，
∵∠AFG=∠FBC+∠BCF，∠AGF=∠GAC+∠ACF，
∴∠AFG=∠AGF，
∴AF=AG，故②正确；
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
而∠ACB=2∠ACF，
∴∠FAG=2∠ACF，故③正确．
根据已知条件不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出BH=CH，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
5．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中） 如图，在中，平分是边上的高，则下列结论正确的个数为( )
①；②平分；③平分；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系判断求解即可；
【详解】∵是边上的高
∴
∵平分
∴
∴
故①正确，符合题意；
在Rt 和 Rt 中
∴
∴
∴平分
故③正确，符合题意；
在中，
∴
故④正确，符合题意；
只有时，平分，故②错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、角平分线的性质是解题的关键．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，的平分线和的外角平分线交于，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，利用三角形外角的性质和角平分线的性质得到．则．然后又由三角形外角性质推知．
【详解】解：如图，
∵ ，的平分线和的外角平分线交于，
∴ ，即．
又∵ ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ．
故选：．
【点睛】此题综合考查了三角形的外角的性质以及角平分线定义，熟练掌握这些知识是解答此题的关键.
7．（2023春·河北廊坊·八年级统考开学考试）如图，BD是的角平分线，，交AB于点E．若，，则的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．50°
【答案】B
【分析】由外角的性质可得∠ABD＝20°，由角平分线的性质可得∠DBC＝20°，由平行线的性质即可求解.
【详解】解：（1）∵∠A＝30°，∠BDC＝50°，∠BDC＝∠A＋∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDC ∠A＝50° 30°＝20°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABD＝20°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC＝20°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活应用这些性质解决问题是解决本题的关键．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是：
A．OE平分∠AOB B．点C、D到OE的距离不一定相等
C．OC＝OD D．点E到OA、OB的距离一定相等
【答案】B
【详解】试题解析：根据尺规作图的痕迹可知，OE平分∠AOB，OC=OD，点E到OA、OB的距离一定相等，故A、C、D不符合题意.故选B．
二、填空题
9．（2022春·七年级课时练习）如图所示,把宽为2 cm的长方形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若△PFH的周长为10 cm,则长方形ABCD的面积为 .
【答案】20cm2
【分析】根据折叠的性质证明BC的长等于△PFH的周长,再利用长方形的面积公式即可解题.
【详解】解：由折叠可知,BF=PF,CH=PH,
∴BC=PH+FH+PH,
∵△PFH的周长为10 cm,
∴BC=10cm,
∵长方形纸条的宽为2cm,
∴长方形ABCD的面积=20cm2.
【点睛】本题考查了折叠的性质,属于简单题,利用折叠找到对应边是解题关键.
10．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期中）如图，△ABC中，∠C=40°，AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，AD与BD交于点D，那么∠D= °．
【答案】20
【分析】根据角平分线的性质以及三角形外角的性质得到∠CBE=∠C+∠CAB①，∠DBE=∠DAE+∠D②，两式整理得∠C=2∠D，即可求出答案．
【详解】∵AD是∠CAB的角平分线，BD是△ABC的外角平分线，
∴∠DBE=∠CBE，∠DAE=∠CAB，
∵∠CBE=∠C+∠CAB①，∠DBE=∠DAE+∠D②，
由②×2得，2∠DBE=2∠D+2∠DAE，
∴∠C=2∠D，
∴∠D=20°，
故答案为：20．
【点睛】此题考查了三角形外角的性质，三角形角平分线的定义，熟记三角形的外角性质是解题的关键．
11．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，若的平分线与的外角的平分线相交于点Р连接，若，则等于 度．
【答案】
【分析】先根据条件求出，过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M，根据角平分线的性质与判定，可得到平分，故求得．
【详解】
过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M
平分，平分
，
∵，
平分
故答案为：
【点睛】本题主要考查角平分线的性质及判定，正确作出辅助线是解题的关键．
12．（2022秋·四川遂宁·八年级学业考试）已知，，P是内一定点，D、E分别是射线BA、BC上的点，当的周长最小时，的度数是 .
【答案】84°
【详解】Y由题意得：F、D、E、G共线，的周长最小， ,
13．（2022秋·江苏泰州·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=20，AC=12，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD=5：3，则点D到线段AB的距离为 ．
【答案】6
【详解】解：∵∠C=90°，AB=20，AC=12，∴BC== =16，∵BD：CD=5：3，∴CD=16×=6，∵AD平分∠BAC，∴DE=CD=6，即点D到线段AB的距离为6．
故答案为6．
点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
14．（2022秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，在中，平分，，，点E、F为垂足，连接，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分．其中正确的为 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】由在中，，平分，，，根据角平分线的性质，可得，即可证得；又由等角的余角相等，可得，然后由角平分线的性质，证得，又由等腰三角形的三线合一的性质，证得垂直平分．
【详解】解：①平分，，，
，
；①正确；
②平分，，，
∴，，
，
∴平分，
，②正确；
③④，平分，
垂直平分．
故③错误，④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
15．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于F点，过点F作DEBC，交AB于点D，交AC于点E，若 AB=8，AC=9，则△ADE的周长为 ．
【答案】17
【分析】根据角平分线的定义可得∠DBF=∠CBF，根据平行线的性质，可得∠CBF=∠BFD，等量代换可得∠DBF=∠BFD，根据等角对等边可得BD=FD，同理可得CE=FE，可求得△ADE的周长为AB+AC，据此即可求得．
【详解】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠CBF，
∵DE//BC，
∴∠CBF=∠BFD，
∴∠DBF=∠BFD，
∴BD=FD，
同理可得CE=FE，
∵DE=FD+FE，
∴DE=BD+CE，
∴△ADE的周长为：
AD+DE+AE =AD+BD+CE+AE=AB+AC=8+9=17．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形中等角对等边的性质，证得△ADE的周长为AB+AC是解决此题关键．
16．（2023秋·山东德州·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC中，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠CAE、内角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下结论：①∠ABC=∠ACB；②∠ADC+∠ABD=90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】根据角平分线的定义得到∠EAD=∠CAD，根据平行线的性质得到∠EAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，求得∠ABC=∠ACB，故①正确；根据角平分线的定义得到∠ADC=90°∠ABC，求得∠ADC+∠ABD=90°故②正确；根据全等三角形的性质得到AB=CB，与题目条件矛盾，故③错误，根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到2∠BDC=∠BAC，故④正确．
【详解】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，故①正确；
∵AD，CD分别平分∠EAC，∠ACF，
∴可得∠ADC=90°∠ABC，
∴∠ADC+∠ABC=90°，
∴∠ADC+∠ABD=90°，故②正确；
∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∠ADB=∠BDC，
∴△ABD≌△BCD（ASA），
∴AB=CB，与题目条件矛盾，故③错误，
∵∠DCF=∠DBC+∠BDC，∠ACF=∠ABC+∠BAC，
∴2∠DCF=2∠DBC+2∠BDC，2∠DCF=2∠DBC+∠BAC，
∴2∠BDC=∠BAC，故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题
17．（2022秋·八年级校考课时练习）如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．
【答案】AB=9cm ，AC=6cm.
【详解】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CD=BD，然后求出△ACD的周长＝AB+AC,再解关于AC、AB的二元一次方程组即可.
解：∵DE垂直平分BC，
∴BD=DC，
∵AB=AD+BD，
∴AB=AD+DC.
∵△ADC的周长为15cm，
∴AD+DC+AC=15cm，
∴AB+AC=15cm.
∵AB比AC长3cm，
∴AB-AC=3cm.
∴AB=9cm ，AC=6cm.
18．（2023春·天津·九年级专题练习）如图，中，．
(1)作BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E
(2)连接BE，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据作线段垂直平分线的作法即可画出；
(2)首先根据垂直平分BC，可证得，再根据三角形外角的性质可得，可证得，，最后根据三角形内角和定理，即可求得．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：如图：
垂直平分BC
又
故答案为：
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，等边对等角，三角形内角和定理及外角的性质，熟练掌握和运用各性质是解决本题的关键．
19．（2022春·七年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，探索α与∠B的关系．
【答案】∠α=∠B，理由见解析
【详解】试题分析：根据已知条件易证△BFD≌△CDE，得出∠BFD=∠CDE，再由角之间的转化，进而可得出结论．
【解析过程】试题解析：
∠α=∠B，理由为：
证明：∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等边对等角），
在△BDF和△CED中，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠CDE（全等三角形对应角相等），
又∵∠FDC=∠B+∠BFD（外角性质），
∴∠α=∠B（等式性质）．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
20．（2022秋·八年级单元测试）已知：平分，点、都是上不同的点，，，垂足分别为、，连接、．求证：
（1）
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）平分，可得,，，可得 ,联立,利用AAS即可判断三角形全等．
（2）由得,进一步证明,与而得到．
【详解】（1）证明：∵平分
∴
∵，
∴
又∵
∴（AAS）
（2）证明：∵
∴
又∵平分
∴
又∵
∴（SAS）
∴
【点睛】本题考查三角形全等的判定定理，角平分线的性质等相关知识点，根据定理切入解题是重点．
21．（2022秋·内蒙古呼和浩特·八年级统考期中）如图,点C是线段AB上任意一点(点C与点A,B不重合),分别以AC,BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.连接MN.
试说明:(1)△ACM≌△DCN;(2)MN∥AB．
【答案】见解析
【分析】由已知条件可利用两边及其夹角相等的三角形全等得△ACE≌△DCB. 由全等三角形的性质可得∠CAE=∠CDB，接下来根据两角及其夹边相等的三角形全等即可得到结论；
证明第一问的方法类似，可证得△BCN≌△ECM，进而可以得出△CMN是等边三角形，
【详解】（1）∵ △ACD、△BCE为等边三角形，
∴ △ACE≌△DCB.
∴ ∠CAE=∠CDB，
∵ ∠DCA=∠BCE=60°，
∴ ∠DCE=60°，
∵ ∠CAE=∠CDB，AC=CD，∠ACD=∠DCE，
∴ △ACM≌△DCN.
（2）∵ △ACE≌△BCD，
∴ ∠MEC=∠NBC，
∵ ∠BCE=∠ECM=60°，BC=CE，∠MEC=∠NBC，
∴ △BCN≌△ECM，
∴ CM=CN，
∵ CM=CN，∠ECM=60°，
∴ △CMN是等边三角形，
∴ ∠MNC=60°，
∵ ∠BCE=∠MNC=60°，
∴ MN∥AB.
22．（2022秋·山西·八年级校考期中）已知：四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，．
（1）如图1，过点A作交BD于点E，求证：；
（2）如图2，将△ABD沿AB折叠，点D的对应点为，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CDO＝∠AEO，∠DCO＝∠EAO，利用AAS定理证明△AOE≌△COD，根据全等三角形的性质得到CD＝AE，OD＝OE，根据题意证明结论；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠BDC＝2∠ABD，再根据翻折的性质可得结论．
【详解】（1）证明：
∵，
∴，，
在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（AAS）；
∴，，
∵，，
∴，
∴
（2）证明：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、翻折变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．2023-2024学年七年级数学下册-5.3简单的轴对称图形（北师大版）
知识一遍过
（一）等腰三角形
（1）等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
（2）等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
（二）等边三角形
（1）等边三角形性质
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半
（2）等边三角形判定
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形。
（三）垂直平分线的性质
（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
（四）尺规作垂直平分线
（1）过一点作已知线段的垂线
求作：AB的垂线，使它经过点C
作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。
②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。
③作直线CF，CF即为所求的直线
（2）作已知线段的垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求
（五）角平分线的性质
（1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
（六）尺规作角平分线
作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线
考点一遍过
考点1：等腰三角形的对称轴
典例1：（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）．
A．过顶点的直线 B．底边的垂线
C．顶角的平分线所在的直线 D．腰上的高所在的直线
【变式1】（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）
A．底边上的高 B．底边上的中线
C．顶角的平分线 D．底边的垂直平分线
【变式2】（2022秋·北京·八年级北京十四中校考期中）下列命题中，不正确的是（ ）.
A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B．一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
C．等腰三角形的对称轴是底边上的中线
D．等边三角形有3条对称轴
【变式3】（2022春·湖南株洲·七年级统考期末）对于下列轴对称图形，判断正确的是（ ）
A．等腰三角形有2条对称轴 B．等边三角形有3条对称轴
C．正方形有2条对称轴 D．圆有1条对称轴
考点2：等边对等角的性质应用
典例2：（2022秋·湖北武汉·七年级统考开学考试）等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【变式1】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市青木关中学校校考阶段练习）如图，是中边上一点，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考阶段练习）如图，，，平分外角，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，已知和的平分线交于点F，过F作交AB于点D，交AC于点E，如果，．那么等于（ ）
A．1 B．5 C．9 D．10
考点3：“三线合一”应用
典例3：（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中，点在边上，，，，，则点到边的距离是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，中，，于点，于点，于点，，则（ ）
A．8 B．9 C．12 D．18
【变式3】（2023秋·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，中，，于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
考点4：等边三角形性质
典例4：（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，均为等边三角形，连接交于点O，与交于点P．下列结论：①；②；③连接，则平分；④平分．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（2022秋·辽宁盘锦·八年级校考期中）如图所示，已知是等边三角形，点是上任意一点，，分别于两边垂直，等边三角形的高为1，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．不确定
【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，直线，等边三角形的顶点C在直线b上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022秋·江西上饶·八年级统考期末）已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
考点5：等腰三角形性质——多解性
典例5：（2023秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）若一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（ ）
A．18cm B．12cm C．15cm D．12cm 或15cm
【变式1】（2023春·广东茂名·八年级统考期中）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．或 B． C． D．或
【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）在中，，边的垂直平分线与直线相交所夹的锐角为，则的顶角为（ ）
A．或 B．或 C．成 D．或
考点6：等腰三角形性质应用
典例6：（2023春·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）如图，已知的面积为，，点，为边上一点，过点分别作于，于，若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式1】（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知，如图，，则的度数为（ ）
A．60° B．90° C．80° D．20°
【变式2】（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，平分交于点D，交的延长线于点E．则下列结论：①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式3】（2023·广东江门·统考一模）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
考点7：等边三角形性质应用
典例7：（2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，已知点B是边上的动点（不与A，C重合），在的同侧作等边△ABD和等边，连接，下列结论正确的个数有（ ）
①；
②；
③；
④是等边三角形；
⑤平分；
⑥．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式1】（2023秋·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，点P是内部一点，点P关于、的对称点是H、G，直线分别交、于点C、D，若，且，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，在等边三角形中，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点A在边上的点D位置，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·四川达州·九年级四川省渠县中学校考开学考试）如图，在等边中，点A为上一动点（不与P，Q重合），连接．有以下结论：①平分；②；④；⑤当时（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
考点8：新定义问题
典例8：（2023·全国·八年级专题练习）定义：在一个等腰三角形中，如果一个内角等于另一个内角的两倍，则称该三角形为“倍角等腰三角形”.“倍角等腰三角形”的顶角度数是（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【变式1】（2022秋·河南许昌·八年级统考期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边的长为，则腰的长为（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．6
【变式2】（2022秋·湖南益阳·八年级校联考期中）定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．下列四个三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“优美线”的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2022秋·江苏南通·八年级统考期中）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形中，则它的优美比为（ ）
A． B． C． D．
考点9：垂直平分线的性质——求角
典例9：（2022春·云南楚雄·八年级统考期末）如图，在四边形中，的垂直平分线交于，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，中，，垂直平分，分别交于点D、E，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·山东滨州·八年级校考期中）如图，在中，，，垂直平分线交于，交于，给出下列结论：①；②平分；③；④是等腰三角形．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（2023秋·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校考阶段练习）如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M，N，若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为( )
A． B． C． D．
考点10：垂直平分线的性质——求线段
典例10：（2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于和，连接，若，的周长为，则的周长是（ ）
A．7cm B．10cm C．16cm D．19cm
【变式1】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为( )
A． B．4 C． D．5
【变式2】（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点D、E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，，若的面积为3，则的面积是（ ）
A．9 B． C． D．
【变式3】（2022春·福建漳州·八年级校考期中）如图，中，，，，的垂直平分线分别交、于、；则的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
考点11：尺规垂直平分线
典例11：（2023秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，已知，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图1中，在边上求作一点D，使得点D到边的距离相等；
(2)在图2中，在边上求作一点E，使得．
【变式1】（2023秋·湖北·八年级校考周测）尺规作图：请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）．
【变式2】（2023秋·福建泉州·八年级泉州五中校考阶段练习）尺规作图，已知．
(1)作的中线；
(2)作出的角平分线；
【变式3】（2023秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，已知，根据要求作图：
(1)作边上的高线．
(2)用直尺和圆规作过点A将的面积平分的线段．
考点12：角平分线的性质——求线段
典例12：（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作 交于点，交于点，过点作于点，某班学生在一次数学活动课中，探索出如下结论，其中错误的是( )
A． B．点到各边的距离相等
C． D．设，，则
【变式1】（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图，平分，于点，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．不能确定
【变式2】（2023秋·浙江金华·八年级统考阶段练习）如图，平分，于点E，，F是射线上的任一点，则的长度不可能是（ ）
A．2.8 B．3 C．4.2 D．5
【变式3】（2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，的三边的长分别为，其三条角平分线将分成三个三角形，则（ ）
A．2：3：4 B．4：9：14 C．13：9：4 D．4：3：2
考点13：角平分线的性质——求面积
典例13：（2022秋·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大2，则的面积是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．28
【变式1】（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，是的角平分线，于E，的面积是，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为18和11，则的面积为（ ）
A．7.5 B．5.5 C．3.5 D．2.5
【变式3】（2023春·河南信阳·八年级校联考阶段练习）如图，已知周长是10，，分别平分和，于点，且，则的面积是（ ）
A．5 B．8 C．20 D．10
考点14：角平分线的性质综合——最值
典例14：（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，BD平分∠ABC，S△ABC＝8，AB＝4，E为BC上一动点，在BD上找一点F，使EF+FC的值最小，则这个最小值为( )
A．4 B．3 C．5 D．6
【变式1】（2023秋·宁夏石嘴山·八年级校考期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当最小时，的面积是（ ）
A．2 B．1 C．6 D．7
【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【变式3】（2023春·四川雅安·八年级四川省名山中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,CD⊥AD，P是CD边上的一动点，要使PA+PB的值最小，则点P应满足的条件是( )
A．PB=PA B．PC=PD
C．∠APB＝90° D．∠BPC＝∠APD
考点15：尺规作角平分线
典例15：（2022春·陕西宝鸡·七年级统考期末）如图，已知．请按步骤用尺规作图，并回答下列问题：
第一步：在，上分别截取，，使．
第二步：分别以点D和点E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点C．
第三步：作射线．（保留作图痕迹）
(1)射线是_______________________．
(2)连接，，与全等吗？请说明理由．
【变式1】（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在△ABC中，AB＝BC．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线BD交边AC于点D（保留作图痕迹，不需写出作法）．
（2）求证：BD⊥AC．
【变式2】（2023秋·内蒙古呼和浩特·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点G（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，求△CBG的面积．
【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）【教材呈现】数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：
试一试
如图，为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出的平分线.
第一步：在射线OA、OB上，分别截取OD、OE，使
第二步：分别以点D和点E为圆心，适当长(大于线段DE长的一半)为半径作圆弧，在内，两弧交于点C；
第三步：作射线OC.射线OC就是所要求作的的平分线
【问题1】赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是__________________．
【问题2】小明发现只利用直角三角板也可以作的角平分线，方法如下：
步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使．
②分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．
③作射线OP，则OP为的平分线．
请根据小明的作法，求证OP为的平分线．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2022秋·河南许昌·八年级统考期末）如图,在△ABC中,AB=8，BC=6，AC=5，点D在AC上,连结BD,将△ABC沿BD折叠后,若点C恰好落在AB边上的点E处,则△ADE的周长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面正确的结论有（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②AF＝AG；
③∠FAG＝∠ACF
④BH＝CH
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中） 如图，在中，平分是边上的高，则下列结论正确的个数为( )
①；②平分；③平分；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，的平分线和的外角平分线交于，已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·河北廊坊·八年级统考开学考试）如图，BD是的角平分线，，交AB于点E．若，，则的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．50°
8．（2023春·全国·七年级专题练习）观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是：
A．OE平分∠AOB B．点C、D到OE的距离不一定相等
C．OC＝OD D．点E到OA、OB的距离一定相等
二、填空题
9．（2022春·七年级课时练习）如图所示,把宽为2 cm的长方形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若△PFH的周长为10 cm,则长方形ABCD的面积为 .
10．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期中）如图，△ABC中，∠C=40°，AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，AD与BD交于点D，那么∠D= °．
11．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，若的平分线与的外角的平分线相交于点Р连接，若，则等于 度．
12．（2022秋·四川遂宁·八年级学业考试）已知，，P是内一定点，D、E分别是射线BA、BC上的点，当的周长最小时，的度数是 .
13．（2022秋·江苏泰州·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=20，AC=12，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD=5：3，则点D到线段AB的距离为 ．
14．（2022秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，在中，平分，，，点E、F为垂足，连接，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分．其中正确的为 ．（填序号）
15．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于F点，过点F作DEBC，交AB于点D，交AC于点E，若 AB=8，AC=9，则△ADE的周长为 ．
16．（2023秋·山东德州·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC中，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠CAE、内角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下结论：①∠ABC=∠ACB；②∠ADC+∠ABD=90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有 ．（填序号）
三、解答题
17．（2022秋·八年级校考课时练习）如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．
18．（2023春·天津·九年级专题练习）如图，中，．
(1)作BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E
(2)连接BE，若，求的度数．
19．（2022春·七年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，探索α与∠B的关系．
20．（2022秋·八年级单元测试）已知：平分，点、都是上不同的点，，，垂足分别为、，连接、．求证：
（1）
（2）．
21．（2022秋·内蒙古呼和浩特·八年级统考期中）如图,点C是线段AB上任意一点(点C与点A,B不重合),分别以AC,BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.连接MN.
试说明:(1)△ACM≌△DCN;(2)MN∥AB．
22．（2022秋·山西·八年级校考期中）已知：四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，．
（1）如图1，过点A作交BD于点E，求证：；
（2）如图2，将△ABD沿AB折叠，点D的对应点为，求证：．
