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一、选择题（共10小题）
1．（2024 新安县一模）若抛物线与轴没有交点，则的值可以是
A． B．0 C．4 D．8
2．（2024 新抚区一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为
A． B．
C． D．
3．（2024 雨城区校级一模）已知二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024 新抚区一模）把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为
A． B． C． D．
5．（2024 碑林区校级三模）已知二次函数中自变量的部分取值和对应的函数值如表所示：
0 1 2
5 0
下列说法中正确的个数有
①函数图象开口向上；
②函数图象与的交点坐标是、；
③当时，随的增大而增大；
④顶点坐标是．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024 广水市一模）点，和点，在函数的图象上，且，，则的值为
A．6 B．4 C．3 D．2
7．（2024 红花岗区一模）如图1，质量为的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度△之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为
8．（2024 织金县一模）二次函数的图象过点，则使函数值成立的的取值范围是
A．或 B． C．或 D．
9．（2024 咸安区模拟）下表列出了二次函数，，为常数，的自变量与函数的几组对应值：．
0
有下列四个结论：①；②；③；④若直线为常数）与二次函数的图象有两个交点，则．其中正确结论的序号为
A．①④ B．②④ C．②③ D．①③
10．（2024 镇海区校级二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题）
11．（2024 广州一模）已知，在抛物线上，则 ．（填“”或“”或“”
12．（2024 淮安区一模）若二次函数的图象经过点，则 ．
13．（2024 杭州模拟）为了准备体育中考，教练对小明扔实心球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系后发现实心球与地面的高度和离运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 ．
14．（2024 武汉模拟）已知抛物线，，是常数，经过点，其中．下列结论：
①；
②关于的一元二次方程一定有一个根是小于1的正数；
③当时，随的增大而减小；
④分式的值小于3．
其中正确的结论是 （填写序号）
15．（2024 肥东县校级模拟）已知二次函数是常数，且．
（1）若点在该函数的图象上，则的值为 ；
（2）当时，若，则函数值的取值范围是 ．
16．（2024 金华一模）已知二次函数．
（1）若点在该函数图象上，则的值为 ．
（2）若点，，都在该函数图象上，且，则的取值范围为 ．
17．（2024 新都区模拟）将抛物线向左平移个单位长度后，再向下平移个单位长度，得到新的抛物线，若，，为抛物线图象上的三点，则、、的大小关系 （请用“”表示）
18．（2024 泗县一模）如图，已知抛物线是常数且和线段，点和点的坐标分别为，．
（1）抛物线的对称轴为直线 ；
（2）当时，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是 ．
19．（2024 武侯区校级一模）如图，二次函数的图象交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点．现有一长为3的线段在直线上移动，且在移动过程中，线段上始终存在点，使得三条线段，，能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段左端点的横坐标为，则的取值范围是 ．
20．（2024 水磨沟区一模）如图，抛物线的顶点为，与轴交点，的横坐标分别为，3，与轴负半轴交于点．下面五个结论：①；②；③对任意实数，；④，，，是抛物线上两点，若，则；⑤使为等腰三角形的值可以有3个．其中正确的结论有 ．（填序号）
三、解答题（共8小题）
21．（2024 坪山区校级一模）某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是1000千克．
（1）预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少；
（2）某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果．经调查发现，若每千克的销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克．设水果店一天的利润为元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？
22．（2024 临渭区一模）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点离水面，在水面以上的桥墩，都为．以所在的直线为轴、所在的直线为轴建立平面直角坐标系，其中是桥拱截面上一点距桥墩的水平距离，是桥拱截面上一点距水面的距离．
（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨时，水面到棚顶的高度为，遮阳棚宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
23．（2024 谷城县一模）在平面直角坐标系中，抛物线为常数）的顶点为．
（1）当时，写出此时抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与轴交于点，求出的取值范围；
（3）当时，函数的最大值为，求的值．
24．（2024 昆明模拟）目前，云南省有130多种水果资源，约占全国的．第十六届亚洲果蔬产业博览会是中国领先的水果产业链贸易盛会，此次博览会，云南出产的苹果、蓝莓、冰糖橙、甜柿、草莓、石榴等品种深受全国经销商们青睐．某果园今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市15天全部售罄，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第天时，日销售量（单位：千克）与之间的函数关系式为，草莓单价（单位：元千克）与之间的函数关系如图所示．
（1）当时，求与之间的函数关系式；
（2）设日销售额为元，当时，求的最大值．
25．（2024 交城县一模）综合与探究
如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上的一动点．
（1）求抛物线的顶点的坐标和直线的解析式；
（2）如图1，连接交于点，若，求此时点的坐标；
（3）如图2，直线与抛物线交于，两点，过顶点作轴，交直线于点．若点是抛物线上一动点，试探究在直线上是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
26．（2024 阳泉模拟）综合与探究
如图，抛物线经过点，，与轴交于点，作直线．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若是抛物线上的一点，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数表达式．当为何值时，有最大值，并求出的最大值．
（3）若点是抛物线上的一点，过点作交轴于点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2024 锡山区一模）如图，抛物线交轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点，连接，其中．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为线段上方抛物线上一动点，过点作于点，若，求点的坐标；
（3）过线段上的点作轴的垂线交抛物线于点，当与相似时，点的坐标为 ．
28．（2024 玄武区校级模拟）抛物线与轴交于、，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值及此时点的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，点，为抛物线上一动点，为抛物线对称轴上一动点，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出所有可能的点的坐标．
一、选择题（共10小题）
1．【答案】
【解答】解：抛物线与轴没有交点，
无解，
△，
解得，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：一次函数和二次函数都经过轴上的，
两个函数图象交于轴上的同一点，故选项错误；
当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故选项错误；
当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故选项错误；
故选：．
3．【答案】
【解答】解：抛物线开口向上，
，
，
，
抛物线交轴于负半轴，
，
，故①正确，
，，
，
，故②正确，
时，，
，
，
时，，
，
，
，故③正确，
点，都在抛物线上，
观察图象可知，故④错误．
故选：．
4．【答案】
【解答】解：把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为：．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：由表格可知，
函数图象开口向上，故①正确，符合题意；
函数图象与的交点坐标是、，故②正确，符合题意；
当时，随的增大而增大，故③正确，符合题意；
顶点坐标是，故④正确，符合题意；
故选：．
6．【答案】
【解答】解：将代入得，
解得，，
，
，
，
故选：．
7．【答案】
【解答】解：由图象可知，弹簧压缩后开始减速，
故选项不符合题意；
由图象可知，当弹簧被压缩至最短，小球的速度最小为0，
故选项不符合题意；
由图象可知小球速度最大时，弹簧压缩，
此时弹簧的长度为，
故选不符合题意；
由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为时，
此时弹簧的长度为，
故选项符合题意；
故选：．
8．【答案】
【解答】解：二次函数，开口向上，对称轴为直线，
图象过点，
图象过，，
使函数值成立的的取值范围是：或．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：由表格数据可知抛物线开口向上，对称轴为直线，，
当时，，
，
，
，故①错误；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，随的增大而增大，
与关于直线对称，，
当时，，故②正确；
时，随的增大而增大，且时，，
时，，
与关于直线对称，，
时，，
，即，故③错误；
抛物线开口向上，顶点为，
若直线为常数）与二次函数的图象有两个交点，则，故④正确．
故选：．
10．【答案】
【解答】解：，
抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，
，
，即，
解得，
，
，
解得，
，
故选：．
二、填空题（共10小题）
11．【答案】．
【解答】解：，对称轴为，
当与时，函数值都都等于，
当时函数值随自变量的增大而增大；
，
，
故答案为：．
12．【答案】2025．
【解答】解：将代入得，
，
．
故答案为：2025．
13．【答案】．
【解答】解：令，则，
故答案为：．
14．【答案】②③④．
【解答】解：①将点坐标代入抛物线解析式得：，
，
，故结论①错误；
②令，则，两根之和，，两根之积，，
、均大于0，
当时，，，抛物线开口向上，
抛物线有1个根在0到1之间，即有1个根在0到1之间，②正确；
③，，把其中替换成，，即
，
，
，结论③成立
④，抛物线与轴两个交点均在正半轴，
当时，，即，
，
，，
，
，④正确．
故答案为：②③④．
15．【答案】（1）2；
（2）．
【解答】解：（1）点在二次函数 的图象，
，
解得．
故答案为：2．
（2）当 时，，
，
抛物线开口向下，
当时，有最大值4．
又当时，，当时，，
当时，函数值的取值范围是．
故答案为：．
16．【答案】（1）2或；
（2）或．
【解答】解：（1）把点代入，得，
，
故答案为：2或；
（2）二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，
点，，都在该函数图象上，且，
，即，
当时，，
当时，，
当时，不合题意，
或．
故答案为：或．
17．【答案】．
【解答】解：由题知，
平移后的抛物线函数解析式为：，
则此抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
所以抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小．
因为，，，且，
所以．
故答案为：．
18．【答案】（1）2；
（2）或．
【解答】解：（1）抛物线解析式为：是常数且，
抛物线对称轴为直线，
抛物线的对称轴为直线．
故答案为：2；
（2）当时，该抛物线解析式为：．
将抛物线向上平移个单位后，解析式为．
当在抛物线上时，．
解得，
当在抛物线上时，．
解得，
时，满足题意，
当抛物线的顶点位于线段上时，．
综上所述，符合条件的的取值范围为：或．
故答案为：或．
19．【答案】．
【解答】解：（1）的图象交轴于点，，交轴于点．
点，点，点，对称轴为，
如图2，
线段上始终存在点，使得三条线段，，能与某个等腰三角形的三条边对应相等，
，或，或，
在直线上移动，
点的纵坐标为，
设点，
若，
，
，
点，，
，，
，
不合题意舍去；
若，
，
，
点，，
，，
，
，，能组成三角形；
若，
，
，
点，
，，
，
，，能组成三角形；
点在长为3的线段上，
线段左端点的横坐标为的取值范围为：，
线段左端点的横坐标为的取值范围为：，
故答案为：．
20．【答案】①③④
【解答】解：①抛物线与轴交于、，
，
．
故①正确．
②：由①分析知：，
，，
，
若，即，
．
根据题目已有条件，无法推断出，
②无法定论．
③对于任意实数，成立，
即对于任意实数，成立．
令．
，
，
关于实数的二次函数图象开口向下．
若对于任意，，故需判断△与0的数量关系．
，，
△，
对于任意实数，．
故③正确．
④，
．
，
．
，，，
，，
，
，
．
故④正确．
⑤：经分析，，．
若为等腰三角形，则或．
，，，
，．
当时，则，
（不合题意，舍去）．
当时，则，
（不合题意，舍去）．
综上所述：值有两个．
故⑤不正确．
故答案为①③④．
三、解答题（共8小题）
21．
【解答】解：（1）设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为，
由题意，得：，
解得：，（舍去）．
答：平均每年的增长率为；
（2）设每千克的平均销售价为元，由题意得：
，
，
当时，取得最大值为2450．
答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元．
22．【答案】（1）此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
（2）此船不能通过桥洞．理由见解析．
【解答】解：（1）由题意知，，，，
设抛物线解析式为，
把代入解析式得，，
解得，
此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
（2）此船不能通过，理由：
当时，，
解得或，
，
此船不能通过桥洞．
23．【答案】（1）顶点坐标为；
（2）的取值范围是；
（3）的值为0．
【解答】解：（1）当时，，
抛物线的顶点坐标为；
（2）抛物线与轴交于点，
，
，
的取值范围是；
（3）在中，对称轴为直线，
，
，
，
若，即时，
当时，函数有最大值，
，
解得，；
若，即时，
当时，函数有最大值为，
，
解得（舍去）或（舍去），
综上所述，的值为0．
24．【答案】（1）；（2）当时，取最大值，最大值为800元．
【解答】解：（1）由题意，当时，；
当时，设函数解析式为，
又图象过，，
．
．
此时函数解析式为．
综上，当时，．
（2）由题意，结合（1）当时，单价为，
此时销量，
日销售额为．
当时，销量，单价为，
日销售额为．
又，
当时，随的增大而增大．
当时，当时，取最大值，最大值为800．
综上，当时，当时，取最大值，最大值为800元．
25．【答案】（1），直线的解析式为；
（2）点坐标为或；
（3）点的坐标为或或，或，．
【解答】解：（1），
，
令，则，
解得，，
，，
令，则，
，
设直线的解析式为，
将点，代入中，
得，
解得，
所以直线的解析式为；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交于点．
，
，
，
设，
，
，
把代入，得：，
，
，
，
，
解得：，
点坐标为或；
（3）存在．
点在直线上，
，
解得，
直线的解析式为，
直线与抛物线交与，两点，
，
解得或，
，
设在直线上存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，设，，
①若为平行四边形的对角线，则：
，
化简得：，
点在抛物线上，
，
解得：，（舍去），
此时点的坐标为；
②若为平行四边形的边，
，
轴，
轴，
则，
化简得：，
点在抛物线上，
，
解得：，（舍去），
此时点的坐标为；
③若为平行四边形的边，
，
轴，
轴，
则，
化简得：，
点在抛物线上，
，
解得，，
此时点的坐标为，或，；
综上所述，点的坐标为或或，或，．
26．【答案】（1）；
（2）当时，有最大值，的最大值为；
（3）点的坐标为或 或．
【解答】解：（1）将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的解析式为；
（2）如图，抛物线与轴交点，
设直线的解析式为，
则，
，
直线的解析式为，
设，则，
，
的面积为，
当时，有最大值，的最大值为；
（3）存在．
①如图2，当四边形 为平行四边形时，．
抛物线的对称轴为直线，点．
点；
②如图3，当四边形为平行四边形时，过点作轴于点．
，，
．
，
，
，．
设点，
，解得，，
点 或，
综上所述，点的坐标为或 或．
27．【答案】（1）；
（2）；
（3）点的坐标为，或，．
【解答】解：（1），，
，
，
把，代入，
得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴于，过点作于，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
设直线的解析式为，把，代入，
得，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
，，
点为线段上方抛物线上一动点，
，，
解得：或（舍去），
；
（3）如图2，过点作轴的垂线交抛物线于，延长交轴于，连接，
则轴，
在中，令，
得，
解得：，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
设，则，
，，
轴，
，
与相似，
或，
①当时，，
即，
解得：或（舍去），
，；
②当时，，
即，
解得：或（舍去），
，；
综上所述，当与相似时，点的坐标为，或，．
28．【答案】（1）抛物线的表达式为；
（2）的最小值为，此时点的坐标为；
（3）所有可能的点的坐标为或，．
【解答】解：（1），，
代入得：，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）如图，连接交直线于点，则的最小值即为，
，
，
，
，
，
的最小值为；
设直线的解析式为，
将，代入得，
，
，
直线的解析式为，
的对称轴为，
当时，，
，
的最小值为，此时点的坐标为；
（3）过点作于，如图2中，
的对称轴为，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
点的坐标为，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
当为边时，
四边形为平行四边形，
，轴，
点的横坐标与点的横坐标同为2，
当时，，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
根据对称性当时，时，四边形也是平行四边形；
当为对角线时，如图3中，
四边形为平行四边形，
，轴，
同理求得：点的坐标为，
，
点的坐标为；
综上，点的坐标为时，点的坐标为或，时，．
所有可能的点的坐标为或，．
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考向 考查内容 考查热度
二次函数 二次函数的定义、二次函数的解析式、二次函数解析式的确定 ★★★
二次函数的性质 二次函数自变量的取值范围，二次函数的对称性、增减性、最值， ★★★★
二次函数的图象 二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象的平移、二次函数图象与线段交点的问题、二次函数与一元二次方程的关系 ★★★
二次函数的实际应用 根据实际问题列二次函数关系式、学科融合（与物理知识结合考查） ★★★★
二次函数综合题 二次函数与其他函数综合、二次函数与几何图形综合 ★★★★★
1．二次函数的概念 一般地，形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数． 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式； ②化简后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不为0． 函数y=ax2+bx+c为二次函数的前提条件是a≠0．在解二次函数的相关问题时，一定不能忽视“二次项系数不为0”这一隐含条件，尤其是二次项系数含字母的二次函数，应特别注意． 2．二次函数的解析式 （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式：（a，b，c是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； （3）交点式：（a≠0，是抛物线与x轴两交点的坐标，即一元二次方程的两个根）． 3．用待定系数法求二次函数的解析式 待定系数法求函数解析式的步骤： （1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式； （2）找点：找函数图象上的点； （3）代入：把点代入函数解析式得到方程； （4）求解方程； （5）反代入：把求出的字母的值带入解析式．
【典例1】 （2024 旺苍县一模）已知是二次函数，则的值为
A．0 B．1 C． D．1或
【答案】
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【解答】解：由是二次函数，得
，
解得，
故选：．
【典例2】 （2023 襄垣县一模）将二次函数化成的形式，正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据完全平方公式变形，把一般式化为顶点式，得到答案．
【解答】解：
，
故选：．
【典例3】 （2023 遂溪县三模）把二次函数配方成顶点式为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由于二次项系数是1，直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：．
故选：．
【典例4】 （2024 海宁市校级模拟）已知二次函数，为常数且，，当时，，则的值为 ．
【答案】．
【分析】先把一般式配成顶点得到当时，有最小值，利用，，可判断抛物线的顶点在第三象限，利用二从函数的性质得到时，；时，有最小值，即，，然后解方程组得到满足条件的的值．
【解答】解：，
当时，有最小值，
，，，
抛物线的顶点在第三象限，
当时，，
时，；时，有最小值，
即，，
解得，或，（舍去），
即的值为．
故答案为：．
【典例5】 （2024 梅县区一模）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，且它的顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为 ．
【答案】．
【分析】先设顶点式，然后根据二次函数的性质确定的值即可．
【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
抛物线解析式可设为，
抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，
，
所求抛物线的解析式为．
故答案为：．
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质 函数y=ax2+bx+c（a>0）y=ax2+bx+c（a<0）开口方向向上向下顶点坐标（，）（，）对称轴x=x=增减性x>时，y随x的增大而增大； x<时，y随x的增大而减小x>时，y随x的增大而减小； x<时，y随x的增大而增大最大（小）值当x= 时，y最小值= 当x= 时，y最大值=
2．二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 函数y=a（x-h）2+k（a>0）y=a（x-h）2+k（a<0）开口方向向上向下顶点坐标（h，k）（h，k）对称轴x=hx=h增减性x> h时，y随x的增大而增大； x h时，y随x的增大而减小； x【典例1】 （2024 蒸湘区一模）已知抛物线，下列结论中错误的是
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的对称轴为直线
C．当时，随的增大而减小
D．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式为
【答案】
【分析】利用二次函数的性质以及平移的规律判断即可．
【解答】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
时，随的增大而减小，
由平移规律可知，将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式为，即．
故错误，
故选：．
【典例2】 （2024 安康一模）若二次函数的图象与轴交于，，，两点，且满足，，则下列说法错误的是
A．
B．抛物线开口向下
C．当时，
D．关于的方程的一个解小于
【答案】
【分析】由二次函数与方程的关系可知，是方程的两个根，利用根与系数的关系即可判断、；利用抛物线的对称性即可判断；利用抛物线与直线交点的情况即可判断．
【解答】解：二次函数的图象与轴交于，，，两点，
，是方程的两个根，
，，
，
，
，
抛物线开口向上，
正确，不合题意，错误，符合题意；
的对称轴为直线，时，，
时，，
正确，不合题意；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
直线与抛物线的交点在轴的上面，
关于的方程的一个解小于，
正确，不合题意．
故选：．
【典例3】 （2024 任城区校级模拟）如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．则以下结论：①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④；其中正确结论是 ①②④ ．
【答案】①②④．
【分析】根据的图象在轴上方即可得出的取值范围；把代入抛物线即可得出的值；由抛物线与轴的交点求出的值；根据两函数的解析式求出、、的坐标，计算出与的长，即可得到的值．
【解答】解：，
，
无论取何值，的值总是正数，①正确；
抛物线与交于点，
，
，②正确；
当时，，，
当时，，③错误；
当时，，解得或1，
当时，，解得或5，
，
即，④正确；
综上正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【典例4】 （2024 西城区校级模拟）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
（1）当，时，求抛物线与轴交点的坐标及的值；
（2）点，在抛物线上，若，求的取值范围及的取值范围．
【答案】（1）抛物线与轴交点的坐标为，；（2）．
【分析】（1）将点，代入抛物线解析式，再根据得出，再求对称轴即可；
（2）再根据，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定的取值范围．
【解答】解：（1）法一、将点，代入抛物线解析式，
，
，
，整理得，，
抛物线的对称轴为直线；
，
，
抛物线与轴交点的坐标为．
法二、当时，点，的纵坐标相等，
由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为，
，
，
抛物线与轴交点的坐标为．
（2），
，
解得，
，
，即．
由题意可知，点，与点关于对称；
；
当时，；
当时，．
的取值范围．
综上，的取值范围为：；的取值范围．
【典例5】 （2024 郸城县一模）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．
（1）若对于，，有，求的值．
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可；
（2）根据抛物线的对称性求得，结合得出，解得即可．
【解答】解：（1），，有，抛物线的对称轴为直线．
；
（2）点 关于对称轴对称的点为，
，
抛物线开口向下，
，
，
，
．
1．对于抛物线，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大． 2．特别说明：二次函数图象上任意两个函数值相等的点都关于对称轴对称，且到对称轴的距离相等．对称轴等于这两个点的横坐标之和除以2． 即：若点与点都在二次函数图像上，且，则二次函数的对称轴为：． 3．二次函数的平移 （1）上下平移 若原函数为 ①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可． ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负． （2）左右平移 若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形． 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可． ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负．
【典例1】 （2024 子洲县校级三模）若二次函数的图象如图所示，则的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】首先根据二次函数图象与轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在轴左边可得、同号，故，再根据、、的符号，即可得出的大致图象．
【解答】解：根据二次函数图象与轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在轴左边可得、同号，故，
所以的图象大致是：抛物线开口向上，图象与轴的负半轴相交，对称轴在轴右边，故选项符合题意．
故选：．
【典例2】 （2024 石阡县模拟）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
点关于对称轴的对称点为，
图象经过原点，故①正确，符合题意；
，，
两边同除以4得，，
故③正确，符合题意；
由图象可知，当时
图象过原点且经过第二象限，
当时，故②，不符合题意错误；
又，
，，
，故④错误，不符合题意；
故选：．
【典例3】 （2024 坪山区校级一模）已知二次函数为常数，且的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题，
【解答】解：依题意，，，在二次函数为常数，且的图象上，
对称轴为直线，抛物线开口向上，
，，
点到对称轴的距离为1，点到对称轴的距离为3，点到对称轴的距离为2，
，
故选：．
【典例4】 （2024 杭州模拟）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据函数图象平移的法则进行解答．
【解答】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度即可得到抛物线，即，
其顶点坐标是．
故选：．
【典例5】 （2023 郴州模拟）定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“和零点”．例如，求函数图象的“和零点”．
解： “和零点”的横坐标与纵坐标互为相反数， “和零点”在函数的图象上，
，解得．
函数图象的“和零点”是．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）求函数图象的“和零点”；
（2）若函数图象存在唯一的一个“和零点”，求的值；
（3）如图，点，是函数图象的“和零点”，点是函数图象的“和零点”，过点作轴，垂足为．连接，，，求的面积．
【答案】（1），；
（2）的值为1；
（3）．
【分析】（1）根据定义列出方程，解方程即可得出结论；
（2）根据定义列出方程，由题意可知有两个相等的实数根，利用△求得的值即可；
（3）解方程求得、的坐标，由（1）可知，，利用求得即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
．
函数图象的“和零点”为，；
（2）函数图象存在唯一的一个“和零点”，
有两个相等的实数根，
方程整理得，则△，
解得，
故函数图象存在唯一的一个“和零点”， 的值为1；
（3）由题意得，即，
解得，，
，，
由（1）可知，，
．
1．建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题； （2）找出题中的已知量和未知量； （3）用一个未知量表示题中的其他未知量； （4）找出等量关系并列出函数解析式； （5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题． 2．利用二次函数解决利润问题 利润问题主要涉及两个等量关系： 利润=售价-进价； 总利润=单件商品的利润×销售量． 在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题． 3．利用二次函数求图形面积的最值 （1）二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为． （2）几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）应用二次函数解决实际问题的基本思路： ①理解题意； ②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； ③用函数解析式表示它们之间的关系； ④用数学方法求解； ⑤检验结果的合理性． 4．利用二次函数解决抛物线形问题 在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题．
【典例1】 （2024 界首市校级一模）一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于轴对称，如图所示对应一个单位长度），轴，，最低点在轴上，且，．则轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意可以求得点、点的坐标，然后根据眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于轴对称，从而可以求得点和点的坐标，然后设出右轮廓线所在抛物线的函数顶点式，从而可以解答本题．
【解答】解：眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，
点的坐标为，点，
点，点，
设轮廓线所在抛物线的函数解析式为：，
则，
解得，，
右轮廓线所在抛物线的函数解析式为：，
故选：．
【典例2】 （2024 泰山区校级模拟）如图，在等边中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，过点作的垂线，垂足为点．设点的运动时间为秒，的面积为（当，，三点共线时，不妨设，则能够反映与之间的函数关系的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据点的运动可知，当点运动到点时，用时，由此可排除选项；当点在上，即时，由点的运动可知，，，，所以，由此可排除和选项，当点在上，即时，经过验证，选项正确．
【解答】解：根据题意可知，当点运动到点时，，即时，的面积发生变化，由此可排除选项；
①当点在上，即时，如图，
由点的运动可知，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
由此可排除，；
②当点在上，即时，如图，
由点的运动可知，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
【典例3】 （2024 南漳县一模）某城区公园内有一个直径为的圆形水池，水池边安有排水槽，在中心处修喷水装置，喷出水柱呈抛物线状，当水管高度在处时，距离水平距离处喷出的水柱达到最大高度为，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是水柱距水管的水平距离，是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，并且使水柱落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考虑边宽），则水管的高度应调节为多少？
【答案】（1）抛物线解析式为；
（2）水管的高度调整为10.5米．
【分析】（1）根据顶点设抛物线的表达式为，把的坐标代入可得解析式解答即可；
（2）设抛物线的表达式为，把代入得出解析式，再求出抛物线与轴的交点即可．
【解答】（1）抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
把代入可得：，
抛物线解析式为；
（2）抛物线的表达式为，
把代入可得：，
抛物线解析式为，
当时，，
答：水管的高度调整为10.5米．
【典例4】 （2024 东海县一模）某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如表：
时间（天
售价 60
日销售量
已知这种商品的进价为20元，设销售这种商品的日销售利润为元．
（1）求与的函数关系式；
（2）第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）公司在销售的前28天中，每销售这种商品就捐赠元利润给“希望工程，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）在第25天时，利润最大为2450元；
（3）．
【分析】（1）利用“利润每千克的利润销售量”列出函数关系式；
（2）可配方求出的函数最大值和的函数最大值，比较得出结果；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为：元，求出函数关系式，进而求得结果．
【解答】解：（1）当时，
，
当时，
，
；
（2）当时，
，
当时，，
当时，
，
随的增大而减小，
当时，，
在第25天时，利润最大为2450元；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为：元，
，
对称轴时，随的增大而减小，为整数，
，
解得，
．
【典例5】 （2024 凤翔区一模）悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求主索抛物线的函数表达式；
（2）距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？
【答案】（1）主索抛物线的函数表达式为；
（2）四根吊索总长度为米．
【分析】（1）由图可知，点的坐标为．设该抛物线的函数表达式为，又因为点坐标为，则，解得则主索抛物线的函数表达式为；
（2）由题意，当时，，此时吊索的长度为．由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为．当时， 此时吊索的长度为，由抛物线的对称性得，当 时，此时吊索的长度也为．．
【解答】解：（1）由图可知，点的坐标为．
设该抛物线的函数表达式为，
又点坐标为，
，
主索抛物线的函数表达式为；
（2）由题意，当时，，此时吊索的长度为．
由抛物线的对称性得，当 时，此时吊索的
长度也为．
当时， 此时吊索的长度为，
由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为．
四根吊索总长度为米．
1．二次函数背景下的线段问题 二次函数背景下的线段问题与反比例函数背景下的线段问题的本质是一样的，最终都是将线段问题转化为点坐标的问题． 核心要点：与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等；与y轴平行的直线上的点的横坐标相等．如图： （1）与x轴垂直的线段的长等于纵坐标相减（上减下），即PQ=yP－yQ．当不确定点P，Q哪个点在上方时，PQ=； （2）与y轴垂直的线段的长等于横坐标相减（右减左），即MN=xN－xM．当不确定点M，N哪个点在右侧时，MN=； （3）斜线段时，通常采用“化斜为直”的思想，通过三角函数或相似等将线段转化，PE=PQ·cos∠QPE=PQ·cos∠QDF=·cos∠QDF． 2．二次函数背景下的面积问题 （1）铅锤法 （2）割补法 （3）平行线法 3．面积比问题常见求解策略 （1）分别求出面积再求比值； （2）利用“同底（等高）的两个三角形的面积比=高（底）之比”，将面积比转化为线段比求解； （3）利用相似的性质“面积比=相似比的平方”，将面积比转化为线段比求解． 4．二次函数背景下角度转化的常用方法 （1）相交线、平行线转化法 对顶角相等； 等角的余角（或补角相等）； 角的平分线分得两个角相等． （2）三角形转化法 等腰三角形的两个底角相等； 全等（或相似）三角形的对应角相等． （3）利用等角的三角函数值相等转化法 （4）构造倍半角转化法 构造倍角（如图1）；构造半角（如图2）
【典例1】 （2024 顺昌县一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接，，，．
（1）若．
①求点的坐标；
②求的面积，
（2）直线与轴交于点，若，求抛物线的解析式．
【答案】（1）①；②的面积为；
（2）抛物线解析式为．
【分析】（1）①求解，证明，可得，可得，从而得出结论；
②先用待定系数法求解抛物线为，再化为顶点式求出顶点坐标，在连接，利用割补法可得面积；
（2）先求解抛物线为：，可得，，顶点横坐标为：，顶点纵坐标为：，求解直线为，证明，可得，再建立方程求解即可．
【解答】解：（1）①，，，
，，，
，
，
，
，
，
；
②抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
，
解得，
抛物线为，
顶点坐标为，；
连接，如图，
；
（2）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
，
解得，
抛物线为，
当时，，
，
解得，，
，，
顶点横坐标为：，顶点纵坐标为：
，
设直线为，
，
解得，
直线为，
当时，
解得，
，，
，，
，
，
，
，
整理得：，
解得或（不合题意，舍去），
抛物线解析式为．
【典例2】 （2024 广水市一模）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，直接写出点坐标．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或或或．
【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到，关于对称轴对称，则：，得到当，，三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解；
（3）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）抛物线与轴相交于点，，
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）在，当时，，
，
抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
的周长等于，为定长，
当的值最小时，的周长最小，
，关于对称轴对称，
，
，
当，，三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，，
，，
；
（3）为的中点，
，
，
，
，
在中，，
，
，
①当点在点下方时：
过点作，交抛物线于点，则：，此时点纵坐标为，
设点横坐标为，
则：，
解得：，
或；
②当点在点上方时：设与轴交于点，
，
设，
，，
，
解得：，
，
同理可得的解析式为，
联立，
解得：或，
或；
综上：或或或．
【典例3】 （2024 碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点为轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，以，，，为顶点的四边形是否为平行四边形，若是，求出点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）点的坐标为或，或，．
【分析】（1）利用待定系数法即可得到抛物线的函数表达式；
（2）设的坐标是，则的坐标是，的坐标是，由轴得到，根据平行四边形的性质得，可得，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）设直线的解析式为，
，．
，解得，
直线的解析式为，
设的坐标是，则的坐标是，的坐标是，
轴，
，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
，
，解得或或，
点的坐标为或，或，．
【典例4】 （2024 龙江县一模）综合与探究：
如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），与轴交于点，顶点为，直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①点的坐标为 ；
② ；
③点在抛物线上，，则的取值范围是 ；
（3）若点在直线上，且，求的值；
（4）在第四象限内存在点，使与相似，且为的直角边，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为：；
（2）①，②90；③；
（3）或；
（4）或或或．
【分析】（1）先求出点、的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）由函数的图象和性质，即可求解；
（3）分两种情况：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，分别利用相似三角形性质求解即可；
（4）分两种情况：当时，当时，分别运用相似三角形性质和三角函数定义进行计算即可．
【解答】解：（1），令，得，
解得：，
，
，
，
，
，
在中，，
．
把，代入抛物线中，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）①联立抛物线表达式和得：，
解得：（舍去）或6，
故点的坐标为；
②由抛物线的表达式知，点，
由点、、的坐标得，，，，
则，
则为直角三角形，
则；
③由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为，
当时，，
则的取值范围是；
故答案为：；90；；
（3）令，
解得：，，
，
，
．
在中，，
①当点在线段上时，如图1，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
轴，
轴，
，
，即，
，
；
②当点在线段的延长线上时，如图2，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
轴，
轴，
，
，即，
，
，
综上所述，的值为或；
（4）当时，
，，
，
，
，
，，
，
，
即，
点在直线上，
由点、坐标得，直线的解析式为，
设，
如图3，过点作轴于点，则，，
，
，
在中，，
或，
或，
或，
或，
或，
或8，
点的坐标为或；
当时，如图4，过点作轴于点，
，
，
，
，
设，，则，
或，
或，
，
或，
或，
在中，，
或，
或8，
点的坐标为或，
综上所述，点的坐标为或或或．
【典例5】 （2024 重庆一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，连接，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点坐标；
（3）将抛物线沿轴方向向下平移，平移后所得新抛物线与轴交于点，过点作轴交新抛物线于点，射线交新抛物线于点，如果，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）；
（2）的最大值为，此时点坐标为，；
（3）点的坐标为或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的表达式；
（2）设交轴于，由得，可得，根据相似三角形的性质得，可得，，设，则，根据二次函数的性质即可求解；
（3）设将抛物线沿轴方向向下平移个单位长度，可得新抛物线为，点，则点，利用待定系数法得直线的解析式为，可得出点，，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2），，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
如图，设交轴于，
，
，轴，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
当时，的最大值为，此时点坐标为，；
（3）点的坐标为或．
如图，
设将抛物线沿轴方向向下平移个单位长度，
新抛物线为，
点，
当时，，解得或4，
点，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
联立得，或，
点，，
过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
或，
解得（舍去）或或（舍去）或，
点的坐标为或．
