2023-2024学年高二下学期数学期中模测试02（新高考地区专用）
全解全析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知函数（是的导函数），则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】通过对求导，结合赋值法求得，从而求得，再求结果即可.
【详解】由函数，可得，
令，可得，解得，
则，所以.
故选：A.
2．若，则（ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
【答案】C
【分析】利用二项式定理分别求出即可计算得解.
【详解】在中，，，
所以.
故选：C
3．现有随机事件件A，B，其中，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件A，B不相互独立 B．
C．可能等于 D．
【答案】C
【分析】
利用独立事件的乘法公式、条件概率公式、和事件的概率公式计算即可.
【详解】易知，所以事件A，B不相互独立，即A正确；
由条件概率公式可知，，
故B正确，C错误；
由和事件的概率公式可知，
故D正确；
故选：C
4．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围.
【详解】由题意知，曲线在点处的切线斜率都是，
所以关于的方程有两个不相等的正实数根；
可得关于的方程有两个不相等的正实数根，
则,解得.
故选：A.
5．中国女子乒乓球队是世界乒坛的常胜之师，曾20次获得世乒赛女子团体冠军．2021年休斯敦世界乒乓球锦标赛，中国选手王曼昱以4∶2击败孙颖莎，夺得女单冠军．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．已知甲、乙两人乒乓球水平相当，事件A表示“乙获得比赛胜利”，事件B表示“比赛进行了七局”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件概率计算公式求解.
【详解】乙获得比赛胜利，可能进行了4局或5局或6局或7局比赛，乙获胜的概率
，
乙获胜并且比赛进行了七局的概率，
∴．
故选：B．
6．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【答案】D
【解析】对于选项 ，每人有4种安排法，故有种；对于选项 ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项，先分组再安排；对于选项 ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可.
【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项错误，
②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误，
③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误，
④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有 ,从余下四人中安排三个岗位，
故有；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有 ,
从余下三人中安排三个岗位，故有；所以每项工作至少有一人参加，
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是，
即选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了排列知识的应用.
求解排列问题的六种主要方法:
1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;
2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;
3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;
4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;
5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;
6.间接法:正难则反、等价转化的方法.
7．已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数法求最值得，从而有，再利用函数单调递减得，利用函数单调递增得，即可比较大小.
【详解】对，因为，则，即函数在单调递减，
且时，，则，即，所以，
因为且，所以，
又，所以.
故选：B
8．已知方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为，进而构造函数，求导确定函数的单调性，结合二次方程根的分布可得，进而可求解.
【详解】易知不是方程的根，
故当时，可化为，
令，得．
设，则，
令，可得或，令，可得，
故在和上单调递减，在上单调递增，，
作出的大致图象，如图，
数形结合可得方程有两个不相等的实数根，设为，，
则，且，
则，解得，
不妨设，
则
，
由，可得.
故选：A．
【点睛】方法点睛：处理多变量函数值域问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可．
【详解】对于A：因为，故A错误；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，
，
所以，故C正确；
对于D：由上可得，
又因为，故D错误，
故选：BC．
10．若，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】分别令可判断AB，利用二项展开式的通项公式可确定展开式系数的正负，去掉绝对值号，再赋值即可判断C，取导数后赋值即可判断D.
【详解】对于A，令，可得，故A正确；
对于B，令，可得，又，
所以，故B正确；
对于C，因为，
展开式的通项公式为，所以，
所以，
令，则，
故，故C错误；
对于D，因为
，
所以，
令，可得，故D正确.
故选：ABD
11．已知，其图像上能找到A、B两个不同点关于原点对称，则称A、B为函数的一对“友好点”，下列说法正确的是（ ）
A．可能有三对“友好点”
B．若，则有两对“友好点”
C．若仅有一对“友好点”，则
D．当时，对任意的，总是存在使得
【答案】BD
【分析】不妨设，存在友好点等价于方程有实数根，从而构造函数，利用导数得其单调性，画出图形，讨论的图象以及直线的图象的交点个数情况即可逐一判断求解.
【详解】若和互为友好点，不妨设，
则，即，
令，则，
令，则，
所以单调递减，注意到和同号，且，
所以当时，即，单调递增，
当时，即，单调递减，
从而即可在同一平面直角坐标系中作出的图象以及直线的图象，如图所示，
当时，不存在友好点，
当或时，仅存在一对友好点，
当时，存在两对友好点，
从而不可能有三对“友好点”，
若仅有一对“友好点”，则或，故AC错，B对，
当时，仅存在一对友好点，即对任意的，总是存在使得，D对.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：关键是将设，存在友好点等价于方程有实数根，由此即可通过数形结合顺利得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某楼梯共有个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上个或者个台阶，则小明不同的上楼方法共有 种．（用数字作答）
【答案】
【分析】借助加法计数原理，得到，依次计算即可.
【详解】设小明上个台阶有种方法，考虑最后一步：
若最后一步小明上个台阶，则前个台阶有种方法且；
若最后一步小明上个台阶，则前个台阶有种方法且.
由加法原理得，易知，
可得，
所以小明不同的上楼方法共有种.
故答案为：.
13．已知函数，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】求导得出函数在上的单调性，即可求得的最大值为.
【详解】由可得，
令可得，
又，所以，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增；
易知；
因此的最大值为.
故答案为：
14．已知函数若函数有唯一零点，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【分析】换元后转化为，该方程存在唯一解，且，数形结合求解.
【详解】当时，单调递减，图象为以和轴为渐近线的双曲线的一支；
当时，有，可得在单调递减，在单调递增
且，，画出图象如下:
由题意，有唯一解，设，
则，（否则至少对应2个，不满足题意），
原方程化为，即，
该方程存在唯一解，且.
转化为与有唯一公共点，且该点横坐标在，画图如下：
情形一：与相切，联立得，
由解得，此时满足题意：
情形二：与有唯一交点，其中一个边界为(与渐近线平行)，
此时交点坐标为，满足题意；
另一个边界为与相切，即过点的切线方程，
设切点为，则，解得，
所以求得，此时左侧的交点D横坐标为满足条件，右侧存在切点E，故该边界无法取到；
所以的范围为.
综上，的取值范围为或.
故答案为：或
【点睛】关键点点睛，解决本题的关键在于第一要换元，令，转化为方程存在唯一解，且，作出与的图象数形结合求解，第二关键点在于分类讨论后利用导数或联立方程组求切线的斜率，属于难题.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为7．
(1)求m，n为何值时，的展开式中的系数最小，并求出此时的系数；
(2)利用（1）中结果，求的近似值．（精确到0.01）
【答案】(1)，或，，的系数为5
(2)
【分析】（1）由x的系数为7得，的系数为，消元讨论最小值即可求；
（2），考虑到精度，故各取多项式展开式的前两项即可
【详解】（1）根据题意得，即．①
的展开式中的系数为．.......................................................2分
将①变形为代入上式，得的系数为，
故当，或，时，的系数取得最小值且为9；
此时的系数均为；........................................................6分
（2）当，或，时，...........................................13分
16．（15分）
已知函数．
(1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点；
(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）当时，对求导，分析函数单调性，确定图象，可证明曲线与直线只有一个交点.
（2）将既存在极大值，又存在极小值，转换为有两个变号零点问题，讨论零点位置可得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，函数，求导得：，
令，得；令，得；
则函数在上递增，在上递减，
故，
所以曲线与直线只有一个交点.....................................................7分
（2）函数的定义域为，
求导得，
设，
令，解得，.
因为既存在极大值，又存在极小值，即在有两个变号零点，
则，解得且，
综上所述：的取值范围为.......................................................15分
17．（15分）
某校为庆祝元宵节，举办了游园活动，活动中有一个填四字成语的游戏，该游戏共两关．
(1)第一关中一个四字成语给出其中三个字，参与游戏者需填对所缺的字．小李知道该成语的概率是，且小李在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率是．记事件为“小李通过第一关”，事件为“小李知道该成语”．
①求小李通过第一关的概率；
②在小李通过第一关的情况下，求他知道该成语的概率．
(2)小李已通过第一关来到第二关．第二关为挑战关卡，该关卡共五局，每一局互不影响，但难度逐级上升，小李知道第局成语的概率仍为，但是在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率为，已知每一局答对的得分表如下（答错得分为0）：
局数 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局
得分 1分 2分 4分 7分 11分
若获得15分及以上则挑战成功且游戏结束，求在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功的概率（保留两位小数）．
【答案】(1)①②
(2)
【分析】利用全概率公式和条件概率公式计算即可；利用全概率公式计算每一局过关的概率，在通过分析在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功,即获得15分及以上，则有三类情况，在求得所求概率
【详解】（1）①依题可知，
由全概率公式可得
②所求概率......................................................7分
（2）在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功,即获得15分及以上，
则有三类情况：第一类第三四五局全答对；第二类第三局答错，第四五局答对；第三类第三局答对，第四局答错，第五局答对,
记事件为“小李通过第局”，事件为“小李知道该成语”．
题可知，
由全概率公式可得
则在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功的概率为
.....................................................15分
18．（17分）
已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当恒成立时，求的取值范围；
(3)证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）借助导数，对及进行分类讨论即可得；
（2）令，由，即可得其必要条件，再借助导数对及的情况分类讨论即可得解；
（3）借助（2）中所得，可得，令，可得，累加即可得证.
【详解】（1），
当时，易知，所以函数在上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；..............................................5分
（2）令，
，故恒成立，即，
，令，则，
所以在上单调递增，
当时，，又，
有，即单调递减，
，即单调递增，
所以，
所以当时，成立；
当时，可得，，
所以
又
所以存在，使得，即，
，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，由可得，
，
综上，的取值范围为；.......................................................11分
（3）由（2）知，当时，有，即，
令，得，
，
，
即.......................................................17分
【关键点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于从（2）中所得，再令，可得，再累加即可得证..
19．（17分）
设集合，其中，，在M的所有元素个数为K（，2≤K≤n）的子集中，我们把每个K元子集的所有元素相加的和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最大元素之和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最小元素之和记为（，2≤K≤n）．
(1)当n＝4时，求、的值；
(2)当n＝10时，求的值；
(3)对任意的n≥3，，给定的，2≤K≤n，是否为与n无关的定值？若是，请给出证明并求出这个定值：若不是，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)4620
(3)与n无关，为定值，证明过程见解析.
【分析】（1）将3元子集用列举法全部列举出来，从而求出、的值；（2）用组合知识得到每个元素出现的次数，进而用等差数列求和公式进行求解；（3）用组合及组合数公式先求出，再求出与的和，进而求出及比值.
【详解】（1）当时，，则3元子集分别为，则，........................................................3分
（2）当n＝10时，4元子集一共有个，其中从1到10，每个元素出现的次数均有次，故....................................................9分
（3）与n无关，为定值，证明过程如下：
对任意的n≥3，，给定的，2≤K≤n， 集合的所有含K个元素的子集个数为，这个子集中，最大元素为n的有个，最大元素为的有个，……，最大元素为的有个，……，最大元素为的有个，则①，其中，所以
，
这个子集中，最小元素为1的有个，最小元素为2的有个，最小元素为3的有个，……，最小元素为（m+1）的有个，……，最小元素为的有个，则②，则①+②得：，所以，故，证毕........................................................17分
【点睛】集合与组合知识相结合，要能充分利用组合及组合数的公式进行运算，当然在思考过程中，可以用简单的例子进行辅助思考.2023-2024学年高二下学期数学期中模测试02（新高考地区专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知函数（是的导函数），则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．若，则（ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
3．现有随机事件件A，B，其中，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件A，B不相互独立 B．
C．可能等于 D．
4．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．中国女子乒乓球队是世界乒坛的常胜之师，曾20次获得世乒赛女子团体冠军．2021年休斯敦世界乒乓球锦标赛，中国选手王曼昱以4∶2击败孙颖莎，夺得女单冠军．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．已知甲、乙两人乒乓球水平相当，事件A表示“乙获得比赛胜利”，事件B表示“比赛进行了七局”，则（ ）
A． B． C． D．
6．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
7．已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．已知方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知，其图像上能找到A、B两个不同点关于原点对称，则称A、B为函数的一对“友好点”，下列说法正确的是（ ）
A．可能有三对“友好点”
B．若，则有两对“友好点”
C．若仅有一对“友好点”，则
D．当时，对任意的，总是存在使得
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某楼梯共有个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上个或者个台阶，则小明不同的上楼方法共有 种．（用数字作答）
13．已知函数，则的最大值为 ．
14．已知函数若函数有唯一零点，则实数的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为7．
(1)求m，n为何值时，的展开式中的系数最小，并求出此时的系数；
(2)利用（1）中结果，求的近似值．（精确到0.01）
16．（15分）已知函数．
(1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点；
(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．
17．（15分）某校为庆祝元宵节，举办了游园活动，活动中有一个填四字成语的游戏，该游戏共两关．
(1)第一关中一个四字成语给出其中三个字，参与游戏者需填对所缺的字．小李知道该成语的概率是，且小李在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率是．记事件为“小李通过第一关”，事件为“小李知道该成语”．
①求小李通过第一关的概率；
②在小李通过第一关的情况下，求他知道该成语的概率．
(2)小李已通过第一关来到第二关．第二关为挑战关卡，该关卡共五局，每一局互不影响，但难度逐级上升，小李知道第局成语的概率仍为，但是在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率为，已知每一局答对的得分表如下（答错得分为0）：
局数 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局
得分 1分 2分 4分 7分 11分
若获得15分及以上则挑战成功且游戏结束，求在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功的概率（保留两位小数）．
18．（17分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当恒成立时，求的取值范围；
(3)证明：.
19．（17分）设集合，其中，，在M的所有元素个数为K（，2≤K≤n）的子集中，我们把每个K元子集的所有元素相加的和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最大元素之和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最小元素之和记为（，2≤K≤n）．
(1)当n＝4时，求、的值；
(2)当n＝10时，求的值；
(3)对任意的n≥3，，给定的，2≤K≤n，是否为与n无关的定值？若是，请给出证明并求出这个定值：若不是，请说明理由．
