福建省连城县第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（含答案）

2023-2024学年度下期连城一中高一（下）
数学科模拟考一试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的三内角所对边分别为，若，则角的大小
A． B． C． D．
2.已知的实部与虚部互为相反数，则实数
A． B． C． D．
3.已知为所在平面内一点，且满足，则
A． B．
C． D．
4.已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为
A． B． C． D．
5.在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是
A． B．C． D．
7.如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为
A． B． C． D．
8.已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知向量，，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
10．下列四个命题正确的是
A．若，则的最大值为3
B．如图所示，在平面四边形中，，，是
以为顶点的等腰直角三角形，则面积的最大值为．
C．若，则点的轨迹经过的外心
11．在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是
A．正四面体的体积为
B．正四面体外接球的表面积为
C．正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
D．正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知复数，则______
13.（1）已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，则该四棱锥外接球的体积为______
（2）在中，角所对的边分别为已知要使该三角形有唯一解，则的取值范围为 .
14.足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场
的B底线宽码，球门宽码，球门位于底线的
正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需
要找到一点P，使得最大，这时候点P就是最佳射门
位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处
时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择．若选择线路，则甲带球______码时，到达最佳射门位置．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知，，，，是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为，.
（1）若，求，；
（2）若，为实数，求，的值.
（15分）某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．
(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为
每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）
17.（15分）在①；②；③；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在锐角中，内角、、，的对边分别是、、，且______
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的范围．
18.（17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
求证：平面平面PCD；
若，，求三棱锥的体积．
19.（17分）在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
(1)若，求△ABC的面积；
(2)求的值；
(3)求的取值范围．
连城一中2023-2024学年下期（下）模拟考一
高一数学试卷答案
一、单项选择题（每小题5分）
1 2 3 4 5 6 7 8
B A C C A D C B
二、多项选择题（有错选0分，第9题只选对一个得3分，第9、10题只选对一个得2分）
9 10 11
AC ABD BCD
填空题：（本题共3小题，每小题5分，13题第一空3分，第一空2分）
12 13.(1) (2) 14.
解答题：
15.（1）6分（2）7分
15.（13分）【详解】（1）∵，，
所以，，所以，又，
∴，∴，∴，.
（2）由（1）得，，
∵，为实数，
∴，∴.
16.（1）6分（2）9分
【详解】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，
则，解得，
则，
所以“笼具”的体积
（2）圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的侧面积为，
所以“笼具”的表面积为，
17.（1）6分（2）9分
【解析】（1）选①，由可得，
，则，可得，；
选②，由可得，
即，即，
，则，故，；
选③，由及正弦定理可得，
、，则，所以，，
故，
，，因此，.
（2）由正弦定理可得，则，，
，
因为为锐角三角形，则，可得，
所以，，则，
故.
18.（1）8分（2）9分
【解析】（1）因为底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O,所以O为AC中点，
点E是棱PA的中点，F分别是棱PB的中点，
所以OE为三角形的中位线，OF为三角形的中位线，
所以，，平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
而，平面，平面，平面平面PCD．
（2）因为底面ABCD是边长为2的菱形，，所以为等边三角形，
所以，因为底面ABCD，底面ABCD，底面ABCD，
所以，，所以和均为直角三角形，
所以，，
所以，所以，
所以，设点到平面的距离为，
根据体积相等法可知，所以，所以．，
故三棱锥的体积为．
19.（1）4分（2）6分（3）7分
【详解】（1）由余弦定理
结合可知，△ABC的面积
（2）因为，，所以，
由正弦定理，所以，①
由于，
带入①式可知：
（3）解法1：
设BC中点为D，则
所以
如下图所示，
设△ABC的外接圆为圆O，由于△ABC为锐角三角形，故点A的运动轨迹为劣弧（不含端点），由正弦定理知圆O的半径，故
设，则，由余弦定理：
由于函数在时单调递减，，
所以
解法2：
由余弦定理②
由定义
所以
设，
则
由正弦定理：
其中锐角的终边经过点，由锐角三角形可知
注意到，所以
所以，②式变形为，故
从而，
此时函数单调递减，而，
所以