广西南宁市横县2023-2024学年高一下学期4月考试数学试题（含答案）

2024年南宁市横县高一年级下学期4月考试数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
1．在中，角所对的边分别为，若，则角（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知两个非零向量的夹角为，且，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．已知为不同的平面，为不同的直线，则下列条件中一定能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上．若，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．在正方体中，是的中点．若，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．3
7．正三棱锥的底面是面积为的正三角形，高为，则其内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在多面体中，平面平面，且，则（ ）
A．平面 B．平面
C． D．平面平面
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选不得分．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
9．有下列说法，其中正确的说法为（ ）
A．若，则
B．若，则是三角形的垂心
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．若，则存在唯一实数使得
10．在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．为定值 D．的最小值为
11．已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为
D．直线与平面所成的角为
12．已知为坐标原点，点，，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设是不共线的向量，若，三点共线，则的值为________．
14．是平面内两个不共线的向量，且，若，则实数________．
15．已知是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：①；②；③；④．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．
16．如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，垂足为．设，则实数的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，角的对边分别为．已知．
（1）证明：．
（2）若为的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
18．（12分）已知向量的夹角为，且．
（1）求；
（2）当时，求实数．
19．（12分）已知一圆锥的母线长为，底面半径为．
（1）求圆锥的高；
（2）若圆锥内有一球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求此球的表面积．
20．（12分）如图①，已知等边三角形的边长为3，点分别是边上的点，且．如图②，将沿折起到的位置．
图① 图②
（1）求证：平面平面．
（2）给出三个条件：
①；②二面角的大小为的大小为；③到平面的距离为．
在其中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答：已知________，在线段上是否存在一点，使三棱锥的体积为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
21．（12分）如图所示，平面平面，平面平面平面为垂足．求证：
（1）平面；
（2）当为的垂心时，是直角三角形．
22．（12分）在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”．已知三棱锥中，平面．
（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空．若________________，则该三棱锥为“鳖臑”．
（2）已知三棱锥是一个“鳖臑”，且．
（1）若上有一点，如图①所示，试在平面内作出一条过点的直线，使得与垂直，说明作法，并给予证明；
（2）若点在线段上，点在线段上，如图②所示，且平面，证明是平面与平面的二面角的平面角．
参考答案
1．答案：D
解析：因为，
所以，
所以，
又，
所以．
故选：D．
2．答案：B
解析：由题意：．
故选：B．
3．答案：B
解析：非零向量的夹角为，且，
，可得，
，
，
．
故选：B．
4．答案：C
解析：在选项A中，，则和可能平行或相交，故A
错误；在选项B中，，则与相交或或，故B错误；在选项C中，因为，所以，又，所以，故C正确；在选项D中，由，不能推出，所以由不能推出，故D错误．故选C．
5．答案：C
解析：设球的半径为．因为正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，且点在球面上，所以底面，正方形的面积．因为，所以，解得，所以球的体积．
6．答案：B
解析：在正方体中，是的中点，则，
．设点到平面的距离为，由，得，解得．故选B．
7．答案：D
解析：如图，设为底面正三角形的中心，平面，则正三棱锥的体积．
连接并延长交于，则为的中点，所以，则，所以，所以
，所以正三棱锥的表面积．
设内切球半径为，则，即，解得，所以内切球的表面积为，故选D．
8．答案：A
解析：取的中点，连接，如图所示．
因为，且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，且．因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以，又，所以，所以四边形是平行四边形，即．又平面平面，所以平面，选项A正确；
根据已知条件无法判断与平面平行，故选项B错误；
没有条件可以判断，故选项C错误；
没有条件可以判断平面与平面平行，故选项D错误．故选A．
9．答案：BC
解析：对于A，当时，与不一定共线，故A错误；
对于B，由，得，
所以，
同理，故是三角形的垂心，故B正确；
对于C，由共线向量的性质可知，若，则与共线且反向，故C正确；
对于D，当时，显然有，但此时不存在，故D错误．
故选：BC．
10．答案：BCD
解析：如下图所示：
，即，
，
三点共线，则．
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，
故选：B．
11．答案：ABD
解析：如图，连接，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角．因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；
连接，因为平面平面，所以．因为，所以平面．又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面平面，所以．因为，所以平面，所以为直线与平面所成的角．设正方体棱长为1，则，所以直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确．故选ABD．
12．答案：AC
解析：方法一：对于选项A，因为，所以，则，故A正确；对于选项B，因为，
所以，，当时，，故B错误；对于选项C，，所以，
所以，故C正确；对于选项D，，
，当且时，，故D错误．故选AC．
方法二：如图，由图可知，故A正确；当且仅当时，成立，故B错误；因为，且，故C正确；，因为与不一定相等，故D错误．故选AC．
13．答案：
解析：因为是不共线的向量，所以可以作为平面内一组基底，因为，所以，因为三点共线，所以，所以，解得．故答案为：．
14．答案：
解析：因为，所以，使得成立，所以，即．因为不共线，所以（否则，不妨设，则，与不共线矛盾），解得．故答案为．
15．答案：①③④②（或②③④①）
解析：是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同的直线，
若①，③，则．又④②．即①③④②．若②，③，则．又④①．即②③④①．
16．答案：
解析：过点作于点，连接平面平面，平面平面平面平面平面，，平面平面．与折前的图形对比，可知折前的图形中，三点共线，且在折前的图形中，即，
．
17．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）已知，由余弦定理可得，即，又由正弦定理，得，角为中内角，所以．
（2）中，为的中点，如图所示，
①②③
已知，求证．
证明：中，，
解得．
②①③②
已知，求证．
证明：，所以中，．
②③①
已知，求证：．
证明：，在中，由余弦定理，
，所以．
18．答案：（1）
（2）12
解析：（1）由，则．
（2）由题设，则．
19．答案：（1） （2）
解析：（1）由题意知，圆锥的高．
（2）设圆锥内切球的半径为，
则，解得，
所以所求球的表面积．
20．答案：（1）证明见解析
（2）若用条件①，存在点满足题目条件，此时
若用条件②，存在点满足题目条件，此时点与点重合，故
若用条件③，不存在满足题目条件的点
解析：（1）证明：由已知得等边三角形中，，
由余弦定理得，
．
又平面．
又平面平面平面．
（2）若用条件①，由（1）得，
又和是两条相交直线，平面．
又等边三角形的高为，
，
故三棱锥的体积，
存在点满足题目条件，此时．
若用条件（2）二面角的大小为，
由（1）得是二面角的平面角，，
．
又等边三角形的高为，
故三棱锥的体积，
存在点满足题目条件，此时点与点重合，故．
若用条件③到平面的距离为，
由题可知，等边三角形的高为，
则，
则三棱锥的体积不存在满足题目条件的点．
21．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）如图，在平面内取一点，过点作于点于点．
平面平面，且平面平面平面．
又平面．同理可证．
平面．
（2）如图，连接并延长交于点．
是的垂心，．
又平面平面．
又平面．
平面．
又平面平面．
又平面．
平面，即是直角三角形．
22．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）
解析：因为平面平面，所以，，因此是两个直角三角形．
当时，显然是直角三角形，因为平面，所以平面，而平面，所以，因此是直角三角形，所以该三棱锥为“鳖臑”．
（2）①：如图①，连接，在内，过点作，即可得为所求直线．
证明如下：在中，由余弦定理可得
．
因为，所以由勾股定理逆定理可知．
又因为底面平面，所以．
又因为平面，所以平面．
又因为平面，所以．
因为平面，
所以平面平面，因此．
（2）证明：如图②，延长，交于点，连接，点平面，点平面，所以平面平面．
因为底面，且平面，所以．
因为平面平面，所以．
又因为平面，所以平面，所以，所以是平面与平面所形成的二面角的平面角．