宁夏回族自治区银川市贺兰县第一中学2023-2024学年高二下学期数学周末试卷（7）（含解析）

贺兰一中2023-2024学年第二学期高二年级数学周末试卷（7）
一、单选题
1．函数的极大值为（ ）
A．-2 B．2 C． D．不存在
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．手机上有一款绘图软件，软件中提供了红、黄、绿三种基本颜色，每种颜色都有0~255种色号，在手机上绘图时可以分别从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，那么在手机上绘图时可配成的颜色种数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的导函数的图象如图所示，则关于的结论正确的是（ ）
A．在区间上为减函数
B．在处取得极小值
C．在区间上为增函数
D．在处取得极大值
5．函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A．24 B．48
C．60 D．72
8．已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在区间上是减函数
B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数
D．在区间上是增函数
10．(多选)下列问题中，属于排列的有（ ）
A．10本不同的书分给10名同学，每人一本
B．10位同学去做春季运动会志愿者
C．10位同学参加不同项目的运动会比赛
D．10个没有任何三点共线的点构成的线段
11．已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．e
12．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．有两个极值点 B．的极大值点为
C．的极小值为 D．的最大值为
三、填空题
13． ．
14．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 种.
15．设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为 ．
16．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有 种不同的种法（用数字作答）．
四、解答题
17．求下列函数的导数：
(1)；
(2)
(3) ；
18．已知函数．
(1)若在处取得极大值，求实数a的值；
(2)若在上单调递增，求实数a的取值范围．
19．已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程：
(2)讨论的单调性．
20．计算下列各题：
(1)；
(2)解方程：.
21．设
（1）求的单调区间及的极值；
（2）求在区间上的最大值与最小值．
22．已知曲线在处的切线过点．
(1)试求，满足的关系式；（用表示）
(2)讨论的单调性；
(3)证明：当时，．
贺兰一中2023-2024学年第二学期高二年级数学周末试卷（7）
答案解析
一、单选题
1．函数的极大值为（ ）
A．-2 B．2 C． D．不存在
【答案】A
【分析】求出导函数，判断导函数符号，结合极值的定义得答案.
【详解】＝1－＝．令得或（舍）．
由于，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
故函数在处取得极大值．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将展开得，化简计算即可.
【详解】∵，∴，化简可得，则.
3．手机上有一款绘图软件，软件中提供了红、黄、绿三种基本颜色，每种颜色都有0~255种色号，在手机上绘图时可以分别从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，那么在手机上绘图时可配成的颜色种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，分析可得每种颜色有256种色号，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，红、黄、绿三种基本颜色有种色号，即每种颜色有256种色号，
从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，则可以配成种颜色，
4．已知函数的导函数的图象如图所示，则关于的结论正确的是（ ）
A．在区间上为减函数
B．在处取得极小值
C．在区间上为增函数
D．在处取得极大值
【答案】B
【分析】函数的单调性、极值与导数的关系判断．
【详解】由图知，或时，，时，，
因此在和上递减，在上递增，是极小值，是极大值．只有B正确．
5．函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的解，根据该解在上可求实数的取值范围.
【详解】，
令，则或（舍），
因为在区间上不单调，故即，
6．若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意得 有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可.
【详解】依题意知， 有两个不相等的零点，故， 解得且 .
7．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A．24 B．48
C．60 D．72
【答案】D
【详解】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.
【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．
8．已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，求导，分离参数求最值即可.
【详解】不等式等价于，
令，根据题意对任意的，
当时，，所以函数在上单调递减，
所以在上恒成立，即在上恒成立.
令，则，所以当时，，单调递增，
当时，单调递减.所以，所以.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立；（2）恒成立.
二、多选题
9．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在区间上是减函数
B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数
D．在区间上是增函数
【答案】AC
【分析】根据函数的导函数图象，即可逐项判断.
【详解】对A：由导函数的图象知在区间上，，故在区间上单调递减，故A项正确；
对B、D：在区间，上分别有大于零和小于零的部分，故在区间，上不单调，故B、D项错误；
对C：在区间上，，所以函数在区间上单调递增，故D项正确.
10．下列问题中，属于排列的有（ ）
A．10本不同的书分给10名同学，每人一本
B．10位同学去做春季运动会志愿者
C．10位同学参加不同项目的运动会比赛
D．10个没有任何三点共线的点构成的线段
【答案】AC
【详解】因为排列与顺序有关系，因此AC是排列，BD不是排列，故选AC.
【点睛】排列与组合的区别：排列：把取出的得元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系；组合：只要把元素取出就可以，与元素的顺序无关.
11．已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．e
【答案】CD
【分析】求得，根据题意，转化为即在有解，设，利用导数求得函数的最小值，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得，因为函数在区间上存在单调递减区间，
即在有解，即在有解，
设，可得，
所以函数单调递增，所以，即，结合选项，可得选项C、D符合题意.
12．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．有两个极值点 B．的极大值点为
C．的极小值为 D．的最大值为
【答案】AB
【分析】求出函数的导数，再利用导数求出函数的极值判断ABC，取特值判断D作答.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
由得：或，由得：，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
于是函数在处取极大值，在处取极小值，C错误；
函数有两个极值点，且是的极大值点，A正确，B正确；
显然，D错误.
三、填空题
13． ．
【答案】40
【分析】根据排列数公式计算，即得答案.
【详解】由题意得，，，故，
14．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有
种.
【答案】18.
【分析】利用组合数，先从4名男医生中选2人，再从3名女医生中选出1人，再根据分步乘法计数原理即可求解.
【详解】根据题意，先从4名男医生中选2人，有种选法，再从3名女医生中选出1人，有种选法，则不同的选法共有=18；
15．设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】设，求导得，根据题意得在上单调递增，再根据函数的奇偶性和函数零点即可得到不等式解集.
【详解】设,则当时,有恒成立,
当时,在上单调递增,是定义在上的偶函数,
，即是定义在上的奇函数,
在上也单调递增.又.
不等式的解可等价于即的解,或,不等式的解集为.
16．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有 种不同的种法（用数字作答）．
【答案】72
【详解】5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．
四、解答题
17．求下列函数的导数：
(1)；
(2)
(3) ；
【答案】(1) (2) (3) 见解析
【分析】（1）（2）（3）根据复合函数的导数公式和导数运算法则运算即可．
【详解】
18．已知函数．
(1)若在处取得极大值，求实数a的值；
(2)若在上单调递增，求实数a的取值范围．
【答案】(1)1；(2).
【分析】（1）根据求参数a，验证是否在处取得极大值即可；
（2）将问题转化为在上恒成立，进而即得.
【详解】（1）因为， 所以，得， 此时，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，符合题意，故实数的值为1；
（2）由（1）知，，因为在上单调递增，所以在上恒成立，
因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以， 故实数的取值范围为.
19．计算下列各题：
(1)；(2)解方程：.
【答案】(1)(2)6
【分析】（1）根据排列数公式计算，可得答案；
（2）根据排列数公式化简可得一元二次方程，结合排列数性质，即可求得答案.
【详解】（1）；
（2）由，得，
即，即，解得或，
又因为且，故，故的解为.
20．已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程：
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)(2)在上单调递减，在上单调递增.
【分析】（1）由导数求出斜率、切点坐标可得答案；
（2）求出，分、讨论可得答案.
【详解】（1）当时，，则，∴，∴，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
①当时，恒成立，则在上单调递增；
②当时，由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【点睛】本题主要考查求切线方程和利用导数判断函数的单调性，注意对参数的讨论，考查学生的分析问题、解决问题是能力.
21．设
（1）求的单调区间及的极值；
（2）求在区间上的最大值与最小值．
【答案】（1）的单调增区间为和，单调减区间为，极大值，极小值（2）最小值，最大值.
【分析】（1）求，解不等式和可得单调增区间和减区间，进而可得极值.
（2）由（1）可判断在区间上的单调性，比较端点值和极值即可得最值.
【详解】（1）由可得：
由可得：或，由可得：，
所以在单调递减，在和单调递增，
当时取得极大值，当时取得极小值，
所以的单调增区间为和，单调减区间为，
（2）由（1）知：所以在单调递减，在单调递增，
所以时取得最小值，
，，所以的最小值，最大值为.
22．已知曲线在处的切线过点．
(1)试求，满足的关系式；（用表示）
(2)讨论的单调性；
(3)证明：当时，．
【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出曲线的切线方程，即可求得答案；
（2）分类讨论a的取值范围，根据导数与函数单调性的关系，即可得答案；
（3）结合（2）得，故要证明，即证，由此构造函数，求出其最小值，说明最小值大于0恒成立，即可证明结论.
【详解】（1）由，得，则，
故曲线在处的切线方程为，即，
由题意得，即，
即，满足的关系式为；
（2）由（1）知，定义域为R，，
当时，，在R上单调递减；
当时，由，得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
综上，当时，在R上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）证明：由（2）得，
要证明，即证，即证，
令，则，
令，则，令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
即恒成立，
即当时，.
【点睛】关键点点睛：本题考查了导数的几何意义的应用、函数单调性的讨论以及不等式的证明，解答的关键是将不等式的证明问题转化为构造新函数，求解函数的最值问题，即可解决.