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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
7.1动点、动线、动图型探究题
动点、动线、动图构成的问题，称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一体。这类题综合性强，能力要求高，它能全面地考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。动态问题成为近年中考试题的热点，这类试题信息量大，对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动。
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态几何问题是近年来中考的一个重难点问题，以运动的观点探究几何图形或函数与几何图形的变化规律命题。随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
1、解题方法
1）动中取静即在运动变化过 程中探究不变量；
2）以静制动有些问题是求最值或形成特殊的几何图形，本质就是在运动过程中运动到特殊位置时形成的关系，在动的过程中抓住静的瞬间，由一般向特殊转化。
2、解题步骤
1）读题，辨析是递进关系还是并列关系；
2）确定动点、动线背景，确定动点个数以及它们之间的关系，动点在什么图形上运动（直线、射线、折线、三角形、四边形等）；
3）分类，确定分类依据，从特殊位置入手确定自变量范围，找不变或相等关系（全等、相似、面积、勾股底或高为定长、定角等），动点和定点构成的图形要逐一分析；
4）作图，要作出每个状态的典型图形；
5）函数或方程，通过位置关系建立起数量关系；
6）看临界，要考虑临界状态能否成立的情况。
注意：解题时，往往需要通过数形结合揭示题目各数据之间的内在联系，通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，只要善于运用数形结合的思想，由形想数，由数定形，把动点运动的时间t与运动过程中特定图形的形状和大小联系起来，利用方程就可以解决动点问题。
考向一 动点问题
例1．（2023年江苏省南通市中考数学真题）如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）
A．54 B．52 C．50 D．48
【答案】B
【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．
【详解】解：当时，由题意可知，，
在中，由勾股定理得，
设，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
即，解得，，
，当时，由题意可知，，
设，，
在中，由勾股定理得，
在中由勾股定理得，
中，由勾股定理得，即，
解得，，，．故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题．
例2．（2023年河南省中考数学真题）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
A．6 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长．
【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．
结合图象可知，当点在上运动时，，∴，，
又∵为等边三角形，∴，，∴，
∴，∴，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
∴，即，∴，过点作，
∴，则，∴，
即：等边三角形的边长为6，故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．
例3．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，过点作于点，根据已知条件得出是等边三角形，进而证明得出，当时，在上，当时，在上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，
当时，在上，菱形中，，，
∴，则是等边三角形，∴，
∵，∴，又∴
∴∴，∴
当时，在上，∴，
综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分，故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
例4．（2023·浙江·九年级模拟）如图，中，，，，以点为圆心3为半径的优弧分布交，于点，点优弧上的动点，点为的中点，则长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据勾股定理求得AB=8，然后根据的性质求得NE和OE的长，当点P在M处时，AC有最小值，此时，在中应用勾股定理即可求解；当P在点N处时，AC有最大值，根据的性质求出CF、FO、AF，然后在中应用勾股定理即可求解．
【详解】∵OA=6，OB=10，ON=OM=3 ∴AM=OA-OM=3
∴在中， 过N点作于点E
∴ 又∵∴
∴ ∴ ∴，
当点P在点M、N处时，AC分别有最小值和最大值；当点P在M处时，AC有最小值
∵C是BP的中点， ∴
∴在中， ∴
当P在点N处时，AC有最大值 ∴
∵∴ ∴
∴， ∴， ∴
在中， 综上所述，故选D．
【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，题目较为综合，难度较大，根据题意讨论两种情况是本题的关键．
考向二 动线问题
例1．（2023·河北保定·统考一模）如图，在菱形中，，P为对角线上的一个动点，过点作的垂线，交或于点，交或于点，点从点出发以cm/s的速度向终点运动，设运动时间为，以为折线将菱形向右折叠，若重合部分面积为，求t的值，对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】C
【分析】由菱形的性质推出的度数，通过分类讨论的方法得到含有特殊角的直角三角形、、以及等边三角形、，利用面积公式进而列出有关时间的一元二次方程，通过解方程求出.
【详解】解 ：如图，连接交于点
四边形为菱形
，
在中，
由题意可知，
如图所示，重合部分
在 中，，
，为等边三角形
如图所示，重合部分
在中，，
，
为等边三角形
或，即甲、丙答案合在一起才完整.故答案选 .
【点睛】本题考查的是菱形的性质和折叠问题，涉及到的知识点有利用特殊直角三角形求边长、求角度以及等边三角形的判定.是否能用分类讨论的方法解决本题折叠问题是这道题的难点.本题的综合能力较强.
例2．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在，，之间三个阶段，用含x的代数式表示出的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．
【详解】解：菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，
，，，
，，，，
设直线的解析式为，将，代入，得：
，解得，直线的解析式为．轴，N的横坐标为x，
（1）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，
，，
，该段图象为开口向上的抛物线；
（2）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中，上的高为，
，该段图象为直线；
（3）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，
由，可得直线的解析式为，
，，，
，
该段图象为开口向下的抛物线；观察四个选项可知，只有选项A满足条件，故选A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及坐标与图形，菱形的性质，二次函数、一次函数的应用等知识点，解题的关键是分段求出函数解析式．
例3．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，直线与x轴、y轴分别交于点和点，直线与直线交于点，平行于y轴的直线m从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿x轴向右平移，到点时停止．直线m交线段、于点、，以为斜边向左侧作等腰，设与重叠部分的面积为（平方单位），直线m的运动时间为t（秒）．
(1)填空：_______，______；
(2)填空：动点的坐标为（t，_____），______（用含t的代数式表示）；
(3)当点落在轴上时，求的值．(4)求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围；
【答案】(1)8；(2)；(3)2(4)
【分析】（1）分别令、求出、的长度，再根据等腰直角三角形的性质求出的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质可得动点E的坐标，进而求出的长度；（3）当点在轴上时，四边形为正方形，进而求出的值；（4）点的位置有三种可能：①点在轴的左侧；②点在轴上；③点在轴右侧，求出S与t的关系式．
【详解】（1）与轴交于A点，与轴交于B点，
∵当时，；当时，，∴，∴，故答案为：8；．
（2）∵直线与直线交于点C，
∴联立，得，解得，，∴，，
则，即，，
∵且直线m平行于y轴，垂直于x轴，
∴，为等腰直角三角形，∴，
∴，故答案为：；．
（3）当点落在轴上时，，∴，，
∴四边形为正方形，∴，∴，即，故答案为：2．
（4）由题意可知：直线m交线段、于点、，以为斜边向左侧作等腰，
所以点的位置有三种情况：①由（3）可知，当时，点在轴上，
此时和重叠部分的面积为等腰直角三角形，四边形为正方形，
；
②当时，点 在轴左侧，此时与重叠部分为梯形，如图，的两直角边与轴有两交点P、Q，分别过两个交点作x轴的平行线，交于M、N两点，
；
③当时，点在轴右侧，
此时和重叠部分的面积为等腰直角三角形，四边形为正方形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查根据一次函数解析式求点的坐标，以及三角形的面积的计算，正确表示出的长是关键．
例4．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图1，在菱形中，，．动点从点出发，沿边以每秒1个单位长度的速度运动，到点时停止，连接，点与点关于直线对称，连接，．设运动时间为（秒）．
(1)菱形对角线的长为___________；(2)如图2，当点恰在上时，求的值；
(3)当时，求的周长；(4)直接写出在整个运动过程中，线段扫过的面积．
【答案】(1)(2)(3)或(4)
【分析】（1）连接交于，依据菱形中，，，即可得到菱形对角线的长；（2）依据点与点关于直线对称，可得，进而得出，，，依据，，即可得到的值；
（3）当时，有两种情况：点是的中点；点是的中点．分别依据的周长的周长，进行计算即可；（4）点运动路径为以点为圆心，6为半径，圆心角为的弧，从而得到线段扫过的部分为扇形，再利用扇形面积计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接交于，
菱形中，，．，
，，，故答案为：；
（2）如图，菱形中，，，
又是菱形的对角线，，
点与点关于直线对称，，，，，
，，即解得；
（3）当时，有两种情况：点是的中点；点是的中点．
①当点是的中点时，如图，过作于，
在中，，，，
在中，，，．
的周长的周长；
②当点是的中点时，如图，连接，则是等边三角形，，
在中，，与①同理，得，
的周长的周长；
（4）由题可得，点运动路径为以点为圆心，6为半径，圆心角为的弧，
∴线段扫过的部分为扇形，∴线段扫过的面积为．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数的综合运用；解决此类问题的关键是能分析出各种情况的位置，分类讨论做到不重不漏，严密思考．
考向三 动图问题
例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分，， 三种情况，分别求出函数解析即可判断．
【详解】解：过点D作于H，
，
∵，，∴，∴
当时，如图，重叠部分为，此时，，
，
∴，∴，即，∴∴；
当时，如图，重叠部分为四边形，此时，，
∴，，∵，∴，∴，
又，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即，∴，
∴；
当 时如图，重叠部分为四边形，此时，，
∴，∵，∴，
∴，即∴，
综上，，∴符合题意的函数图象是选项A．故选：A．
【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度．
例2．（2023·山东·九年级专题练习）综合与实践
问题情境：矩形ABCD中，AB＝2，∠ADB＝30°，将△BCD沿着对角线BD所在的直线平移，得到△B′C′D′，连接AB′，DC′．
操作探究：(1)如图1，当△BCD沿射线BD的方向平移时，请判断AB′与DC′的长度有何关系？并说明理由；(2)如图2，当△BCD沿射线DB的方向平移时，四边形AB′C′D能成为菱形吗？若能，求出平移的距离；若不能，说明理由；(3)当△BCD平移距离为2时，请你在备用图中画出平移后的图形（除图2），并提出一个问题，直接写出结论．
【答案】(1)AB′＝DC′，理由见解析(2)能，2(3)见解析
【分析】(1)根据平移的性质证明四边形是平行四边形，即可解决问题，
(2)利用菱形的性质可得，进而可以解决问题，(3)结合(2)当沿射线DB的方向平移，平移距离为2时，利用菱形的性质可得与的位置关系．
【详解】（1）解：，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴，AD＝BC，
∵是由平移得到的，∴，，
∴，，∴四边形是平行四边形，∴．
（2）能，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴，∵，∴，
∵四边形是菱形，∴，∴，
∵，∴，∴，则平移的距离为2．
（3）如图，问题：当沿射线DB的方向平移，平移距离为2时，与的位置有何关系？
结论：．
证明：∵四边形ABCD为矩形，AD=BC，，
∵沿射线DB的方向平移，平移距离为2，
∴，，∴，
∴四边形为平行四边形，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴平行四边形为菱形，∴，即
【点睛】此题考查了平移变换，菱形的判定与性质，矩形的性质，解题关键是掌握平移的性质．
例3．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图①，在中，，，，D为的中点，为的中位线，四边形为的内接矩形（矩形的四个顶点均在的边上）．(1)计算矩形的面积；(2)将矩形沿向右平移、点F落在上时停止移动，在平移过程中，当矩形与重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；(3)如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形，将矩形绕点按顺时针方向旋转，当H1落在上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形，设旋转角为，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据已知，由直角三角形的性质可知，从而求 得，，利用中位线的性质可得，，利用三角函数可得，由矩形的面积公式可得结果；
（2）首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与重叠部分为三角形时（），利用三角函数和三角形的面积公式可得结果；当矩形与重叠部分为直角梯形时()，列出方程解得x，即可得到答案；（3）作于Q，设，则， ，利用勾股定理可得m，在中，利用三角函数解得；
【详解】（1）解：如图①，在中，
∵，，，∴，又∵D为的中点，，∴，，
又∵为的中位线，∴，在中，，，∴，
在中，，∴矩形的面积；
（2）解：如图②，设矩形移动的距离为x，则，
当矩形与重叠部分为三角形时，则，，∴（舍去），
当矩形与重叠部分为直角梯形时，则，
重叠部分的面积，∴，
即矩形移动的距离为时，矩形与重叠部分的面积是；
（3）解：如图③，于Q，设，则，∵ ，，
在中，，解之得：，（负的舍去）．
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，中位线的性质和三角函数定义等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解答此题的关键．
一、选择题
1．（2023年河北省中考数学真题）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，
设圆的半径为R，∴两个机器人最初的距离是，
∵两个机器人速度相同，∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．
【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．
2．（2023·广东珠海·校考一模）如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，．已知与之间的函数图象如图②所示，点是图象的最低点，那么正方形的边长的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】由、关于对称，推出，推出，推出当、、共线时，的值最小，连接，由图象可知，就可以求出正方形的边长．
【详解】解：如图，连接交于点，连接，连接交于点．
四边形是正方形，是的中点，
点是的中点，是的重心，，，
、关于对称，，，
当、、共线时，的值最小，的值最小就是的长，
，设正方形的边长为，则，
在中，由勾股定理得：，
，负值已舍，即正方形的边长为．故选：C．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，重心的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键．
3．（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得：，，设，则，作交的延长线于点，作交的延长线于点，则可得，，从而得到，根据的最大值为3，求出的值，从而得到，最后由平行四边形的面积公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：，，设，则，
作交的延长线于点，作交的延长线于点，
，
，，，，
，
由图象可得的最大值为3，，解得：或（舍去），
，，
平行四边形的面积为：，故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形、二次函数的图象与性质，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的图象与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
4．（2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学真题）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧以为边作菱形，点在射线．设点的运动时间为，菱形与的重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先证明菱形是边长为x，一个角为的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解．
【详解】解：作于点D，作于点E，
由题意得，，∴，∴，
∴是线段的垂直平分线，∴，∴，，
∴，，当点M运动到直线上时，
此时，是等边三角形，∴，；
当点Q、N运动到与点重合时，∴，；
当点P运动到与点重合时，∴，；∴当时，，
当时，如图，作于点G，交于点R，
则，，，
∴，
当时，如图，作于点I，
则，，∴，
综上，与之间函数关系的图象分为三段，当时，是开口向上的一段抛物线，当时，是开口向下的一段抛物线，当时，是开口向上的一段抛物线，
只有选项A符合题意，故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
5．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形中，对角线交于点O，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出在点左侧时的两段图象，即可得出结论．
【详解】解：当在点左侧，即：时：
①当正方形的边在的外部时，重叠部分为矩形，如图：
设分别交于点，
∵垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，∴，
∵在矩形中，，，∴，∴，
∴为等边三角形，∴，∴，
∴，∴，图象为开口向下的一段抛物线；
②当正方形的边在的内部时，与重叠部分即为正方形，如图：
由①可知：，∴，图象是一段开口向上的抛物线；
当过点时，即时，重合，此时，；综上：满足题意的只有B选项，故选B．
【点睛】本题考查动点的函数图象问题．解题的关键是确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．
6．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，，在射线，上分别截取，连接，的平分线交于点D，点E为线段上的动点，作交于点F，作交射线于点G，过点G作于点H，点E沿方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形与重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．
【详解】解：∵，， ∴是边长为6的正三角形，
∵平分， ∴，，，
①当矩形全部在之中，即由图1到图2，此时，
∵， ∴，∴，
∴， 在中，， ∴， ∴；
②如图3时，当，则，解得，
由图2到图3，此时，
如图4，记，的交点为，则是正三角形， ∴，
∴， 而，∴，
∴，
③如图6时，，由图3到图6，此时，如图5，同理是正三角形，
∴，，，
∴， 因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线， 故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．
7．（2022·四川乐山·中考真题）如图，等腰△ABC的面积为2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】D
【分析】当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在N处，当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN．求出CF的长即可解决问题．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，
∵AB=AC，∴BD=DC=BC=1，∵AE=BC，∴AE=DC=1，
∵AE∥BC，∴四边形AECD是矩形，∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，
∴AD=2，则CE=AD=2，当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处，
当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN．
∵BC=2，CE=2，由勾股定理得BE=4，cos∠EBC=，即，∴BF=8，
∵点N是CE的中点，点M是EF的中点，∴MN=BF=4，∴点M的运动路径长为4，故选：D．
【点睛】本题考查点的轨迹、矩形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
8．（2022·黑龙江大庆·中考真题）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足．点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设点M的坐标为（0，m），点N的坐标为（n，0），则点Q的坐标为，根据，得出，然后分两种情况，或，得出与的函数关系式，即可得出Q横纵坐标的关系式，找出点Q的运动轨迹，根据勾股定理求出运动轨迹的长即可．
【详解】解：设点M的坐标为（0，m），点N的坐标为（n，0），则点Q的坐标为，
∵，∴，（，） ，
∵当时，，∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为（-4，0），另一端在y轴的负半轴上，坐标为（0，-4），∴此时点Q的运动路径长为；
∵当时，，∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为（4，0），另一端在y轴的负半轴上，坐标为（0，-4），∴此时点Q的运动路径长为；
综上分析可知，点Q运动路径的长为，故B正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的动点问题，根据题意找出点Q的运动轨迹是两条线段，是解题的关键．
二、填空题
9．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．
【答案】/
【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可．
【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴点F在以为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值，
∵，∴，，∴，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键．
10．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为 ．
【答案】/
【分析】过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得，然后等面积法即可求解．
【详解】如图过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，
∴，在中，∴
∵，∴,故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．
11．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．
【答案】1
【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值．
【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得，，
∵，∴，∵和是等边三角形，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，解得．故答案为：1．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．
12．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
【答案】
【分析】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的位置，进而求出点P的运动路径长．
【详解】解：为的直径，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部，
如图，记以AB为直径的圆的圆心为，连接交于点，连接
∴当点三点共线时，即点P在点处时，CP有最小值，
∵∴ 在中，
∴∠∴∴两点距离最小时，点P的运动路径长为
【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P的路径是解答本题的关键．
13．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．
【答案】##
【分析】根据函数图像可得AB=4=BC，作∠BAC的平分线AD，∠B＝36°可得∠B＝∠DAC＝36°，进而得到，由相似求出BD的长即可．
【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8，∴BC=AB=4，
∵∠B＝36°，∴，作∠BAC的平分线AD，
∴∠BAD＝∠DAC＝36°＝∠B，∴AD=BD，，∴AD=BD=CD，
设，∵∠DAC＝∠B＝36°，∴，
∴，∴，解得： ，（舍去），
∴，此时(s)，故答案为：.
【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明．
14．（2023·北京海淀·校考模拟预测）如图，在中，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则的最小值为______
【答案】##
【分析】取的中点O，的中点E，的中点F，连接、，先根据勾股定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据圆周角定理和垂径定理证得点M在以为直径的圆上，当点P在点A处时，点M在点E处，当点P在点B处时，点M在点F处，取的中点，连接交于点，则的长度即为的最小值，延长交于G，连接，，证明，利用相似三角形的性质和解一元二次方程求得即可求解．
【详解】解：如图，取的中点O，的中点E，的中点F，连接、，
∵在中，，，，
∴，，∴，
∵P是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，∴，即，
∴点M在以为直径的圆上，当点P在点A处时，点M在点E处，当点P在点B处时，点M在点F处，取的中点，连接交于点，则的长度即为的最小值，
延长交于G，连接，，则，
∵，，∴，
∴，即，解得：或（舍去）,
故的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、圆周角定理、垂径定理、点与圆的位置关系、圆内接四边形的外角性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，确定点M的运动路线以及利用隐形圆求解线段最值问题是解答的关键．
15．（2023·浙江舟山·统考一模）如图，在中，，，．动点P沿线段以的速度从点A向点C运动，另有一动点Q与点P同时出发，沿线段以相同的速度从点B向点C运动．作于点D，再将绕的中点旋转，得到；作于点E，再将绕的中点旋转，得到．设点P的运动时间为．
（1）如图当点落在边上时x的值为___________；
（2）如图，在点P，Q运动中：当点在内部时x的取值范围为___________．
【答案】
【分析】（1）利用锐角三角函数的意义直接求出；（2）找出分界点①刚好到达边时，②刚好到达边时，利用同一条线段两种算法求出值，即可得的取值范围．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，∴，，，
由题意得：，∴，，
∴，∴；故答案为：；
（2）同（1）可得，，，
①刚好到达边时，
由旋转可知，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，，∴，，
∴，即，
∵，则：，，
∴，∴；
②刚好到达边时，∵，∴，
∴，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了锐角三角函数，解直角三角形等知识，具体的规划是学会用分类讨论的思想思考问题属于中考常考题．
三、解答题
16．（2023·河北·统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式．
例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．
(1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式；(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次．①用含m的式子分别表示；②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象；(3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
【答案】(1)的解析式为；的解析式为；
(2)①；②的解析式为，图象见解析；(3)
【分析】（1）根据待定系数法即可求出的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线的解析式；（2）①根据题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为，再得出点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；
②由①的结果可得直线的解析式，进而可画出函数图象；
（3）先根据题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再把点C的坐标代入整理即可得出结果．
【详解】（1）设的解析式为，把、代入，得
，解得：，∴的解析式为；
将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为；
（2）①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了次，∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为；
∴点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为，∴；
②由于，∴直线的解析式为；
函数图象如图所示：
（3）∵点的横坐标依次为，且分别在直线上，∴，
设直线的解析式为，把A、B两点坐标代入，得
，解得：，∴直线的解析式为，
∵A，B，C三点始终在一条直线上，∴，整理得：；
即a，b，c之间的关系式为：．
【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．
17．（2023·广西·统考中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．
【答案】(1)见详解(2)(3)当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小
【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可进行求证；
（2）分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，根据题意可得，，然后可得，由（1）易得，则有，进而问题可求解；（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵是边长为4的等边三角形，∴，，
∵，∴，
在和中，，∴；
（2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：
在等边中，，，
∴，∴，
设的长为x，则，，
∴，∴，
同理（1）可知，∴，
∵的面积为y，∴；
（3）解：由（2）可知：，∴，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
即当时，的面积随增大而增大，当时，的面积随的增大而减小．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键．
18．（2023·吉林长春·九年级校考期中）如图①，在 中，，，点从点 出发沿折线运动．点P在AB上的运动速度是每秒个单位长度，在 上的运动速度是每秒5个单位长度．当点不与点重合时，作于点Q，以线段 为边作矩形 ，使点始终在线段的同侧，且，点运动的时间为 （s）．
(1) __________．(2)用含有t的代数式表示线段的长．(3)当点落在的边上时，求t的值．(4)如图②，点分别是的中点，作直线，直接写出直线 与的一边垂直时的值．
【答案】(1)(2)①当时，；②当时，
(3)或(4)，，，
【分析】（1）过点作边的高线，根据及，可求高及所在直角三角形的邻直角边即可；（2）当点在段运动时， ，由，则，可得，当点在段运动时，，则，由，可得：，综上即可；（3）分两大类情况讨论：点在上与点在上，由，，当点在上时，，则，此时由，可得，代入数据可求，同理求点在上情况即可；（4）分别画出垂直于三边的图形，依据图形分析即可．
【详解】（1）如图所示：过点作边的高线，由，
设，则，根据勾股定理：，
可得：，所以 ，
（2）如下左图所示：， 当点在段运动时（）， ，由可得，则，可得
如下右图所示：当点在段运动时（），，则，
由，可得：
综上所得：①当时，；②当时，
（3）如下左图所示：点在上，由，可得：，
由点P在 上的运动速度是每秒个单位长度，则，由，，则，此时由，可得， ，解得：
如下右图所示：点在上，，， ，，此时由，即，
（4）当时：① 如图1所示：， 则 ，
， ；
② 如图2所示：， ，则 ，，
如图3所示：当时，设垂足为，，， ，
， ，由相似性质及，可得： ，，
，
如图4所示： 当时，设垂足为，，，，，
此时有关系式： ，即 ，
图1 图2 图3 图4
【点睛】本题结合动点考查了相似与锐角三角函数，关键是灵活运用相似性质及三角函数解三角形，最后一问主要通过画图分析，逆向（执果索因）解决问题．
19．（2023·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点B运动，当点P不与A、B重合时，过点P作，垂足为点D，将线段PD绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接CE，点P、点D关于直线CE的对称点分别为点、．设点P的运动时间为t秒．(1)当P与C重合时，求t的值．(2)用含t的代数式表示PD的长．(3)当线段在内部时，求t的取值范围．(4)当时，直接写出t的值．
【答案】(1)(2)(3)(4)或
【分析】（1）当P与C重合时，点P运动的路程即为AC的长度，据此列出方程求解即可；
（2）分点P在AC上和在BC上两种情况讨论求解即可；（3）过点C作CF⊥AB于F，如图3-1所示，先证明当CE在CF左侧时， 此时点必然在△ABC的外部，不符合题意；然后分别求出如图3-2和如图3-3所示的两种临界情况，最后证明如图3-4所示的情况不符合题意即可得到答案；
（4）分P在BC上和P在AC上两种情况，建立平面直角坐标系进行求解即可．
（1）解：由题意得，解得；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
如图1所示，当点P在AC上，即时，
∵∠A=∠A，∠ADP=∠ACB=90°，∴△ADP∽△ACB，∴，即，∴；
如图2所示，当点P在BC上，即，∵∠B=∠B，∠BDP=∠BCA=90°，∴△BDP∽△BCA，
∴，即，∴；
综上所述，；
（3）解：过点C作CF⊥AB于F，如图3-1所示，当CE在CF左侧时，设直线CE与AB交于点G，
∵∠AFC=90°，∴∠AGC＞90°，又∵点是D关于直线CE的对称点，
∴此时点必然在△ABC的外部，不符合题意；
如图3-2所示，当CE与CF恰好重合时，∵∠ADP=∠EPD=90°，∴，
∴，∴∠CEP=∠BCA=90°，∴△CPE∽△BAC，
∴，由（2）得，∴由旋转的性质可得PE=PD=4t，∴，解得；
如图3-3所示，当点恰好落在BC上时，由轴对称的性质可得，
过点E作EH⊥CP于H，则△CHE为等腰直角三角形，∴CH=HE，
∵∠EHP=∠BCA=90°，∠EPH=∠A，∴△EHP∽△BCA，
∴，即，∴，
∴，∴，解得；
当点P在AC上运动，且时，此时点在△ABC外部，不符合题意；
如图3-4所示，当点P在BC上运动时，由于点E在△ABC外部，则点在△ABC外部，不符合题意；综上所述，当线段在内部时，；
（4）解：如图1所示，当P在AC上时，设与直线CE交于点M，延长PD交直线CE于Q，连接MD，，由轴对称的性质可得，
∴，∴，∵，∴，∴，
又∵，∴∠CMP=∠QMP=90°，∵PM=PM，∴△CMP≌△QMP（ASA），∴CP=PQ，
如图所示，以AB为x轴，以CF所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
在Rt△ABC中，，，
∴,，∴点C的坐标为（0，）
在Rt△PAD中，，∴，
∴点D的坐标为（，0），由旋转的性质可得，∠DPE=∠ADP=90°，
∴轴，∴点E的坐标为（，4t），
设直线CE的解析式为，∴，∴，
∴直线CE的解析式为，
当时，，
∴，∴，
∴，∴，
∴解得；
如图4-2所示，当点P在线段BC上时，同图4-1中建立坐标系，设与BC交于N，过点D作DM⊥BC于M，过点N作NQ⊥PD于Q，过点B作BG⊥CE于G，过点G作GT⊥x轴于T，
∵，，∴，
∴，同理可证，∴∠PDN=∠MDN，
又∵NQ⊥PD，MN⊥DM，∴NQ=NM，∠NQD=∠NMD=90°，∴△NQD≌△NMD（AAS），∴DQ=DM，
在Rt△ABC中，，
∵∠ABC+∠DPB=90°=∠DPM+∠PDM，∴∠PDM=∠ABC，
∴，，
∴，∴，同理可证∠PNQ=∠PBD，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴（可以参考两个角的两边互相平行进行证明，两个角都是锐角，不存在互补的情况），∴，同理可得，
∴，∴，∴，∴，
∴点G的坐标为（，），同理可求得直线CG的解析式为，
在Rt△BDP中，，∴，
由（2）得，∴点E的坐标为（，），
∵点E在直线CG上，∴，
∴，∴，解得；综上所述，当时，或
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，旋转的性质，角平分线的性质等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线，利用分类讨论和数学结合的思想求解．
20．（2023·四川德阳·统考中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线与新图象有三个公共点时，求k的值；(3)如图2，如果把直线沿y轴向上平移至经过点，与抛物线的交点分别是，，直线交于点，过点作于点，若．求点的坐标．
【答案】(1)(2)或(3)
【详解】（1）设抛物线的解析式为，，，，
把，代入，得：，解得：，
抛物线的解析式为
（2）直线表达式，直线经过定点，
将过点的直线旋转观察和新图象的公共点情况
把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的解析式为，
新图象表达式为：时，；或时，，
如下图当直线与翻折上去的部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点，
联立，得：，整理得： ，
，，，，时，即如上图所示，符合题意，时，如下图所示，经过点，不符合题意，故舍去，
如下图，当直线经过点时，和新图象有三个公共点，
把代入，得：，解得：，
综上所述，当平面内的直线与新图象有三个公共点时，k的值为或
（3）在抛物线上，设坐标为，
，，，，，，
，，，，
，，，
，，，，
，（舍去），，代入，点的坐标为
【点睛】本题考查了二次函数综合、翻折、交点个数问题，结合一元二次方程、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点，数形结合是解题的关键．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
7.1动点、动线、动图型探究题
动点、动线、动图构成的问题，称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一体。这类题综合性强，能力要求高，它能全面地考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。动态问题成为近年中考试题的热点，这类试题信息量大，对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动。
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态几何问题是近年来中考的一个重难点问题，以运动的观点探究几何图形或函数与几何图形的变化规律命题。随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
1、解题方法
1）动中取静即在运动变化过 程中探究不变量；
2）以静制动有些问题是求最值或形成特殊的几何图形，本质就是在运动过程中运动到特殊位置时形成的关系，在动的过程中抓住静的瞬间，由一般向特殊转化。
2、解题步骤
1）读题，辨析是递进关系还是并列关系；
2）确定动点、动线背景，确定动点个数以及它们之间的关系，动点在什么图形上运动（直线、射线、折线、三角形、四边形等）；
3）分类，确定分类依据，从特殊位置入手确定自变量范围，找不变或相等关系（全等、相似、面积、勾股底或高为定长、定角等），动点和定点构成的图形要逐一分析；
4）作图，要作出每个状态的典型图形；
5）函数或方程，通过位置关系建立起数量关系；
6）看临界，要考虑临界状态能否成立的情况。
注意：解题时，往往需要通过数形结合揭示题目各数据之间的内在联系，通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，只要善于运用数形结合的思想，由形想数，由数定形，把动点运动的时间t与运动过程中特定图形的形状和大小联系起来，利用方程就可以解决动点问题。
考向一 动点问题
例1．（2023年江苏省南通市中考数学真题）如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）
A．54 B．52 C．50 D．48
例2．（2023年河南省中考数学真题）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
A．6 B．3 C． D．
例3．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023·浙江·九年级模拟）如图，中，，，，以点为圆心3为半径的优弧分布交，于点，点优弧上的动点，点为的中点，则长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向二 动线问题
例1．（2023·河北保定·统考一模）如图，在菱形中，，P为对角线上的一个动点，过点作的垂线，交或于点，交或于点，点从点出发以cm/s的速度向终点运动，设运动时间为，以为折线将菱形向右折叠，若重合部分面积为，求t的值，对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
例2．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．C．D．
例3．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，直线与x轴、y轴分别交于点和点，直线与直线交于点，平行于y轴的直线m从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿x轴向右平移，到点时停止．直线m交线段、于点、，以为斜边向左侧作等腰，设与重叠部分的面积为（平方单位），直线m的运动时间为t（秒）．
(1)填空：_______，______；
(2)填空：动点的坐标为（t，_____），______（用含t的代数式表示）；
(3)当点落在轴上时，求的值．(4)求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围；
例4．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图1，在菱形中，，．动点从点出发，沿边以每秒1个单位长度的速度运动，到点时停止，连接，点与点关于直线对称，连接，．设运动时间为（秒）．
(1)菱形对角线的长为___________；(2)如图2，当点恰在上时，求的值；
(3)当时，求的周长；(4)直接写出在整个运动过程中，线段扫过的面积．
考向三 动图问题
例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·山东·九年级专题练习）综合与实践
问题情境：矩形ABCD中，AB＝2，∠ADB＝30°，将△BCD沿着对角线BD所在的直线平移，得到△B′C′D′，连接AB′，DC′．
操作探究：(1)如图1，当△BCD沿射线BD的方向平移时，请判断AB′与DC′的长度有何关系？并说明理由；(2)如图2，当△BCD沿射线DB的方向平移时，四边形AB′C′D能成为菱形吗？若能，求出平移的距离；若不能，说明理由；(3)当△BCD平移距离为2时，请你在备用图中画出平移后的图形（除图2），并提出一个问题，直接写出结论．
例3．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图①，在中，，，，D为的中点，为的中位线，四边形为的内接矩形（矩形的四个顶点均在的边上）．(1)计算矩形的面积；(2)将矩形沿向右平移、点F落在上时停止移动，在平移过程中，当矩形与重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；(3)如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形，将矩形绕点按顺时针方向旋转，当H1落在上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形，设旋转角为，求的值．
一、选择题
1．（2023年河北省中考数学真题）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东珠海·校考一模）如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，．已知与之间的函数图象如图②所示，点是图象的最低点，那么正方形的边长的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学真题）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧以为边作菱形，点在射线．设点的运动时间为，菱形与的重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形中，对角线交于点O，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，，在射线，上分别截取，连接，的平分线交于点D，点E为线段上的动点，作交于点F，作交射线于点G，过点G作于点H，点E沿方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形与重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·四川乐山·中考真题）如图，等腰△ABC的面积为2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B．3 C． D．4
8．（2022·黑龙江大庆·中考真题）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足．点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为( )
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．
10．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为 ．
11．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．
12．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
13．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．
14．（2023·北京海淀·校考模拟预测）如图，在中，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则的最小值为______
15．（2023·浙江舟山·统考一模）如图，在中，，，．动点P沿线段以的速度从点A向点C运动，另有一动点Q与点P同时出发，沿线段以相同的速度从点B向点C运动．作于点D，再将绕的中点旋转，得到；作于点E，再将绕的中点旋转，得到．设点P的运动时间为．
（1）如图当点落在边上时x的值为___________；
（2）如图，在点P，Q运动中：当点在内部时x的取值范围为___________．
三、解答题
16．（2023·河北·统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式．
例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．
(1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式；(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次．①用含m的式子分别表示；②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象；(3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
17．（2023·广西·统考中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．
18．（2023·吉林长春·九年级校考期中）如图①，在 中，，，点从点 出发沿折线运动．点P在AB上的运动速度是每秒个单位长度，在 上的运动速度是每秒5个单位长度．当点不与点重合时，作于点Q，以线段 为边作矩形 ，使点始终在线段的同侧，且，点运动的时间为 （s）．
(1) __________．(2)用含有t的代数式表示线段的长．(3)当点落在的边上时，求t的值．(4)如图②，点分别是的中点，作直线，直接写出直线 与的一边垂直时的值．
19．（2023·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点B运动，当点P不与A、B重合时，过点P作，垂足为点D，将线段PD绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接CE，点P、点D关于直线CE的对称点分别为点、．设点P的运动时间为t秒．(1)当P与C重合时，求t的值．(2)用含t的代数式表示PD的长．(3)当线段在内部时，求t的取值范围．(4)当时，直接写出t的值．
20．（2023·四川德阳·统考中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线与新图象有三个公共点时，求k的值；(3)如图2，如果把直线沿y轴向上平移至经过点，与抛物线的交点分别是，，直线交于点，过点作于点，若．求点的坐标．
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