1.5 全称量词与存在量词 课件（共28张PPT）

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第1章 集合与常用逻辑用语
1.5 全称量词与存在量词
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1
新课导入
思考
下列命题中含有哪些量词？
（1）对所有的实数x，都有≥0；
（2）存在实数x，满足≥0；
（3）至少有一个实数x，使得-2＝0成立；
（4）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n × n；
在命题中出现这些量词，跟命题的判定有啥关系吗？
思考
2
探究新知
探究
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
1
(1)x>3；
(2)2x+1是整数；
(3)对所有的x∈R，x>3；
(4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数。
语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；
语句(3)(4)可以判断真假，是命题。
新知【1】
全称量词命题
用符号“ ”表示
x ∈ M, p(x)
短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。
含有全称量词的命题，叫全称量词命题。
全称量词命题
“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”
表示为:
读作:
“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。
练习
用量词“ ”表达下列命题：
凸多边形的外角和等于2π;
任一个实数乘以-1都等于它的相反数。
x∈R, x能写成小数形式
x∈{x|x是凸n边形}, x的外角和等于2π
x∈R, x·(-1)= -x
练习
判断下列全称量词命题的真假：
所有的素数是奇数；
x∈R， ＋1≥1；
对每一个无理数x， 也是无理数；
2是素数,但不是奇数. ∴是假命题
x∈R,总有≥0,因而+1≥1. ∴是真命题
是无理数，但是有理数. ∴是假命题
延伸
如何判断全称量词命题的真假？
若判定一个全称量词命题是真命题,
必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;
方法
若判定一个全称量词命题是假命题,
只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立即可。
探究
下列语句是命题吗 (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系
2
(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;
(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.
(1)2x+1=3
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
新知【2】
存在量词命题
短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。
含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
用符号“ ”表示
x ∈ M,p(x)
存在量词命题
“存在M中的一个x,使p(x)成立”
表示为:
读作:
“存在一个x属于M,使p(x)成立”。
练习
设q(x):x2=x,
使用不同的表达方法写出存在量词命题“ x∈R,q(x)”
存在实数x,使x2=x成立
至少有一个x∈R,使x2=x成立
对有些实数x,使x2=x成立
有一个x∈R,使x2=x成立
对某个x∈R,使x2=x成立
练习
判断下列存在量词命题的真假：
有一个实数x,使x2+2x+3=0;
平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
有些平行四边形是菱形.
由于Δ= 4×3= 8<0 ,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在. ∴是假命题
由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线. ∴是假命题
由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形” ∴是真命题
延伸
如何判断存在量词命题的真假？
要判断存在量词命题“ x∈M,p(x)”是真命题，
只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.
方法
如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,
那么这个存在量词命题是假命题.
探究
写出下列命题的否定
3
存在一个矩形不是平行四边形；
存在一个素数不是奇数；
∈ ,+1<0
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3) .
新知【3】
命题的否定
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。
全称量词命题的否定是存在量词命题
全称量词命题:
它的否定:
p: x ∈ M, p(x)
p: x ∈ M, p(x)
练习
写出下列全称量词命题的否定：
p: 所有能被3整除的整数都是奇数；
p: 每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
p: 存在一个能被3整除的整数不是奇数.
p: 存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.
p: 的个位数字等于3 .
探究
写出下列命题的否定
4
每一个平行四边形都不是菱形;
所有实数的绝对值都不是正数;；
∈ ,
(1)某些平行四边形是菱形； ；
(2)存在一个实数的绝对值是正数；
(3)
含有一个量词的存在量词命题
的否定是全称量词命题
含有一个量词的存在量词命题:
它的否定:
p: x0 ∈ M, p(x0)
p: x ∈ M, p(x)
新知【4】
练习
写出下列存在量词命题的否定：
p: 有一个偶数是素数；
p: 有的三角形是等边三角形；
p: 任意一个偶数都不是素数.
p: 所有三角形都不是等边三角形.
p: .
练习
写出下列命题的否定，并判断真假：
p: 任意两个等边三角形都相似；
p: 存在两个对边三角形，它们不相似.
因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似。 ∴是假命题
p:
因为对任意 ∈ , +1 ∴是假命题
3
随堂检测
检测
1． 下列说法中，正确的个数是(　　)
①存在一个实数x0，使－2x＋x0－4＝0；
②所有的素数都是奇数；
③至少存在一个正整数，能被5和7整除．
A．0　　　　B．1 C．2 D．3
【答案】　B
检测
2．设命题p： n∈N，n2＞2n，则命题p的否定为(　　)
A． n∈N，n2＞2n B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n D． n∈N，n2＝2n
【解析】　因为“ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M， p(x)”，所以命题“ n∈N，n2>2n”的否定是“ n∈N，n2≤2n”．故选C.
【答案】　C
检测
3．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，
并写出这些命题的否定．
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2) x∈Z，x2与3的和不等于0；
(3)有些三角形的三个内角都为60°；
(4)每个三角形至少有两个锐角；
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
检测
解：
(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．
(2)是全称量词命题，否定为： x0∈Z，x与3的和等于0.
(3)是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.
(4)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．
(5)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．
4
课堂总结
总结
命题 全称量词命题 存在量词命题
表述方法 ①所有的x∈M，p(x)成立 ②对一切x∈M，p(x)成立 ③对每一个x∈M，p(x)成立 ④任选一个x∈M，p(x)成立 ⑤凡x∈M，都有p(x)成立 ①存在x0∈M，使p(x)成立
②至少有一个x0∈M，使 p(x)成立
③对有些x0∈M，使p(x)成立
④对某个x0∈M，使p(x)成立
⑤有一个x0∈M，使p(x)成立
否定 p: x ∈ M, p(x) p: x0 ∈ M, p(x0)
p: x ∈ M, p(x) p: x ∈ M, p(x)