四川省屏山县中学校高2025届第四期第一次阶段性考试
数 学 试 卷
（满分：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.
3．结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列结论：①；②；③；④.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．等差数列中，若，则的前15项和为（ ）
A．1 B．8 C．15 D．30
3．已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )
A．在上为减函数 B．在处取极小值
C．在上为减函数 D．在处取极大值
4．的展开式中的系数为（ ）
A．80 B．40 C．10 D．
5．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
6.函数的图象大致为( )
B． C． D．
7．过双曲线（，）的左焦点的直线与交于，两点，且，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．下列各式中与排列数相等是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．有一个零点 B．的极小值为
C．的对称中心为 D．直线是曲线的切线
11．已知函数，则（ ）
A．当时，函数恰有1个零点
B．当时，函数恰有2个极值点
C．当时，函数恰有2个零点
D．当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．设等差数列的前项和为，若，，则_______．
13．假期里有4名同学分别被分配到甲、乙、丙三个社区做防疫志愿者，要求每个社区至少分配一名同学，则共有______种不同的分配方法．
14．已知实数满足，，则_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）已知函数．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的极值．
16．（本小题15分）在数列中，已知， .
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记，数列前项和为，求使得的整数的最大值.
17．（本小题15分）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面底面，，是的中点．
（1）证明：；
（2）若，，求平面与平面的夹角的余弦值．
18．（本小题17分）已知椭圆的左右焦点分别为，．在椭圆中有一内接三角形，其顶点的坐标，所在直线的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当的面积最大时，求直线的方程．
19．（本小题17分）若函数满足：对任意实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ．
（1）求证：函数不“增函数”；
（2）若函数是“增函数”，求实数的取值范围；
（3）设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”．第四期第一次数学阶段性测试答案及其评分标准
一、单选题：1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 6.C 7.B 8.C
二、多选题：9.AD 10.ACD 11.ABD
三、填空题 12. 110 13.36 14.e3
四、解答题：
15 2题：（1） f x 6x 6x 12 6 x 1 x 2 ..............................2 分
k f 0 12 ..............................................................4 分
由 f 0 5知切点为 (0,5) ...................................................5 分
故切线方程为 y 12x 5，即12x y 5 0；.................................6 分
（2）令 f x 0，得 x= 1或 x 2 ..........................................7 分
列表：.....................................................................11 分
x ( , 1) -1 ( 1,2) 2 (2, )
f (x) + 0 - 0 +
f (x) 单调递增 12 单调递减 -15 单调递增
或者由 f ' x 0得x 2或者x 1所以函数的单增区间为 , 1 , 2, .......9 分
由 f ' x 0得 1 x 2所以函数的单增区间为 1,2 ........................11 分
函数 f x 的极大值为 f ( 1) 2 3 12 5 12，.................................12 分
函数 f x 的极小值为 f (2) 16 12 24 5 15 ..................................13 分
16 题：（1）由 an 1 3an 2，得 an 1 1 3 an 1 ，............................3 分
a1 1 3...............................................................4 分
{#{QQABCQAAggiAApAAABgCAQHgCAOQkBGCAIoGwFAIsAABCBFABAA=}#}
故数列 an 1 是以3为首项，3为公比的等比数列；........................5 分
（2）由（1）可得 an 1 3
n a 3n，故 n 1，..............................7 分
n
b 3 1 1 1n
n n 1 2 3n 1 3n 1 1 ，.............................10 分3 1 3 1
S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1n
...12 分
2 31 1 32 1 2 32 1 33 1 2 3n 1 3n 1 1 4 2 3n 1 1
S 499 1 1 1 499由 ，即 ，即3n 1n n 1 1001，故 n 5..........14 分2000 4 2 3 1 2000
故 n的最大值为 5.......................................................15 分
17题 证明：（1） 平面 SAB 底面 ABCD，在矩形 ABCD中，BC AB .................1 分
平面 SAB 平面 ABCD AB， 所以 BC 平面 SAB .....................................2 分
又 AM 平面 SAB， BC AM ....................................................................3分
SA AB，M 是 SB的中点， AM SB ..........................................................4分
BC SB B， AM 平面 SBC .......................................................................5 分
MC 平面 SBC， AM MC .......................................................................6分
（2） 由（1）知 BC 平面 SAB， BC SA，
又 SA BD， SA 平面 ABCD .................................................................7 分
建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，C(3, 2,0)，M (0,1,1) ..........8 分
设平面 AMC 的一个法向量为 m (x, y, z)，则 AC (3, 2,0) ， AM (0,1,1)．
m
AC 3x 2y 0
则 ，取 x 2，则 y 3， z 3，
m AM y z 0
所以平面 AMC的一个法向量为m (2, 3,3) ........................................................10 分
AC 3，2，0
由 得面AMC的法向量可为m 2, 3,3 .....................................10 分
AM 0，1，1
易知面 ABCD的法向量为 n (0,0,1)，..................................................................11 分
cos m ,n m n 3 3 22则 2 2 2 22 ，.........................................14 分m n 2 ( 3) 3 1
所以平面 AMC与平面 ABCD 3 22的夹角的余弦值为 ．....................................15 分
22
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18 题：（Ⅰ）由题易知 c 2 ...................................................1 分
3 1
又 2 2 1且b
2 a2 c2 ..............................................2 分
a b
所以 a2 6,b2 2 .......................................................4分
2 2
所以椭圆M x y的方程为 1..........................................5分
6 2
3
（Ⅱ）设直线 AB的方程为 y x m， A x1, y1 ,B x2 , y2 ....................6 分3
x2 y2
1,
{ 6 2由 得2x2 2 3mx 3m2 6 0 ................................8 分
y 3 x m,
3
由 12m2 24 m2 2 0得 2 m 2，且m 0．........................9 分
2
x1 x2 3m，x1x
3m 6
2 ，...........................................10 分2
所以 AB (x 2 2 4 2 22 x1) (y2 y1) [(x1 x2 ) 4x1x2 ] 2 4 m ..........12分3
y 3
3 m
点 C 到直线 x m的距离 d ....................................13 分
3 2
ABC S 1 AB d 3 m 4 m2 3 m
2 (4 m2 )
的面积 3，.......15 分
2 2 2 2
当且仅当 m 4 m2 ，即m 2 时 “ ”成立...............................16 分
3
此时直线 AB的方程为 y x 2 .即为 x 3y 6 0．..................17 分
3
s t π
π π
19 题（1）举出反例即可取 ，则 sin
0,sin
π π
sin 2，因为 0 2，
2 2 2 2 2
故函数 y sin x不是“ 增函数”；..........................................3 分
（2）因为函数 y 2x 1 x a是“ 增函数”，故任意的 s， t (0, )，
有 2s t 1 (s t) a 2s 1 s a 2t 1 t a 恒成立，
{#{QQABCQAAggiAApAAABgCAQHgCAOQkBGCAIoGwFAIsAABCBFABAA=}#}
即 2s t 1 2s 1 2t 1 a恒成立 ，............................................5 分
1 s t
所以 (2 1)(2 1) 1 a恒成立，..........................................6 分
2 2
又 s， t (0, )，故 2s , 2t
1
(1, )，则 (2s 1)(2t 1) (0, )，............8 分
2
1
则 a 0，即 a 1 ；.....................................................9 分
2 2
a 2s 1 2t 1 2s t 1 G s ...............................................5 分
G ' s 2s 1 ln 2 2s t 1 ln 2 ln 2 (2s 1 2s 1 t ) 0 ...........................6 分
G s 在 0, 单增.........................................................7 分
1 1
故故G s G 0 20 1 2t 1 20 t 1 即G s , ....................8 分
2 2
1
所以a ...............................................................9 分
2
1
（3）记 g x ex ln x 1 ，......................................10 分 x 1
x
根据题意，得 g x0 e 0 ln x0 1
1
1，
x0 1
可得方程的一个解 x0 0，..................................................11 分
令 x g x ，
则 x ex ln(x 1)
2 1
，令 h(x) ln(x 1)
2 1
x 1 (x 1)2 x 1 (x 1)2
，
2
h (x) 1 2 2 x 1则 2 0， 故 h(x)在 (0, )上是严格增函数，x 1 (x 1) (x 1)3 (x 1)3
又因为 h(0) 1，故 h(x) 0在 (0, )恒成立，故 x 0，
故 y g (x)在 (0, )上是严格增函数，所以 x0 0是唯一解，
又 g 0 e0 ln1 0，此时在 x0 , g x0 处的切线方程即为 y x，故 x0 0成立..13 分
设w s g s t g s g t ，其中 s 0, t 0，
{#{QQABCQAAggiAApAAABgCAQHgCAOQkBGCAIoGwFAIsAABCBFABAA=}#}
w s g (s t) g (s)，由 y g (x)在 (0, )上是严格增函数以及 t 0，
得 g s t g s ，即w s g (s t) g (s) 0 ，..............................15 分
所以w s g(s t) g(s) g(t)在 (0, )上是严格增函数，......................16 分
因为 s 0，则w s w 0 g(0) 0 ,故 g(s t) g(s) g(t) ，即得证.............17 分
{#{QQABCQAAggiAApAAABgCAQHgCAOQkBGCAIoGwFAIsAABCBFABAA=}#}
