23-24学年第二学期高一年级学业绿色质量评价（一）数学试卷
(考试时间：120分钟 满分：150分)
命题教师：浦 健 审题教师：濮维灿
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 C A B D C A C D
二、多选题
题号 9 10 11 12
选项 BC ABD ABD AD
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共计 40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题
卡上.
1.已知平面向量a 2,0 ，b 1,1 ，且 ma b // a b ，则m （ ）
1 3
A．1 B．0 C． 1 D．
2
【答案】C
【详解】因为a 2,0 ，b 1,1 ，
所以ma b m 2,0 1,1 2m 1, 1 ，a b 2,0 1,1 1,1 ，
因为 ma b // a b ，所以 2m 1 1 1 1，解得m 1 .
故选：C
2.若 (1 i)z 3 i (i 为虚数单位)，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
3 i 3 i 1 i 3 3i i i2
【详解】因为 1 i z 3 i，所以 z 2 i，
1 i 1 i 1 i 2
所以复数 z 在复平面内对应的点为 2,1 ，位于第一象限.
故选：A
3.在 ABC中， AB c， AC b ，若点D满足BD 2DC，以 b,c 作为基底，则 AD等于（ ）
5 2 2 1
A． b c B． b c
3 3 3 3
2 1 1 2
C． b c D． b c
3 3 3 3
【答案】B
高一年级数学试卷 第 1 页 共 4 页
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【详解】
如图，因BD 2DC，则 AD AB 2(AC AD)，即 AD c 2(b AD)，
2 1
解得： AD b c .
3 3
故选：B.
4.在 ABC中， A 60 ， AC 4，BC 2 3 ，则角 B的值为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
【答案】D
【详解】 在 ABC中， A 60 ， AC b 4， BC a 2 3，
3
4
由正定理得： a b bsin A sin B 2 1，
sin A sin B a 2 3
π
由于B 0,π ，所以B
2
故选：D
5.若向量a与b 满足 (a b) a且 a 1， b 2，则向量a与b 的夹角为（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】C
【详解】由 (a b) a， a 1， b 2
2
，得 (a b) a 0，则a b a 1，
a b 1 2π
因此cos a,b ，而0 a,b π，则 a,b ，
| a || b | 2 3
2π
所以向量a与b 的夹角为 .
3
故选：C
6.已知向量a与b 的夹角为60 ，且a (1, 3)， b 1，则 a 3b （ ）
A． 7 B． 10 C．4 D．2 7
【答案】A
高一年级数学试卷 第 2 页 共 4 页
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1
【详解】由题意可得 a 12 ( 3)2 2 ，a b | a || b | cos a,b 2 1 1，
2
所以 | a 3b | (a 3b)2 a2 6a b 9b 2 4 6 1 9 1 7 ．
故选：A
7. “四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示， AB 2,CD 1, A 45 .点 P 在
线段 AB 与线段BL上运动，则EH FP的取值范围为（ ）
A． 4,6 B． 0,6 C． 0,8 D． 4,8
【答案】C
【详解】
如图，以C 为原点建立平面直角坐标系，
易知 A( 2,1), B 0,1 ，F(0, 1)，E( 1, 2), H 1,0 ， L 1,2
当 P 在线段 AB 上运动，设P(x,1)，其中 2 x 0，
所以 EH (2,2) ，FP x, 2 ，
则 EH FP 2x 4，
因为 2 x 0，所以EH FP 0,4 ，
当 P 在线段BL上运动，设P(x, y) 0 x 1 ，则BP x, y 1 , BL 1,1 ，且BP / /BL ,
则 x y 1，故P(x, x 1) 0 x 1 ，FP x, x 2 ，
则 EH FP 4x 4，
因为0 x 1，所以EH FP 4,8 ，综上，EH FP的取值范围为 0,8 .
故选：C.
3
8. 在 ABC中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 ABC的面积 S 2 2 2ABC 3 ，S ，则ABC a c b
4
AB BC （ ）
高一年级数学试卷 第 3 页 共 4 页
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A． 3 B． 3 C． 2 D． 2
【答案】D
【详解】
1
解： ABC的面积 S ABC 3 acsin B ，
2
acsinB 2 3 ，
3
S ABC a2 c2 b2 ，
4
3
则 a2 c2 b2
1
acsinB，
4 2
a2 c2 b2
3 3 cos B sinB，
2ac
sin B
tan B 3，
cos B
B 0,π ，
π 1 3
B ， cos B ，sin B ，
3 2 2
ac 4，
AB BC accos π B 2．
故选：D．
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5分，共计 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分，请把正确答案涂在答题卡上.
9.下列各组向量中，可以用来表示向量a (1,2)的是（ ）
A．e1 (0,0),e2 (3,5) B．e1 (1,1),e2 (1,2)
C．e1 (1,1),e2 (1,3) D．e 1 (1,2),e2 ( 2, 4)
【答案】BC
【详解】A：e1 (0,0)为零向量，基底不能含零向量，故不能表示a (1,2)，错；
B：a 0 e a (1,2)1 1 e2 ，故可以表示 ，对；
1 1
C：a e e ，故可以表示a (1,2)1 2 ，对；
2 2
1
D：e e ，基底不能共线，故不能表示a (1,2)1 2 ，错；
2
高一年级数学试卷 第 4 页 共 4 页
{#{QQABKQCEggAIAJJAARhCAQEwCgOQkAACCAoGAEAAoAABiANABAA=}#}
故选：BC
2
10. 已知 z1 ， z2 ， z3是方程 z i z 2z 4 0的三个互不相等的复数根，则（ ）
A． z1 可能为纯虚数
B． z1 ， z2 ， z3的虚部之积为 3
C． z1 z2 z3 6
D． z1 ， z2 ， z3的实部之和为 2
【答案】ABD
【详解】因为 z i z2 2z 4 0，其三个不同的复数根为： i，1 3i ，1 3i
当 z1 i 时，此时 z1 为纯虚数，故 A 正确；
因为三个根的虚部分别为 1， 3 ， 3 ，三个虚部乘积为 3，故 B 正确；
根据模长定义， z1 z2 z
2
3 1 1
2 ( 3)2 12 ( 3)2 5，故 C 不正确；
因为三个根的实部分别为 0，1，1，三个实部之和为 2，故 D 正确.
故选：ABD.
11. 已知 ABC的内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（ ）
A．若a 2b，B 30 ，则 ABC有一个解
B．若a 2b，B 30 ，则 ABC有两个解
C．若sin 2A sin 2B，则 ABC为等腰三角形
D．若sin A cosC，则 ABC为钝角三角形
【答案】ABD
【详解】对于 A，由正弦定理，sin A 2sin B 1，因为30 A 150 ，
因此 A 90 ，有唯一解，故 A 正确；
2
对于 B，由正弦定理，sin A 2 sin B ，因为30 A 150 ，
2
所以 A 45 或 A 135 ，有两解，故 B 正确；
对于 C，因为0 A 180 ,0 B 180 ，sin 2A sin 2B，
所以2A 2B或 2A 2B 180 ，即 A B 或 A B 90 ，因此为等腰或直角三角形，
故 C 错误；
高一年级数学试卷 第 5 页 共 4 页
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对于 D，当A 为钝角时， ABC为钝角三角形，
当A 为直角时，不满足条件，
当A 为锐角时，sin A cos(90 A) cosC ，因此90 A C ， A C 90 ，
因此 ABC为钝角三角形，故 D 正确.
故选：ABD.
12. 折扇是一种用竹木做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图 1），打开后形成以O为圆心
的两个扇形（如图 2），若 AOB 150 ，OA 2OC 2，点F 在 AB 上， BOF 120 ，点E 在CD上，
OE xOC yOD （ x , y R ），则（ ）
A．OE EF 的取值范围为 2,1 B．OE EF 的取值范围为 3,1
C．当OE EF 时， x y 1 3 D．当OE EF 时， x y 2 3
【答案】AD
2
OE EF OE OF OE OE OF OE OE OF 1 2cos EOF 1
【详解】对于 A， ，
2π 1
EOF 0, cos EOF 3
,1
2 因为 ．所以
2cos EOF 1 2,1
，所以 ，
OE EF 2,1
即 ，A正确；B错误；
对于 C，如图，当OE EF 时，可判断E 为 BF 中点，OF 2OE 2，
则 OFE AOF 30 ，OA∥BF ，作EM∥OB，则四边形OBEM 为平行四边形，
则OE OM OB，OM BE EF 3，所以OM 3OC ，OB 2OD，
所以OE OM OB 3OC 2OD ．所以 x y 2 3 ，C错误，D正确．
故选：AD．
高一年级数学试卷 第 6 页 共 4 页
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三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分.
13. 已知向量a (2,1)，b (1,k)，若a (2a b)，则 k .
【答案】 12
【详解】∵向量a (2,1)，b (1,k)，若a (2a b)，
∴ a (2a b) 2a2 a b 2 5 (2 k) 0，则 k 12，
故答案为： 12 .
14. 已知向量a (2,3)，b ( 1,2)，则a 在b 方向上的投影向量的坐标为 ．
4 8
【答案】 ,
5 5
a b b 2 1 3 2 4
【详解】 a 在b 方向上的投影向量为 b b ，
b b 5 5 5
4 4 8
所以投影向量的坐标为 1,2 , .
5 5 5
4 8
故答案为： ,
5 5
15. 设 z 是复数且 z 1 2i 1，则 z 的最小值为 .
【答案】 5 1
【详解】根据复数模的几何意义可知， z 1 2i 1表示复平面内以 1, 2 为圆心，1 为半径的圆，而 z
表示复数 z 到原点的距离，
2
由图可知， z 12 2 1 5 1 .
min
高一年级数学试卷 第 7 页 共 4 页
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故答案为： 5 1.
1
16.已知正三角形 ABC 边长为 2 ,点 D 在边 AC 上且 AD AC ,点 E 为边 AB 的中点, CE 与 BD 交于点O ,则
3
DOC 的余弦为
21
【答案】 cos DOC
14
四、解答题：本题共 6 小题，共计 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本题满分 10 分)
设复数 z1 1 ai a R , z2 3 4i．
(1)若 z1 z z z2 是实数，求 1 2 ；
z1
(2)若 是纯虚数，求 z1 ．
z2
【解】（1）
由 z 1 ai, z 3 4i，得 z1 z2 4 4 a1 2 i，而 z1 z2 是实数，
于是4 a 0，解得a 4，……………………………………2 分
所以 z1 z2 1 4i 3 4i 19 8i．……………………………………5 分
（2）
z 1 ai 1 ai 3 4i 3 4a 4 3a i1
依题意， 是纯虚数……………………………7 分
z2 3 4i 3 4i 3 4i 25
3 4a 0 3
因此 ，解得a ，……………………………9 分
4 3a 0 4
3
所以 z1 1 i．……………………………10 分
4
18. (本题满分 12 分)
在 ABC中，内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c .若 c 3 ,b 1,C 120 ,求：
(1)角 B；
(2) ABC的面积 S.
b c bsinC 1
【解】（1）由正弦定理 ，得 sin B ，……………………3 分
sin B sin C c 2
因为在 ABC中，b c且C 120 ，所以B 30 .……6 分（用大边对大角或交待 B 范围皆可，没说明
扣 1 分）
高一年级数学试卷 第 8 页 共 4 页
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（2）因为 A B C 180 ，
所以 A 180 120 30 30 .……………………………8 分
1 3
所以 S bc sin A .……………………………12 分
2 4
19. (本题满分 12 分)
在直角梯形 ABCD中，已知 AB / /CD, DAB 90 , AB 4, AD CD 2，对角线 AC 交 BD于点O，点M 在 AB
上，且满足OM BD．
(1)以 AB, AD为基底分别表示BD, AO；
(2)求 AM BD的值.
【解】（1） BD AD AB；……………………………2 分
1 1 1 2 1
AO AD DO AD DB AD BD AD (AD AB) AD AB .……………………………5 分
3 3 3 3 3
（2）在梯形 ABCD中，因为 AB / /CD， AB 2CD，
所以 AO 2OC ，
AM BD (AO OM ) BD AO BD OM BD AO BD ……………………………8 分
2
AC BD
3
22 2
(AD DC) (AD AB) (AD DC AB) ……………………………10 分
3 3
2 8
(4 2 4) .……………………………12 分（建系法，参考上述评分细则给分）
3 3
20. (本题满分 12 分)
已知 ABC的内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c，设向量m sin A,b c ，n sinC sin B,a b ，且
m∥n .
(1)求角 C；
高一年级数学试卷 第 9 页 共 4 页
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(2)若b 2 ， ABC的面积为 3 ，求 ABC的周长.
【解】（1）由向量平行的坐标公式，得 a b sin A b c sinC sin B 0，…………………1 分
由正弦定理，得 a b a b c c b 0，即 ab a2 b2 c2 ，…………………2 分
a2 b2 c2 1
由余弦定理，得cosC ，…………………3 分
2ab 2
2π
又C 0,π ，故C .……5 分（没说明角 C 范围，扣 1 分）
3
1 3
（2）由三角形面积公式，得 3 2a ，故a 2，……………….…7 分
2 2
1 2π π
所以 ABC为等腰三角形，所以 A B π .
2 3 6
将 a b 2代入（1）中所求 ab a2 b2 c2 ，则c2 12，
解得c 2 3（舍去）或c 2 3 ，……………….…11 分
所以 ABC的周长为2 2 2 3 4 2 3 .….…12 分
21. (本题满分 12 分)
某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点 A,C 之间的距离，如图，B 处为码
π π
头入口，D 处为码头，BD为通往码头的栈道，且BD 100m，在B 处测得 ABD , CBD ，在
4 6
2π 3π
D 处测得 BDC , ADC （ A, B,C, D 均处于同一测量的水平面内）
3 4
(1)求 A,C 两处景点之间的距离；
(2)栈道BD所在直线与 A,C 两处景点的连线是否垂直？请说明理由.
π 2π
【解】（1）由题意可知，在△BCD中， CBD , BDC , BD 100
6 3
2π π π
所以 BCD π ，所以△BCD为等腰三角形，
3 6 6
所以BD DC 100，…………………………………………..…2 分
π 2π 3π 7π 7π π π
在△ABD中， ABD , ADB 2 , BAD π ，BD 100，
4 3 4 12 12 4 6
高一年级数学试卷 第 10 页 共 4 页
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100 AD
BD AD
由正弦定理： ，即 1 2 ，解得 AD 100 2 ……………..…4 分
sin BAD sin ABD
2 2
3π
在 ACD中， AD 100 2, DC 100, ADC ，
4
AC (100 2)2
2
由余弦定理： 100
2 2 100 2 100 100 5 ………..…6 分
2
所以 A,C 两处景点之间的距离为100 5m
7π
（2）在△ABD中，因为 ADB ，
12
7π π π 2 1 2 3 2 6
cos ADB cos cos ………………..…8 分
12 4 3 2 2 2 2 4
DB AC DB DC DA DB DC DB DA ………………..…10 分
1 2 6
100 100 100 100 2
2 4
1 2 6
10000 2 5000 3 2 0
2 4
所以栈道BD所在直线与 A,C 两处景点的连线不垂直. ………………..…12 分
（建系法、延长BD交 AC 于点 E，解三角形 CDE，参考上述评分细则给分）
22. (本题满分 12 分)
2π
如图，在 ABC中， BAC ，点 P在边 BC上，且 AP AB, AP 2．
3
(1)若 PC 13 ，求 PB﹔
(2)求 ABC面积的最小值．
高一年级数学试卷 第 11 页 共 4 页
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2π π π
【解】（1）因为 AP 2, PC 13, CAP ，
3 2 6
所以在△ACP中由余弦定理可得PC2 AP2 AC2 2AP AC cos CAP ，
3
所以13 4 AC 2 4 AC ，解得 AC 3 3 ， …………..…1 分
2
2 13
PA PC 13
由正弦定理得 ，即 sin C 1 ，解得sin C ，………………..…3 分
sin C sin CAP 13
2
2 2 39所以cosC 1 sin C ，
13
5 13
sinB sin BAC C sin BACcosC cos BACsinC ，………………..…4 分
26
BC 3 3
BC AC
在三角形 ABC 中由正弦定理得： ，则 3 5 13 ，
sin BAC sin B
2 26
9 13 4 13
解得BC ，所以PB BC PC ；…………………………………..…6 分
5 5
π AP 2
（2）设 ABP ，则 ACB ，由于 AP 2 ，则BP ，…………..…7 分
3 sin sin
AP PC 1
PC=
在△ACP中由正弦定理得： π sin 30°，解得 π ，………………..…8 分
sin sin
3 3
过 A 点做 BC 的垂线，交 BC 于 M 点，设三角形的面积为 S，
π
则 PAM BAM ABM BAM ，所以 PAM ABM ，
2
所以 AM APcos 2cos ，
1 2 1 3 cos
所以 S AM BC cos cos ……………….…..…10 分
2 sin π π
sin sin sin
3 3
3 cos 3 3 8 3
cos
2
3 1 3 1 3
sin cos ABC sin2 tan tan2 1 3 3 即三角形 面积的最 tan
2 2 2 2 2 2 8
8 3
小值为 .………………..…12 分
3
高一年级数学试卷 第 12 页 共 4 页
{#{QQABKQCEggAIAJJAARhCAQEwCgOQkAACCAoGAEAAoAABiANABAA=}#}23-24学年第二学期高一年级学业绿色质量评价（一）数学试卷
(考试时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上.
1.已知平面向量，，且，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
2.若(i为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.在中，，，若点满足，以作为基底，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4.在中，，，，则角B的值为（ ）
A． B． C． D．
5.若向量与满足且，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6.已知向量与的夹角为，且，，则（ ）
A． B． C．4 D．
7. “四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8. 在中，内角的对边分别为，且的面积，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把正确答案涂在答题卡上.
9.下列各组向量中，可以用来表示向量的是（ ）
A． B．
C． D．
10. 已知，，是方程的三个互不相等的复数根，则（ ）
A．可能为纯虚数
B．，，的虚部之积为
C．
D．，，的实部之和为2
11. 已知的内角的对边分别为则下列说法正确的是（ ）
A．若，则有一个解
B．若，则有两个解
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为钝角三角形
12. 折扇是一种用竹木做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以为圆心的两个扇形（如图2），若，，点在上，，点在上，（,），则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．当时， D．当时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13. 已知向量，，若，则 .
14. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
15. 设是复数且，则的最小值为 .
16.已知正三角形边长为,点在边上且,点为边的中点,与交于点,则的余弦为
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本题满分10分)
设复数．
(1)若是实数，求；
(2)若是纯虚数，求．
18. (本题满分12分)
在中，内角的对边分别为.若,,,求：
(1)角B；
(2)的面积S.
19. (本题满分12分)
在直角梯形中，已知，对角线交于点，点在上，且满足．
(1)以为基底分别表示；
(2)求的值.
20. (本题满分12分)
已知的内角的对边分别为，设向量，，且.
(1)求角C；
(2)若，的面积为，求的周长.
21. (本题满分12分)
某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点之间的距离，如图，处为码头入口，处为码头，为通往码头的栈道，且，在处测得，在处测得（均处于同一测量的水平面内）
(1)求两处景点之间的距离；
(2)栈道所在直线与两处景点的连线是否垂直？请说明理由.
22. (本题满分12分)
如图，在中，，点P在边BC上，且．
(1)若，求PB﹔
(2)求面积的最小值．
