广东省深圳第二高级中学2022-2023学年高二下学期第五次段考数学试题（含解析）

2022-2023学年广东省深圳第二高级中学高二（下）第五次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）若复数，则（ ）
A． B． C． D．5
3．（5分）对变量x，y由观测数据得散点图1，对变量y，z由观测数据得散点图2．由这两个散点图可以判断（ ）
A．变量x与y负相关，x与z正相关
B．变量x与y负相关，x与z负相关
C．变量x与y正相关，x与z正相关
D．变量x与y正相关，x与z负相关
4．（5分）等差数列的前n项和记为，且，，则（ ）
A．70 B．90 C．100 D．120
5．（5分）点M在圆上，点，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（5分）的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B． C．30 D．
7．（5分）根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作圆D的切线与C的两支分别交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）在的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第6项和第7项的二项式系数相等
B．奇数项的二项式系数和为256
C．常数项为84
D．有理项有2项
（多选）10．（5分）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
（多选）11．（5分）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于两点，，点M在准线l上的射影为A，则（ ）
A．若，则
B．若点P的坐标为，则的最小值为4
C．
D．若直线过点且与抛物线C有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有2条
（多选）12．（5分）某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是（ ）
A．游客至多游览一个景点的概率为 B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上
13．（5分）已知随机变量X服从正态分布，且，则______．
14．（5分）甲、乙、丙、丁4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，且甲、乙两名同学不能安排到同1个小区，则不同的安排方法共有种______．
15．（5分）已知球O的半径为9，球心为O，球O被某平面所截得的截面为圆M，则以圆M为底面，O为顶点的圆锥的体积的最大值为______．
16．（5分）已知函数，对任意的，恒成立，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，，求△ABC的面积．
18．（12分）已知数列各项均为正数，且，．
（1）求的通项公式；
（2）记数列前n项的和为，求．
19．（12分）如图，△ABC中，，，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且．
（1）证明：BC⊥平面PBE；
（2）求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值．
20．（12分）网课是一种新兴的学习方式，它以互联网为平台，为学习者提供包含视频、图片、文字等多种形式的系列学习课程，由于具有方式多样，灵活便捷等优点，网课成为许多学生在假期实现自主学习的重要手段．为了调查A地区高中生一周网课学习的时间，随机抽取了500名上网课的学生，将他们一周上网课的时间（单位：小时）按[1，6），[6，11），[11，16），[16，21），[21，26]分组，得到频率分布直方图如图所示．
（1）求a的值，并估计这500名学生一周上网课时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）以频率估计概率，若在A地区所有上网课的高中生中任选4人，记一周上网课时间在[6，11）的人数为X，求X的分布列以及数学期望E（X）．
21．（12分）已知焦点在x轴上的椭圆，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，已知点，点A是椭圆的右顶点，直线l与椭圆C交于不同的两点E，F，E，F两点都在x轴上方，且．证明直线l过定点，并求出该定点坐标．
22．（12分）已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳第二高级中学高二（下）第五次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【分析】首先求出集合B，再由交集的定义计算即可．
【解答】解：因为，
所以，
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：，
则，
故．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3．【分析】根据已知条件，结合两个散点图，即可求解．
【解答】解：由图像可得，变量x与y负相关，y与z正相关，则x与z负相关．
故选：B．
【点评】本题主要考查变量间的相关关系，属于基础题．
4．【分析】根据等差数列前n项和的性质可得，，成等差数列，即可求得的值．
【解答】解：在等差数列中，，，成等差数列，
所以，
则，
即．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
5．【分析】可判断N在圆外，则，计算即可．
【解答】解：∵圆的圆心，半径为，
又，∴N在圆外，
．
故选：D．
【点评】本题考查圆的几何性质，直线与圆的位置关系，属基础题．
6．【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
【解答】解：的展开式通项为，
令，则的通项为，
令，解得，
故的系数为．
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于基础题．
7．【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
【解答】解：设刮东风为事件A，下雨为事件B，
则，，
故．
故选：D．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
8．【分析】设双曲线的方程为，设切点为A，过点作，垂足为B，可推出．进而在中，可求得，，根据双曲线的定义可得，在中，根据余弦定理可得，即可得出离心率．
【解答】解：如图，设双曲线的方程为，则，
设切线MN与圆D相切于点A，
过点作，垂足为B，则，
，，
又，F2B⊥MN，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，∴．
在中，由余弦定理可得：
，
，
∴，，
∴离心率．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，余弦定理的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解．
【解答】解：的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误；
由已知可得二项式系数之和为29，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，
所以奇数项的二项式系数和为，故B正确；
展开式的通项为，，令，解得．
故常数项为，故C正确；
有理项中x的指数为整数，故r=0，2，4，6，8，故有理项有5项，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于基础题．
10．【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可．
【解答】解：对于A．因为y=f'（x）＜0在区间（1，3）上成立，所以区间（1，3）是y=f（x）的单调递减区间，故A正确；
对于B．因为当－2＜x＜0时，f'（x）＞0，当x＜－2时，f'（x）＜0，所以y＝f（x）在（-∞，0）上不单调，故B错误；
对于C．因为当－2＜x＜1时，f'（x）＞0，当1＜x＜3时，f'（x）＜0，函数y＝f（x）在x＝1处取得极大值，故C正确；
对于D．因为当x＜－2时，f'（x）＜0，当-2＜x＜1时，f'（x）＞0，所以函数y＝f（x）在x＝－2处取得极小值，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
11．【分析】根据抛物线的弦长、定义、直线和抛物线的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
【解答】解：抛物线方程为，所以，，焦点F（1，0），准线方程．
A选项，若，则，A选项正确．
B选项，点P（2，1）在抛物线内，
根据抛物线的定义可知的最小值是P到准线的距离，
即最小值是，所以B选项错误．
C选项，设直线MN的方程为，
由消去x并化简得，
所以y1+y2=4m，，
则，，
所以，
所以C选项正确．
D选项，直线和直线都过（0，1），且与抛物线有一个公共点，
当过（0，1）的直线斜率存在时，设直线方程为，
由消去y并化简得，
由，解得，
所以直线与抛物线有一个公共点，
所以满足条件的直线有3条，D选项错误．
故选：AC．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，求解直线和抛物线位置关系有关问题，可设出直线的方程，然后将直线方程和抛物线方程联立，化简后写出根与系数关系、判别式等等，再结合抛物线的定义来对问题进行求解．
12．【分析】利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率和来判断A；由题意得随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，求出数学期望，来判断BCD．
【解答】解：记该游客游览i个景点为事件Ai，i=0，1，2，3，4，
则，
，
所以游客至多游览一个景点的概率为，故A错误；
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4．
，，
，故B正确；
，
，故C错误；
数学期望为，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了互斥事件的概率乘法以及离散型随机变量的期望与方差，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上
13．【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
【解答】解：因为，所以，
因此．
故答案为：0.18．
【点评】本题考查正态分布的应用，属于基础题．
14．【分析】利用间接法：先把学生安排出去，再排除甲、乙两名同学安排到同1个小区的情况，结合捆绑法运算求解．
【解答】解：根据题意：若每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，共有种安排方法，
若甲、乙两名同学安排到同1个小区，共有种安排方法，
所以共有种安排方法．
故答案为：30．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
15．【分析】利用勾股定理找出r与h的关系式，根据圆锥的体积公式，构造函数f（h），利用导数判断函数的单调性，从而求出圆锥的体积的最大值．
【解答】解：设圆M的半径为r，圆锥的高为h，则．
圆锥的体积，
令函数，
则．
当时，，时，，
所以f（h）在单调递增，在单调递减．
所以，所以圆锥的体积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的体积的最值的求解，函数建模，导数的应用，函数思想，属中档题．
16．【分析】当时，f（x）＜0不符合题意，当a＞0时，问题转化为，设，根据函数的单调性问题转化为，设，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵，
∴当时，f（x）＜0不符合题意，
当a＞0时，则，即，
设，则恒成立，
故g（x）在（1，+∞）上单调递增，
∵x＞1，a＞0，∴eax＞1，
∵，即，
∴，∴，∴，
设，则，
由h'（x）＞0，得0＜x＜e，由h'（x）＜0，得x＞e，
则h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
故，
即a的取值范围是，
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【分析】（1）化简已知等式可得，利用余弦定理可求，结合范围，可求A的值．
（2）由正弦定理可求，进而由余弦定理可得b，c的值，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）因为，可得，
所以，
又，
所以．
（2）因为，
所以可得，
又，
由余弦定理可得，可得，
解得，，
所以．
【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法求出数列的和．
【解答】解：（1）数列各项均为正数，且，，
整理得，
化简得：（常数），
所以数列的通项公式为，（首项符合通项）；
故．
（2）由（1）得：，
所以．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
19．【分析】（1）由E，F分别为AB，AC边的中点，可得，由已知结合线面垂直的判定可得EF⊥平面PBE，从而得到BC⊥平面PBE；
（2）取BE的中点O，连接PO，由已知证明PO⊥平面BCFE，过O作交CF于M，分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCF与平面PBE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC边的中点，∴，
∵∠ABC＝90°，∴EF⊥BE，EF⊥PE，
又∵BE∩PE＝E，∴EF⊥平面PBE，
∴BC⊥平面PBE；
（2）解：取BE的中点O，连接PO，
由（1）知BC⊥平面PBE，BC 平面BCFE，
∴平面PBE⊥平面BCFE，
∵，∴PO⊥BE，
又∵PO 平面PBE，平面PBE∩平面，
∴PO⊥平面BCFE，
过O作交CF于M，分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，．
，，
设平面PCF的法向量为，
由，取，得，
由图可知=（0，1，0）为平面PBE的一个法向量，
∴，
∴平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．
20．【分析】（1）结合频率分布直方图的性质，求出a，再结合平均数公式，即可求解．
（2）由题意可得，，X所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得，，解得．
这500名学生上网课时间的平均数为．
（2）由题意可得，，X所有可能取值为0，1，2，3，4，
故，，
，，，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
故．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
21．【分析】（1）利用已知建立方程组，联立即可求解；
（2）设出直线l的方程，并与椭圆方程联立，又由已知推出，然后利用韦达定理以及直线的斜率公式化简即可证明．
【解答】解：（1）由已知可得，解得，，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）证明：当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆交于不同的两点分布在x轴两侧，不符合题意，
所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，，
联立方程，消去y可得，
所以，，因为，
所以，即，
整理可得，所以，
所以直线l的方程为，
所以直线l过定点（6，0）．
【点评】本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，涉及到证明直线过定点的问题，考查了学生的逻辑推理能力以及运算能力，属于中档题．
22．【分析】（1）由题可求导函数，利用导数求出函数的单调区间，进而再求出极值即可．
（2）令，求导函数，分和a＞0两种情况，分析导函数的符号，求得g（x）的最值，继而可得答案．
【解答】解：（1）当，，，
令，解得，
则当，，单调递减，
当，，单调递增，
故的极小值为，无极大值．
（2）由题意可得，x＞0，
令，则，
当时，，，
则x＞1时，，不合题意；
当a＞0时，设，，，，
所以存在，．
因为，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以当，；当，，
则当，；当，，
则）在单调递减，在单调递增，
所以，
因为，所以，即，
故，解得．
综上所述，实数a的取值范围．
【点评】本题考查对于利用导数研究函数的综合问题的求解，属于难题．