(共27张PPT)
19.2.2.2一次函数
人教版八年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教学目标
1.会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象理解一次函数的增减性；2.能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题．
新知导入
1. 什么是一次函数？
一般地，形如 y = kx+b (k、b是常数，k ≠ 0) 的函数，叫做一次函数.
2. 描点法画函数图象一般步骤是什么？
列表、描点、连线.
新知导入
正比例函数
解析式 y =kx（k≠0）
性质：k＞0，y 随x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小．
图象：经过原点和(1，k)的一条直线
k＞0
k＜0
一次函数
解析式 y =kx+b（k≠0）
图象：经过原点和(1，k)的一条直线
k＞0
k＜0
性质：k＞0，y 随x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小．
新知讲解
画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象.
解：函数y=-6x ，y=-6x-5 中，自变量 x 可以是任意实数.列表表示几组对应值.
新知讲解
描点：描出表中列出的几组对应点；
连线：画出函数 y=-6x+5 ，y=-6x 的图象.
y
x
y=-6x+5
y=-6x
-1
新知讲解
思考
比较上面两个函数的图象的相同点和不同点，填出你的观察结果：
（1）这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜的程度 ；
（2）函数y=-6x的图象经过原点，函数y=-6x+5的图象与y轴交于点 ，即它可以看作是由直线y=-6x向 平移 个单位长度得到的；
直线
相同
（0,5）
上
5
新知讲解
比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？考虑一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是什么形状，它与直线y=kx (k≠0)有什么关系？
一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象是一条直线，我们称它为直线
y = kx + b .
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以由直线y=kx平移 个单位长度得到
(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移).
典例精析
例、 画出函数 y=2x-1 与 y=-0.5x+1 的图象.
x 0 1
y=2x-1 -1 1
y=-0.5x+1 1 0.5
解：列表表示当 x=0，x=1 时两个函数的对应值.
y=-0.5x+1
过点(0,-1)与点(1,1)画出直线 y=2x-1；
过点(0,1)与点(1,0.5)画出直线 y=-0.5x+1.
两点法画一次函数图象.
y=2x-1
你还有其他画法吗？
典例精析
先画直线 y = 2x 与 y = -0.5x，再分别平移它们，也能得到直线 y = 2x-1 与 y = -0.5x + 1.
- 1
y = 2x
y = -0.5x
+ 1
新知讲解
画出函数y=x +1，y=-x +1，y=2x +1，y=-2x+1的图象. 由它们联想：一次函数解析式y=kx+b（k，b是常数，k≠0）中，k 的正负对函数图象有什么影响？
x 0 1
y = x + 1
y = -x + 1
y = 2x + 1
y = -2x + 1
y = x + 1
y = -x + 1
y = 2x + 1
y = -2x + 1
1
2
1
0
1
3
1
-1
归纳总结
y = x + 1
y = -x + 1
y = 2x + 1
y = -2x + 1
观察一次函数图象，你能发现什么规律？
当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大；
当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A． B．4 C． D．1
2.在平面直角坐标系中，将直线：平移后得到直线：，则下列平移作法中，正确的是（ ）
A．将直线向上平移6个单位 B．将直线向上平移3个单位
C．将直线向上平移2个单位 D．将直线向上平移4个单位
A
A
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.直线y=6x-5向上平移3个单位，则平移后的直线与y轴的交点坐标是_______.
4.函数y=kx-4的图象平行于直线y=-2x，则k=_____.
5.把直线y=2x-3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得直线的解析式为_____________.
(0,-2)
-2
y=2x-4
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.已知一次函数y=2x-4.
(1)画出它的图象;
(2)写出函数图象与x轴、y轴交点的坐标;
(3)求这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积.
解:(1)如右图；
(2)与x轴、y轴交点坐标分别是A(2，0)、B(0，-4)；
(3) A(2，0)、B(0，-4)
∴OA=2，OB=4
∴S△OAB=×2×4=4.
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，直线 与 轴相交于点 ，
与 轴相交于点 .
（1）求 ， 两点的坐标；
解：由 ,得 ，即 .
由 ,得 ，解得 ，即 .
课堂练习
【综合拓展类作业】
（2）过点 作直线与 轴交于点 ，若
的面积为 ，试求点 的坐标.
解：由 ，得 .设 ，则 .
,
解得 或 ，
点 的坐标为 或 .
课堂总结
一次函数
解析式
y = kx + b（k，b是常数，k ≠ 0）
图象的位置
当 k > 0，b > 0 时，图象经过一、二、三象限
当 k > 0，b < 0 时，图象经过一、三、四象限
当 k < 0，b > 0 时，图象经过一、二、四象限
当 k < 0，b < 0 时，图象经过二、三、四象限
性质
当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小.
板书设计
一次函数的性质
当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.已知正比例函数 的函数值 随 的增大而减小，
则一次函数 的大致图象是( )
2.关于一次函数 的图象和性质，下列叙述正确的是( )
A. 随 的增大而增大 B.与 轴交于点
C.与 轴交于点 D.函数图象不经过第一象限
B
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
D
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.在平面直角坐标系中，函数 的
图象如图所示，则 ___0.（填“ ”“ ”
或“ ”号）
4.若一次函数 的图象不经过第三象限，
则 的取值范围是_ ___________.
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
5.已知关于 x 的一次函数 y = （2m+4）x+（3-n）.
（1）当 m，n 取何值时，y 随 x 的增大而减小？
（2）当 m，n 取何值时，图象经过第一、二、三象限？
解：（1）由题意，得 2m + 4 < 0，3-n 是任意实数，
所以 m < -2，n 是任意实数.
（2）由题意，得 2m + 4 > 0，3-n > 0，
所以 m > -2，n < 3.
作业布置
【综合拓展类作业】
6.如图，函数 y = kx + 1 的图象经过点 A（3，-3），且与 x 轴相交于点 B，O 为坐标原点，连接 OA.
（1）求点 B 的坐标；（2）求△OAB 的面积.
解：（1）因为函数 y=kx +1的图象
经过点A（3，-3)，所以 3k+1 =-3，
解得 k =. 所以 y =x + 1. 令 y = 0，
则x + 1 = 0，解得 x =，
因此点 B 的坐标为（，0）
作业布置
【综合拓展类作业】
6.如图，函数 y = kx + 1 的图象经过点 A（3，-3），且与 x 轴相交于点 B，O 为坐标原点，连接 OA.
（1）求点 B 的坐标；（2）求△OAB 的面积.
（2）△OAB 的面积 =.
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《19.2.2.2一次函数》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的教学内容是一次函数的图象和性质．一次函数的图象和性质是正比例函数图象与性质的推广，在许多方面与正比例函数的图象与性质有紧密联系．学本节课之前，学生已学习了变量与函数及一次函数的概念，会用两点法画出正比例函数的图象，为本节课学习一次函数的性质与图象做了铺垫，也是继续学习反比例函数、二次函数的图象和性质的重要基础．
学习者分析 学生在学习函数图象，正比例函数图象及性质的研究内容和研究方法已经有了一定的了解，会用描点法画函数图象；知道从形状和y随x增大如何变化上描述函数的图像和性质；知道可以从图象，列表，解析式三个角度研究函数性质；具有一定的数形结合思想，知道图象“从左到右的变化”对应“函数随自变量的增大的变化”。
教学目标 1.会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象理解一次函数的增减性； 2.能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题．
教学重点 用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括一次函数的性质．
教学难点 理解一次函数的增减性．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 1. 什么是一次函数？ 2. 描点法画函数图象一般步骤是什么？ 学生活动1： 通过问题的形式引导学生，为学习新知识打下基础.活动意图说明：温故知新，为抓住本节重点、突破难点做知识储备．为本课的学习提供迁移或类比方法．环节二：新知探究教师活动2： 画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象. 解：函数y=-6x ，y=-6x-5 中，自变量 x 可以是任意实数.列表表示几组对应值. 描点：描出表中列出的几组对应点； 连线：画出函数 y=-6x+5 ，y=-6x 的图象. 比较上面两个函数的图象的相同点和不同点，填出你的观察结果： （1）这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜的程度 ； （2）函数y=-6x的图象经过原点，函数y=-6x+5的图象与y轴交于点 ，即它可以看作是由直线y=-6x向 平移 个单位长度得到的； 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？考虑一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是什么形状，它与直线y=kx (k≠0)有什么关系？ 一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象是一条直线，我们称它为直线y = kx + b . 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以由直线y=kx平移 个单位长度得到 (当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移).学生活动2： 学生观察、思考、小组讨论，最后在老师的引导下完成解答过程．活动意图说明：通过本环节的探究过程，让学生体会到从图象中总结出一次函数的性质的过程，有利于帮助学生理解一次函数的性质．环节三：典例精析教师活动3： 例、 画出函数 y=2x-1 与 y=-0.5x+1 的图象. 解：列表表示当 x=0，x=1 时两个函数的对应值. 过点(0,-1)与点(1,1)画出直线 y=2x-1； 过点(0,1)与点(1,0.5)画出直线 y=-0.5x+1. 你还有其他画法吗？ 先画直线 y = 2x 与 y = -0.5x，再分别平移它们，也能得到直线 y = 2x-1 与 y = -0.5x + 1. 学生活动3： 学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法活动意图说明：通过例题讲解引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点．环节四：新知讲解教师活动4： 画出函数y=x +1，y=-x +1，y=2x +1，y=-2x+1的图象. 由它们联想：一次函数解析式y=kx+b（k，b是常数，k≠0）中，k 的正负对函数图象有什么影响？ 观察一次函数图象，你能发现什么规律？ 当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小.学生活动4： 引导学生发现两直线的位置关系，并归纳一次函数的图象平移的规律．活动意图说明：通过探究，使所学知识得到应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．
板书设计 一次函数的性质 当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大. 当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ） A． B．4 C． D．1 2.在平面直角坐标系中，将直线：平移后得到直线：，则下列平移作法中，正确的是（ ） A．将直线向上平移6个单位 B．将直线向上平移3个单位 C．将直线向上平移2个单位 D．将直线向上平移4个单位 3.直线y=6x-5向上平移3个单位，则平移后的直线与y轴的交点坐标是_______. 4.函数y=kx-4的图象平行于直线y=-2x，则k=_____. 5.把直线y=2x-3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得直线的解析式为_____________. 选做题： 6.已知一次函数y=2x-4. (1)画出它的图象; (2)写出函数图象与x轴、y轴交点的坐标; (3)求这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积. 【综合拓展类作业】 7.如图，直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 . （1）求 ， 两点的坐标； （2）过点 作直线与 轴交于点 ，若 的面积为 ，试求点的坐标.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知正比例函数 的函数值 随 的增大而减小， 则一次函数 的大致图象是( ) 2.关于一次函数 的图象和性质，下列叙述正确的是( ) A. 随 的增大而增大 B.与 轴交于点 C.与 轴交于点 D.函数图象不经过第一象限 3.在平面直角坐标系中，函数 的图象如图所示，则 ___0.（填“ ”“ ”或“ ”号） 4.若一次函数 的图象不经过第三象限，则的取值范围是_ ___________. 选做题 5.已知关于 x 的一次函数 y = （2m+4）x+（3-n）. （1）当 m，n 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ （2）当 m，n 取何值时，图象经过第一、二、三象限？ 【综合拓展类作业】 6.如图，函数 y = kx + 1 的图象经过点 A（3，-3），且与 x 轴相交于点 B，O 为坐标原点，连接 OA. （1）求点 B 的坐标；（2）求△OAB 的面积.
教学反思 这节课借助信息技术和有效的课堂导入让课堂后续教学顺利开展，快速将学生代入到课堂中，唤醒学生的学习意识，启发学生的思维，培育学生的兴趣。所以，在初中数学课堂中，教师可以运用生动、幽默的语言集中学生注意力，运用信息技术，有助于培养学生的数学思维能力，从特殊问题到一般规律，逐步通过自己的发现、探究去思考数学、学习数学。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册19章
课标要求 1．探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。6.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。7.能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0).探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。8.体会一次函数与二元一次方程的关系。9.能用一次函数解决简单实际问题。
内容分析 函数的概念是数学中极为重要的基本概念，是“数与代数”中的重要内容，它的抽象性较强，是初二学生比较难理解和掌握的概念之一.一次函数是在学完平面直角坐标系的基础上学习的，学生对数形结合法有了一定的认识，它为本章的学习做了铺垫.一次函数是初中学生将要学习的各类函数中最简单的一种函数，它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式，因此学好一次函数是学好其他函数的基础.研究一次函数离不开对图象特征的研究.数形结合是学习一次函数时必须体现的一种重要思想.要通过设置较多实际问题的一次函数图象，让学生观察、自己描点画图、研究变量的变化规律，探讨函数中的数与形的对应关系，逐步形成解决一次函数问题的技能. 由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用，因此，在具体的教学过程中，可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解，促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成，加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用，也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题.
学情分析 八年级的学生正处于生长发育快速期，在课堂上表现为活泼好动，注意力容易分散，自我控制能力较弱，由于身体发展的因素，力量性不强，可塑性大，好胜心强，勇于克服困难，能够在解决问题的过程中，学会独立思考、合作探究，形成批判质疑、克服困难、勇于担当的科学精神，具备一定的创新意识。
单元目标 （一）教学目标1.以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是现实世界中变化规律的重要数学模型.2.结合实例，了解常量、变量的意义和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能结合图象数形结合地分析简单的函数关系.3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值.4.结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义，能根据已知条件确定它们的表达式，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的增减变化，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.（二）教学重点、难点教学重点：一次函数(包括正比例函数)教学难点:综合运用一次函数的知识解较复杂的实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数19.1 函数419.2一次函数619.3课题学习—选择方案1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务19.1函数1.了解常量、变量的概念,体验在一个过程中常量与变量相对地存在.2.通过实例，了解函数的概念.3.了解函数的三种表示法:4.会在简单情况下，根据函数的表达式求函数的值.1.会在简单的过程中辨别常量和变量2.能够在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置,以及由点的位置写出它的坐标.3.能够根据函数表达式,已知自变量的值,求相应的函数值：或已知函数值,求相应自变量的值.4.会在简单情况下求一些函数自变量的取值范围任务1.情景导入，用生活的例子初步探究常量与变量任务2.了解函数的三种表示方法，理解函数值的概念，使学生根据函数的表达式求函数的值任务3.例题精讲，列简单实际问题中的函数表达式，求一些函数自变量的取值范围.19.2一次函数1.理解正比例函数、一次函数的概念.2.会用待定系数法求一次函数的表达式，掌握待定系数法的一般步骤.3.利用函数图象了解一次函数的性质4.会综合运用一次函数的表达式，函数图象以及结合方程(组)等其他数学模型，解决实际问题.1.能够用待定系数法求一次函数的表达式2.会求一次函数的图象与坐标轴的交点3.能够利用一次函数的图象和性质解决简单实际问题.4.能够综合运用一次函数的表达式和图象解决简单实际问题任务1：复习导入，回顾函数的相关概念 任务2.探究新知，比较各函数的共同特征，理解正比例函数、一次函数的概念并求解析式任务3.合作学习，利用一次函数的图象探究一次函数的性质任务4.例题精讲19.3课题学习—选择方案1．会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想；2．能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法；3．能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法．学生能从不同的角度思考问题，解决问题任务1.导入新课任务2.出示例题任务3.总结归纳
《19章一次函数》单元教学设计
活动1：通过生活中的实例引入课题
活动3：思考两个量之间的关系
19.1.1变量与函数 (第1课时)
一次函数
活动2：出示问题引出常量与变量
活动4：出示例题
活动1：引入课题
活动2：思考问题，引出自变量，函数值等概念
19.1.1变量与函数(第2课时)
活动3：例题
活动1：复习引入
活动2：探究函数图象的画法
19.1.2函数的图象(第1课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：探究函数的三种表示方式
19.1..2函数的图象(第2课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：出示问题，写出关系式归纳正比例函数的概念
19.2..1正比例函数(第1课时)
活动3：例题
一次函数
活动1：复习引入课题
活动2：学生动手画正比例函数图象并归纳性质
19.2.1正比例函数 (第2课时)
活动3：探究正比例函数的简单画法
活动4：出示例题
活动1：引入课题
活动2：出示问题归纳一次函数的概念
19.2.2一次函数(第1课时)
活动3：例题
活动1：由生活实例引入课题
19.2.2一次函数(第2课时)
活动2：探究一次函数图象的画法并归纳其性质
活动3：例题
活动1：引入课题
19.2.2一次函数(第3课时)
活动2：探究求一次函数解析式的方法
活动3：例题
一次函数
活动1：引入课题
活动2：探究一次函数与方程与不等式的关系
活动3：例题
19.2.3一次函数与方程、不等式
活动2：出示问题，思考如何选择最合适
活动1：引入课题
活动3：例题
19.3课题学习-选择方案
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