向量加法的教案(河南省南阳市桐柏县)
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文档简介
北师大版《普通高中数学课程标准实验教材数学(必修4)》
§2 从位移的合成到向量的加法
2.1 向量的加法
授课教师：桐柏县第三高级中学 付园
教材：普通高中课程标准实验教科书（必修4）（北师大版）
1． 教学目标
知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；
掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．
能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
情感目标：经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、创新的个性品质．
二．重点难点
重点：向量加法运算的意义和法则．
难点：向量加法法则的理解．
三．教学方法
采用“启发探究”式教学方法，结合多媒体辅助教学．
四．教学过程
Ⅰ．创设情境 直观感知
以杭州湾大桥为整体背景，设计两个问题情境如下：
问题１：建桥之前如何从嘉兴到达宁波？建桥之后可以从嘉兴直达宁波，此时的位移与前面两次位移的结果有何关系？两次位移的结果可称为两次位移的和，如何用等式来刻画这三个位移的关系？
问题2：这是大桥南端的A型独塔斜拉桥，其中两根拉索对塔柱的拉力分别为、，则它们对塔柱的共同作用效果如何？合力可称为力与的和，如何用等式来刻画这三个力的关系？
力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量．它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——向量的加法（引出课题）
Ⅱ．抽象概括 形成定义
（一）建立数学模型
若记则向量叫做向量与的和，记为 ．
问题3：如图所示的三个向量，你们能给出它们所满足的等式吗？—— ，即向量为向量与的和
（二）抽象数学概念
问题4：由此，你们能概括出一般的两个向量与和的定义吗？
学生活动：在平面内任取一点O，平移使其起点为点O，平移使其起点与向量的终点重合，再连接向量的起点与向量的终点．
（1）平移的目的是什么？——平移后使得两个向量能在同一个三角形中；
（2）平移后两个向量的终点与起点有何关系？——使得第二个向量的终点与第一个向量的起点重合；
（3）和向量又是什么？——连接向量的起点与向量的终点，并指向的终点，得到的向量即为向量与的和；
（4）借助于几何直观，用自然简洁的语言给出两个向量和的定义 ．
和的定义：已知向量，在平面内任取一点O，作，则向量叫做向量的和．记作：．即．
向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．
向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
问题5：用三角形法则求向量和的过程中要注意什么？——平移两个向量使它们首尾顺次相连．
问题6：还可以用什么方法求两个向量的和呢？——向量加法的平行四边形法则．
问题7：平行四边形法则有何特点？——平移两个向量至共起点．
两种方法求和的结果是一样的，可见，向量加法的三角形法则与平行四边形法则在本质上是一致的．在具体求和时，应根据情况灵活地选择．
（三）尝试运用法则
试一试：如图，已知、，作出
向量加法的三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性．
Ⅲ．类比猜想 探究性质
问题8：加法其实我们并不陌生，从小就开始学习数、字母、式的加法，实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什么？
实数的加法 向量的加法
性质
交换律的验证让学生通过画图自己验证，结合律的验证师生借助于多媒体共同完成．
研究结果表明：向量的加法也满足交换律和结合律，这与数的加法是一致的．有了交换律与结合律，向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行，从而丰富了向量加法的内涵．
Ⅳ．数学运用 深化认识
例1．如图，O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，作出下列向量：
（1） （2） （3）
（4） （5）
推广1：
推广2：
并以北京08奥运圣火的传递提供了现实原型．
最后我们再回到这座宏伟壮观的大桥来解决这样一个实际问题：
例2．已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以12.5km/h的速度向东流，现有一艘工作艇，在海面上航行检查桥墩的状况，已知艇的速度是25km/h，若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，则艇的航向如何确定？
分析：首先将实际问题数学化，把三个速度分别用向量来表示：如图，设表示水流速度，表示游艇的速度，那谁是游艇的实际速度？，三个向量应满足什么关系？．
解：如图，设表示水流速度，表示游艇的速度，表示游艇的实际速度，因为，所以四边形为平行四边形．
在中，
， ，
所以
答 若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，其航向应为北偏西．
Ⅴ．回顾反思 拓展延伸
一、课时小结：
1、同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？
知识内容：向量加法的定义、二个运算法则以及二个运算律．
留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？
本节课我们从物理原型抽象出数学模型，在此基础上去研究数学模型，最后应用到生活实践中去．再一次告诉我们，数学源于生活，又服务于生活．
2、马克思说过：一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步． 我们今天所学习的向量的加法为研究物理的相关问题提供了一种数学工具，随着对向量研究的逐步深入，向量作为一种新的数学工具被越来越广泛的应用．
二、拓展延伸：
（1）作业：P79 习题2．2的1，2，3
（2）拓展探究：请同学们课后完成下面的拓展探究题：向量和的模与模的和之间有什么关系？（是任意两个向量，则与之间有什么关系？ 并根据自己感兴趣的话题进行拓展探究．
关于“向量的加法教案”的说明
数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态．这是新课程理念中特别强调的，也是我备课过程始终如一的追求．
说明一：关于目标定位
向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一种工具．其工具作用主要体现在向量的运算方面．向量的加法运算是向量运算的基础，它以位移的合成、力的合成等物理模型为背景抽象出的一种数学运算．在《课程标准》中，对平面向量运算的总的要求是：了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，发展运算能力． 对本节内容的具体要求是通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义．根据课标的要求结合学生的认知特点，确定了本节课的多元化教学目标（详见教案）．
说明二：关于地位作用
向量的加法不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则––––图上作业法，是一种全新的数学技术，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破．但在“新”中又有“旧”，一方面，在物理中学生已经学习了力、位移等矢量的合成，并且通过上节课的学习，学生已掌握了向量的相关概念及表示方法，知道向量可以自由移动的；另一方面，数的加法运算为向量的加法运算提供了可类比的对象，这些都是学习本节内容的基础．
向量的加法运算是继实数运算、集合运算之后，学生学习的另一种形式的运算，是学习向量的减法、数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，为进一步理解其他的数学运算（如函数、映射、变换、矩阵的运算等等）创造了条件，起着承上启下的作用，并加强了代数、几何、三角的联系，体现了近现代数学的一些重要思想．同时，向量还是重要的物理模型，体现了数学与物理的完美结合，为解决实际问题提供了有效的工具．
说明三：关于学情诊断
本节内容总体来说比较简单，学生理解接受的难度也不大．因为学生在物理中已经认识了矢量与标量的区别，在生活中对位移与路程也有了一定的体验．所以对数学中向量与数量的概念是比较容易理解接受的．并能够从物理的矢量合成中去感受向量的加法的含义，总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法则．通过与数的加法的类比，学生也能够较容易的猜想出向量加法的交换律与结合律．
但是由于学生对向量的理解还没有根深蒂固，会有部分学生忽略零向量与数零的区别，以及向量的表示不是很规范．有些学生对向量加法法则的运用还停留机械模仿的水平，表现在平移向量时，不能够根据情况灵活地选择起点．对交换律与结合律的验证，学生也存在一定的误区，在具体操作过程中，他们往往不能在同一个图形中来研究这个问题，这就给说明两个向量的相等带来了困难．对向量式的化简过程中，对交换律、结合律运用不够灵活，不善于抓住向量式的特点来解决问题．这些都需要教师在课堂教学过程中具备灵活的教学机智，给学生以适时的点拨与提醒．
说明四：关于教法设计
基于以上对教材内容的认识和学生客观情况的分析，结合新课标的教学理念，本课主要采用“启发探究式”教学法， 遵循由具体到抽象、由特殊到一般的原则．并结合多媒体手段，为学生营造一个充满着观察、发现、归纳、猜想的可“再创造”环境，使其能够充分实现自主探究、合作交流，生动活泼地获取知识．具体表现为如下几个方面：
（1）讲背景、重过程、强调本质
本课开始从学生已有的生活经验和物理知识出发，以杭州湾大桥为背景创设问题情境，从而让学生在位移合成、力的合成的基础之上，抽象出向量加法的概念，进而引导学生总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及各自的操作方法与要领，使学生体会到向量加法的实际背景，经历了概念形成的过程，领悟到数学概念的本质，体现了“数学教学是数学思维活动的过程教学”．
（2）讲方法、重能力、渗透思想
向量加法运算律的教学，是引导学生通过与数的加法进行类比得到的，并让学生自主探索，构图进行验证．这样不仅体现了学生的主体地位，同时还培养了学生科学的探究能力，归纳推理能力，渗透了数形结合、类比等思想．
（3）设计问题、加强联系、关注学生的发展
教学中采用了“以问题为中心”的讨论式教学模式．把问题作为教学的出发点，精心设计问题情境，组织相关的数学成分，加强相关内容的联系，使问题处于学生思维的最近发展区，以此激发学生的好奇心与求知欲．并能够较好地培养学生数学地发现问题、提出问题、解决问题的能力．
总体来说，本课围绕学生的发展进行教学设计，使问题贯穿始终，思想贯穿始终，探究贯穿始终，联系，发展贯穿始终．学生在老师的启发下发现当前所面临的问题，成为探究活动的主线，沿着这条主线带领学生找区别、找联系．关注学生的成长发展的全过程，使他们在过程中形成能力，在过程中掌握方法，在过程中发展基本数学能力，在过程中培养健康向上的情感、态度和价值观．
通过本节课教学，可使不同层次的学生都能掌握给定任意两个向量求和的基本方法，能够视具体情况灵活地作出两个或者多个向量的和；能运用向量加法的交换律和结合律解决向量式的化简和计算问题；并能运用向量的加法法则解决了一些实际问题．
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F
1
F
O
b
a
b
a
a
b
b
a
斜拉桥示意图
塔柱
斜拉索
斜拉桥示意图
塔柱
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梁
斜拉桥示意图
塔柱
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§2 从位移的合成到向量的加法
2.1 向量的加法
授课教师：桐柏县第三高级中学 付园
教材：普通高中课程标准实验教科书（必修4）（北师大版）
1． 教学目标
知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；
掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．
能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
情感目标：经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、创新的个性品质．
二．重点难点
重点：向量加法运算的意义和法则．
难点：向量加法法则的理解．
三．教学方法
采用“启发探究”式教学方法，结合多媒体辅助教学．
四．教学过程
Ⅰ．创设情境 直观感知
以杭州湾大桥为整体背景，设计两个问题情境如下：
问题１：建桥之前如何从嘉兴到达宁波？建桥之后可以从嘉兴直达宁波，此时的位移与前面两次位移的结果有何关系？两次位移的结果可称为两次位移的和，如何用等式来刻画这三个位移的关系？
问题2：这是大桥南端的A型独塔斜拉桥，其中两根拉索对塔柱的拉力分别为、，则它们对塔柱的共同作用效果如何？合力可称为力与的和，如何用等式来刻画这三个力的关系？
力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量．它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——向量的加法（引出课题）
Ⅱ．抽象概括 形成定义
（一）建立数学模型
若记则向量叫做向量与的和，记为 ．
问题3：如图所示的三个向量，你们能给出它们所满足的等式吗？—— ，即向量为向量与的和
（二）抽象数学概念
问题4：由此，你们能概括出一般的两个向量与和的定义吗？
学生活动：在平面内任取一点O，平移使其起点为点O，平移使其起点与向量的终点重合，再连接向量的起点与向量的终点．
（1）平移的目的是什么？——平移后使得两个向量能在同一个三角形中；
（2）平移后两个向量的终点与起点有何关系？——使得第二个向量的终点与第一个向量的起点重合；
（3）和向量又是什么？——连接向量的起点与向量的终点，并指向的终点，得到的向量即为向量与的和；
（4）借助于几何直观，用自然简洁的语言给出两个向量和的定义 ．
和的定义：已知向量，在平面内任取一点O，作，则向量叫做向量的和．记作：．即．
向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．
向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
问题5：用三角形法则求向量和的过程中要注意什么？——平移两个向量使它们首尾顺次相连．
问题6：还可以用什么方法求两个向量的和呢？——向量加法的平行四边形法则．
问题7：平行四边形法则有何特点？——平移两个向量至共起点．
两种方法求和的结果是一样的，可见，向量加法的三角形法则与平行四边形法则在本质上是一致的．在具体求和时，应根据情况灵活地选择．
（三）尝试运用法则
试一试：如图，已知、，作出
向量加法的三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性．
Ⅲ．类比猜想 探究性质
问题8：加法其实我们并不陌生，从小就开始学习数、字母、式的加法，实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什么？
实数的加法 向量的加法
性质
交换律的验证让学生通过画图自己验证，结合律的验证师生借助于多媒体共同完成．
研究结果表明：向量的加法也满足交换律和结合律，这与数的加法是一致的．有了交换律与结合律，向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行，从而丰富了向量加法的内涵．
Ⅳ．数学运用 深化认识
例1．如图，O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，作出下列向量：
（1） （2） （3）
（4） （5）
推广1：
推广2：
并以北京08奥运圣火的传递提供了现实原型．
最后我们再回到这座宏伟壮观的大桥来解决这样一个实际问题：
例2．已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以12.5km/h的速度向东流，现有一艘工作艇，在海面上航行检查桥墩的状况，已知艇的速度是25km/h，若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，则艇的航向如何确定？
分析：首先将实际问题数学化，把三个速度分别用向量来表示：如图，设表示水流速度，表示游艇的速度，那谁是游艇的实际速度？，三个向量应满足什么关系？．
解：如图，设表示水流速度，表示游艇的速度，表示游艇的实际速度，因为，所以四边形为平行四边形．
在中，
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所以
答 若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，其航向应为北偏西．
Ⅴ．回顾反思 拓展延伸
一、课时小结：
1、同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？
知识内容：向量加法的定义、二个运算法则以及二个运算律．
留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？
本节课我们从物理原型抽象出数学模型，在此基础上去研究数学模型，最后应用到生活实践中去．再一次告诉我们，数学源于生活，又服务于生活．
2、马克思说过：一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步． 我们今天所学习的向量的加法为研究物理的相关问题提供了一种数学工具，随着对向量研究的逐步深入，向量作为一种新的数学工具被越来越广泛的应用．
二、拓展延伸：
（1）作业：P79 习题2．2的1，2，3
（2）拓展探究：请同学们课后完成下面的拓展探究题：向量和的模与模的和之间有什么关系？（是任意两个向量，则与之间有什么关系？ 并根据自己感兴趣的话题进行拓展探究．
关于“向量的加法教案”的说明
数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态．这是新课程理念中特别强调的，也是我备课过程始终如一的追求．
说明一：关于目标定位
向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一种工具．其工具作用主要体现在向量的运算方面．向量的加法运算是向量运算的基础，它以位移的合成、力的合成等物理模型为背景抽象出的一种数学运算．在《课程标准》中，对平面向量运算的总的要求是：了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，发展运算能力． 对本节内容的具体要求是通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义．根据课标的要求结合学生的认知特点，确定了本节课的多元化教学目标（详见教案）．
说明二：关于地位作用
向量的加法不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则––––图上作业法，是一种全新的数学技术，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破．但在“新”中又有“旧”，一方面，在物理中学生已经学习了力、位移等矢量的合成，并且通过上节课的学习，学生已掌握了向量的相关概念及表示方法，知道向量可以自由移动的；另一方面，数的加法运算为向量的加法运算提供了可类比的对象，这些都是学习本节内容的基础．
向量的加法运算是继实数运算、集合运算之后，学生学习的另一种形式的运算，是学习向量的减法、数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，为进一步理解其他的数学运算（如函数、映射、变换、矩阵的运算等等）创造了条件，起着承上启下的作用，并加强了代数、几何、三角的联系，体现了近现代数学的一些重要思想．同时，向量还是重要的物理模型，体现了数学与物理的完美结合，为解决实际问题提供了有效的工具．
说明三：关于学情诊断
本节内容总体来说比较简单，学生理解接受的难度也不大．因为学生在物理中已经认识了矢量与标量的区别，在生活中对位移与路程也有了一定的体验．所以对数学中向量与数量的概念是比较容易理解接受的．并能够从物理的矢量合成中去感受向量的加法的含义，总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法则．通过与数的加法的类比，学生也能够较容易的猜想出向量加法的交换律与结合律．
但是由于学生对向量的理解还没有根深蒂固，会有部分学生忽略零向量与数零的区别，以及向量的表示不是很规范．有些学生对向量加法法则的运用还停留机械模仿的水平，表现在平移向量时，不能够根据情况灵活地选择起点．对交换律与结合律的验证，学生也存在一定的误区，在具体操作过程中，他们往往不能在同一个图形中来研究这个问题，这就给说明两个向量的相等带来了困难．对向量式的化简过程中，对交换律、结合律运用不够灵活，不善于抓住向量式的特点来解决问题．这些都需要教师在课堂教学过程中具备灵活的教学机智，给学生以适时的点拨与提醒．
说明四：关于教法设计
基于以上对教材内容的认识和学生客观情况的分析，结合新课标的教学理念，本课主要采用“启发探究式”教学法， 遵循由具体到抽象、由特殊到一般的原则．并结合多媒体手段，为学生营造一个充满着观察、发现、归纳、猜想的可“再创造”环境，使其能够充分实现自主探究、合作交流，生动活泼地获取知识．具体表现为如下几个方面：
（1）讲背景、重过程、强调本质
本课开始从学生已有的生活经验和物理知识出发，以杭州湾大桥为背景创设问题情境，从而让学生在位移合成、力的合成的基础之上，抽象出向量加法的概念，进而引导学生总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及各自的操作方法与要领，使学生体会到向量加法的实际背景，经历了概念形成的过程，领悟到数学概念的本质，体现了“数学教学是数学思维活动的过程教学”．
（2）讲方法、重能力、渗透思想
向量加法运算律的教学，是引导学生通过与数的加法进行类比得到的，并让学生自主探索，构图进行验证．这样不仅体现了学生的主体地位，同时还培养了学生科学的探究能力，归纳推理能力，渗透了数形结合、类比等思想．
（3）设计问题、加强联系、关注学生的发展
教学中采用了“以问题为中心”的讨论式教学模式．把问题作为教学的出发点，精心设计问题情境，组织相关的数学成分，加强相关内容的联系，使问题处于学生思维的最近发展区，以此激发学生的好奇心与求知欲．并能够较好地培养学生数学地发现问题、提出问题、解决问题的能力．
总体来说，本课围绕学生的发展进行教学设计，使问题贯穿始终，思想贯穿始终，探究贯穿始终，联系，发展贯穿始终．学生在老师的启发下发现当前所面临的问题，成为探究活动的主线，沿着这条主线带领学生找区别、找联系．关注学生的成长发展的全过程，使他们在过程中形成能力，在过程中掌握方法，在过程中发展基本数学能力，在过程中培养健康向上的情感、态度和价值观．
通过本节课教学，可使不同层次的学生都能掌握给定任意两个向量求和的基本方法，能够视具体情况灵活地作出两个或者多个向量的和；能运用向量加法的交换律和结合律解决向量式的化简和计算问题；并能运用向量的加法法则解决了一些实际问题．
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