辽宁省辽阳市集美中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（含解析）

高一考试数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第二册至必修第三册8.2.1.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知角的终边经过点，则（ ）
A.3 B. C. D.
2.若向量，则（ ）
A. B. C. D.
3.在正六边形中，向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4.已知某地十个加油站某日92汽油的价格（单位：元/升）如下：
这十个加油站该日92汽油价格的分位数是（ ）
A.7.925 B.7.94 C.7.93 D.7.935
5.若，则（ ）
A. B.
C. D.
6.函数是（ ）
A.最小正周期为的奇函数
B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数
D.最小正周期为的偶函数
7.若单位向量满足，则（ ）
A.0 B. C.0或 D.0或
8.已知函数的部分图象如图所示，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则下列命题是真命题的是（ ）
A.将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得到函数的图象
B.将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，可得到函数的图象
C.将图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到函数的图象
D.将图象上所有的点向右平移个单位长度后与原图象重合
10.甲 乙两社团各有3名男党员 3名女党员，从甲 乙两社团各随机选出1名党员参加宪法知识比赛.设事件为“从甲社团中选出的是男党员小凡”，事件为“从乙社团中选出的是男党员”，事件为“甲 乙两社团选出的都是男党员”，事件为“从甲 乙两社团中选出的是1名男党员和1名女党员”，则（ ）
A.与相互独立 B.与相互独立
C.与相互独立 D.与互斥
11.如图，正方形的边长为.若，则的值可能为（ ）
A.12 B.15 C.32 D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知某扇形的半径为，圆心角为2，则该扇形的弧长为__________，该扇形的面积为__________.
13.在平行四边形中，，且，则平行四边形的面积为__________.
14.已知函数在上单调递减，则的取值范围为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知向量.
（1）求；
（2）若，求的值.
16.（15分）
辽宁省朝阳市妇联发挥阵地优势，在市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂，涵盖了创意美术 传统文化 科学小实验 “亲子阅读”等丰富的活动.公益课堂共开设24期，近200名少年儿童受益.从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50名少年儿童进行问卷调查（满分100分），将问卷调查结果按分成八组，并绘制成频率分布直方图，如图所示.
（1）求的值，并估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若从样本中问卷调查结果在和内的少年儿童中随机抽取2名少年儿童，求随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率.
17.（15分）
已知函数.
（1）求图象的对称中心的坐标；
（2）解关于的不等式；
（3）设函数，求的值.
18.（17分）
设，函数.
（1）当时，求的值域；
（2）讨论的零点个数.
19.（17分）
定义：若函数的值域是定义域的子集，则称是紧缩函数.
（1）试问函数是否为紧缩函数？说明你的理由.
（2）若函数是紧缩函数，求的取值范围.
（3）已知常数，函数是紧缩函数，求的取值集合.
高一考试数学试卷参考答案
1.B .
2.A 因为，所以，解得.
3.B 如图，向量与的夹角为.
4.B 将这十个加油站该日92汽油的价格从低到高排列：7.86，7.87，7.92，7.92，7.92，7.93，.因为，所以这十个加油站该日92汽油价格的分位数是7.94.
5.C 由题意得.
6.B 因为，所以该函数为奇函数.因为的最小正周期分别为，所以的最小正周期为.
7.D 由题意可得，则或，故或.
8.A 由图象可知，则.因为，所以，所以.由，得，因为，所以，则.因为，解得（负根已舍去），所以.
9.ACD 将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得到函数的图象，正确.将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，可得到函数的图象，B错误.将图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，C正确.将图象上所有的点向右平移个单位长度后，可得到函数
的图象，与原图象重合，D正确.
10.ACD 由题意可得.因为，所以与相互独立，正确.因为，所以与不相互独立，错误.因为，所以与相互独立，C正确.因为，所以与互斥，正确.
11.BD 如图，建立平面直角坐标系，
则
.
当时，，则，由，得，当且仅当时，等号成立，得，得，当且仅当时，等号成立.32，当且仅当时，等号成立.由，得，即，则，故.
12.； 由题意可得该扇形的弧长为，该扇形的面积为.
13.8 在平行四边形中，.
因为，所以四边形为矩形.
又，所以四边形为正方形，所以四边形的面积为.
14. 由，得，则，解得.由，解得.因为，所以或1，则4或，即的取值范围为.
15.解：（1），
则.
（2），
.
因为，所以，
解得.
16.解：（1）由题意得，
解得.
估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数为
.
（2）依题意可得在内抽取的人数为，
设所抽取的人为，
在内抽取的人数为，设所抽取的人为，
则从中随机抽取2名少年儿童有，
共15种情况，
其中随机抽取的这2名少年儿童在同一组的共7种情况.
故随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率.
17.解：（1）令，得，
故图象的对称中心为.
（2）由，得，
则，
解得，
故不等式的解集为.
（3）由题意可得.
因为，所以，
，
则
.
18.解：（1）当时，.
令，则，
在上单调递减，在上单调递增，
则，
，
故的值域为，即的值域为.
（2）令，即，得.
令，则.
因为在上单调递减，
所以的零点个数等价于的零点个数.
当或时，无解；
当时，仅有一解；
当时，有两解.
综上，当或时，无零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点.
19.解：（1）的定义域为，
值域为.
因为不是的子集，所以不是紧缩函数.
（2）由，得的定义域为.
令，则，
所以.
因为，所以，则的值域为.
依题意可得，
解得，故的取值范围为.
（3）因为的值域是定义域的子集，所以的值域是的值域的子集，
又，则，所以的值域与定义域相同.
的值域为.
（i）若，则即，则且，所以且，解得.
（ii）若，则或，即，则
.，所以且，无解.
综上，的取值集合为.