8.4向量的应用 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学必修第二册
文档属性
| 名称 | 8.4向量的应用 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-11 18:24:32 | ||
图片预览
文档简介
8.4向量的应用同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是两个夹角为的单位向量，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．某次军事演习中，炮台向北偏东方向发射炮弹，炮台向北偏西方向发射炮弹，两炮台均命中外的同一目标，则两炮台在东西方向上的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知图中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向( )．
A． 正北 B．与水流方向夹角为
C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸
6．已知飞机从A地按北偏东的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，再从C地按西南方向飞行到达D地.则D地距A地（ ）
A． B． C． D．
7．当太阳光与水平面的倾斜角为时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（ ）
A． B． C． D．
8．2023年入冬以来，哈尔滨冰雪旅游火爆出圈.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球 圆柱 棱柱于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶 教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上的投影向量等于.
C．
D．的最小值为
10．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．若，则存在唯一实数使得
B．两个非零向量，，若，则与共线且反向
C．若点G是的重心，则
D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为
11．下列说法中正确的是（ ）
A．在中，，，，若，则为锐角三角形
B．已知点是平面上的一个定点，并且，，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的内心
C．已知，，与的夹角为锐角，实数的取值范围是
D．在中，若，则与的面积之比为
12．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心 内心 外心 垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，，则
三、填空题
13．作用于同一点的三个力处于平衡状态，已知，，的夹角为，则与夹角的大小为 .
14．中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是所在平面内的动点，满足.射线BP与边AC交于点D.若，则面积的最小值为 .
15．窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则 ．
四、解答题
16．已知中，角、、的对边分别是．
(1)求角的大小；
(2)若，为边上一点，，，求的面积．
17．一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向.
(1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值；
(2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
18．设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线．
(1)求的范围
(2)求的最小值，
(3)若，求的最小值.
19．如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）.
(1)用向量的方法证明；
(2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值.
20．如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上.岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上.设，.
(1)用，表示，；
(2)如果，海里，且，求岛屿到补给站的距离以及岛屿到的距离.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】利用平面向量数量积的运算求向量的夹角.
【详解】因为
.
故选：D
2．D
【分析】根据复数的数量积运算求向量的模.
【详解】因为（当且仅当时取“”）.
故选：D
3．A
【分析】
根据题意先求得之间在南北方向上的距离，继而可求得两炮台在东西方向上的距离.
【详解】法一：由题意得，在北偏西方向上，
之间在南北方向上的距离为，
则在东西方向上的距离为，
其中，
因此，
法二：过炮台点作东西方向的水平线交正北方向分别为点，
则由图知.
故选：A.
4．B
【分析】根据正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到，结合即可得解.
【详解】由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，
所以正六边形的内切圆的半径为，
外接圆的半径为，
因为
，
又，即，可得，
所以的取值范围是.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用向量数量积的运算法则将转化为，从而得解.
5．A
【分析】作出示意图，将船速分解到沿河岸方向和垂直于河岸方向，与水流速度对比即可得到合速度(实际速度)．
【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度．
设为渡口在对岸对应的点，则，
在中，∵，∴，
∴E和重合，．
∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向．
故选：A.
6．D
【分析】利用“上北下南左西右东”建立直角坐标系，结合题意标出各点位置，从而在与中依次求得，从而得解.
【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
由已知可得，为正三角形，，所以．
又，，则，
所以为等腰直角三角形，所以.
故选：D.
7．B
【分析】
根据题意利用正弦定理得出影子长为，再由三角函数值域即可得结果.
【详解】
设竹竿与地面所成的角为，影子长为m．
由正弦定理，得，
解得．
又易知，可得，
即可知当，即时，x有最大值为．
即竹竿与地面所成的角是时，影子最长．
故选：B
8．B
【分析】根据题中条件可求得的长度，利用正弦定理求得的值，继而可求解.
【详解】由题意知,
,
所以.
在中，,
在中，由正弦定理得
,即，
所以，
在中，（），
故选：B.
9．ACD
【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A，根据投影向量的定义，判断B；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.
【详解】A.以为邻边作平行四边形，交于点，是的中点，
因为是的重心，所以三点共线，且，
所以，，所以，故A正确；
B.在上的投影向量等于，故B错误；
C.如图，因为，所以,
即，即,
因为点是的重心，，故C正确；
D. 取的中点，连结，取中点，则，，
,
则，
,
显然当重合时，，取最小值，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.
10．BCD
【分析】根据平面向量共线充要条件可判定A，由平面向量的线性运算及数量积公式可判定B，利用三角形重心的性质可判定C，利用投影向量的定义可判定D.
【详解】对于A选项，若，则存在唯一实数使得或，故A错误
对于B选项，两个非零向量，，若，
则，
所以与共线且反向，故B正确；
对于C选项，若点G是的重心，根据三角形重心的性质知，
故C正确；
对于D选项，若向量，，
则向量在向量上的投影向量为，
故D对．
故选：BCD．
11．BD
【分析】
利用向量的数量积的定义得到角C为钝角，从而否定A；利用单位向量的定义与加法的平行四边形法则判断与的角平分线的关系，从而判断C；注意到与同向的情况，可否定C；利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到的比例，从而利用比例的性质与三角形面积的特点判定D.
【详解】对于A，因为，即，所以，则为钝角，故A错误；
对于B， 因为、分别表示向量、方向上的单位向量，
所以的方向与的角平分线重合，
又，可得，
又，所以向量的方向与的角平分线重合，
所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确；
对于C ，因为，，所以，
当时，，此时与同向，夹角不是锐角，故C错误；
对于D，因为，所以，
延长交于，如图所示.
因为共线，所以存在实数，，
因为共线，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，则，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是延长交于，利用向量基本定理的推论得到在上的位置，从而得解.
12．ABC
【分析】对于A，根据已知条件及奔驰定理，结合三角形重心的性质即可求解；
对于B，根据三角形内心的性质及三角形的面积公式，结合奔驰定理即可求解；
对于C，利用三角形外心的定义及向量的线性运算即可求解；
对于D，利用三角形的垂心的定义及三角形的面积公式，结合奔驰定理及锐角三角函数即可求解.
【详解】对于A，取的中点，连接,如图所示
由，则，
所以，
所以三点共线，且，
设分别为得中点，同理可得，
所以为的重心，故A正确；
对于B， 由为的内心，则可设内切圆半径为，如图所示
则，
所以，
即，故B正确；
对于C ，如图所示
因为为的外心，
所以,
所以，即，即,
所以,
同理可得，
所以，故C正确；
对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点，如图所示，
由为的垂心，，则，
又，则，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：根据奔驰定理及三角形的面积公式，结合三角形的四心的定义及性质即可.
13．
【分析】结合平面向量的运算法则和数量积的计算公式求解，由，可得，从而利用数量积的定义列式求解即可.
【详解】因为，，三个力处于平衡状态，所以，则，
所以，
设夹角的大小为，由得，
所以，所以，又，所以，
即与夹角的大小为.
故答案为：
14．
【分析】首先根据向量的几何意义，确定是的角平分线，再根据余弦定理，以及三角形的面积公式和基本不等式，求得 最小值，即可求解.
【详解】表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位向量，
根据向量加法的几何意义可知，点在的角平分线上，即是的角平分线，
由，得，，所以，
依题意，
根据三角形的面积公式有，
整理得，所以，即，当且仅当时等号成立，
所以面积的最小值为.
故答案为：
15．
【分析】建立平面直角坐标系，设与轴正方向的夹角为，表示出点坐标，再根据三点共线，得到，即可求出，再根据平面向量数量积的坐标运算计算可得；
【详解】根据正方形的对称性，设其中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，
设与轴正方向的夹角为，
则，即，
所以，
因为三点共线，所以，即，
解得，
所以，所以，
所以，又为锐角，所以
，所以
；
故答案为：
16．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及诱导公式、恒等变换公式得到的正切值，进而求解即可；
（2）解法一利用已知条件和向量的知识得到，进而实数化得到和的一个关系式，再由三角形余弦定理结合角的互补关系得出和的另一个关系式，联立方程求解即可；解法二直接由第一问的结果结合余弦定理得出和的一个关系式，再由三角形余弦定理结合角的互补关系得出和的另一个关系式，联立方程求解即可.
【详解】（1）由正弦定理得，
因为
故，
即，
即．
而，故，
又因为所以．
而，故．
（2）解法一：由知，
两边同时平方得，
即，化简得．①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，
由于，得，代入②得．
所以的面积为．
解法二：在中，由余弦定理可得，
整理得，①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，
由于，得，代入②得，
所以的面积为．
17．(1)，；
(2).
【分析】（1）设游船的实际速度为，由速度合成得，根据求得结果.
（2）设到达北岸点所用时间为，根据计算长度，得出结果.
【详解】（1）设游船的实际速度大小为，
由，得，.
如图所示速度合成示意图，由，得，
.
所以的大小为的值为.
（2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，
，则，
在Rt中，，从而，因此，
故游船的实际航程为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）解法主要是将所给条件通过数量积运算实数化进而通过实数运算结合基本不等式求解即可；解法将向量问题坐标化，进而通过实数运算结合不等式求解即可.
（2）解法将向量通过模的运算及数量积公式实数化，进而转为实数运算，结合不等式解出答案；解法通过坐标法和数量积运算将问题转化为实数运算问题，结合不等式求解即可；解法主要是根据题意设参数，再根据数量积运算结合三角函数、不等式求最值.
（3）解法1主要是通过平面向量基本定理选择基底表示向量，再设参数结合不等式求解；解法通过坐标法将问题实数化，进而求出参数最值；解法设参数两个参数，由向量相等得出它们的三角表示，再由三角函数性质结合不等式求解即可.
【详解】（1），
，
为锐角，，
解法一：
.
取的中点为，，
.
解法二：以为原点，以为轴，建立直角坐标系，
，
，
，，
，
.
故小问1答案为：.
（2）解法一：由题意知：
，
，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为．
解法二：由题意知：
以为原点，以为轴，建立直角坐标系设点，则，
，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为．
解法三：
设，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为．
故小问答案为：
（3）解法一：由题意知：
令，则原式
当且仅当即，等号成立，的最小值为
解法二：由题意知：
以为原点，以为轴，建立直角坐标系
三点共线
，
，
，
，
，
.
解法三：由题意知：
，
，
，
下同解法二.
故小问答案为：.
【点睛】方法点睛：建立直角坐标系，将向量问题坐标化进而通过实数运算求解即可.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证；
（2）利用坐标表示出，然后由三角函数性质可得.
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系.
（方法一）由题意可知，设，则，
，，，得，，
所以，故，即.
（方法二）由题意可知，，，设，
则，得，得，，
所以，故，即.
（2）由题意得，则，设，则，，
由（1）得，，
所以，
由，得，当，即时，.
故的最大值为.
20．(1)；
(2)；
【分析】
（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解；
（2）利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得，从而再次利用数量积运算法则即可得解.
【详解】（1）
依题意，得，点为中点，，
又，，
所以，
.
（2）依题意，得，，
所以，即，
所以，则，
又，所以，
所以
，
而，
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是两个夹角为的单位向量，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．某次军事演习中，炮台向北偏东方向发射炮弹，炮台向北偏西方向发射炮弹，两炮台均命中外的同一目标，则两炮台在东西方向上的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知图中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向( )．
A． 正北 B．与水流方向夹角为
C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸
6．已知飞机从A地按北偏东的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，再从C地按西南方向飞行到达D地.则D地距A地（ ）
A． B． C． D．
7．当太阳光与水平面的倾斜角为时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（ ）
A． B． C． D．
8．2023年入冬以来，哈尔滨冰雪旅游火爆出圈.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球 圆柱 棱柱于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶 教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上的投影向量等于.
C．
D．的最小值为
10．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．若，则存在唯一实数使得
B．两个非零向量，，若，则与共线且反向
C．若点G是的重心，则
D．若向量，，则向量在向量上的投影向量为
11．下列说法中正确的是（ ）
A．在中，，，，若，则为锐角三角形
B．已知点是平面上的一个定点，并且，，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的内心
C．已知，，与的夹角为锐角，实数的取值范围是
D．在中，若，则与的面积之比为
12．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心 内心 外心 垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，，则
三、填空题
13．作用于同一点的三个力处于平衡状态，已知，，的夹角为，则与夹角的大小为 .
14．中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是所在平面内的动点，满足.射线BP与边AC交于点D.若，则面积的最小值为 .
15．窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则 ．
四、解答题
16．已知中，角、、的对边分别是．
(1)求角的大小；
(2)若，为边上一点，，，求的面积．
17．一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向.
(1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值；
(2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
18．设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线．
(1)求的范围
(2)求的最小值，
(3)若，求的最小值.
19．如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）.
(1)用向量的方法证明；
(2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值.
20．如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上.岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上.设，.
(1)用，表示，；
(2)如果，海里，且，求岛屿到补给站的距离以及岛屿到的距离.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】利用平面向量数量积的运算求向量的夹角.
【详解】因为
.
故选：D
2．D
【分析】根据复数的数量积运算求向量的模.
【详解】因为（当且仅当时取“”）.
故选：D
3．A
【分析】
根据题意先求得之间在南北方向上的距离，继而可求得两炮台在东西方向上的距离.
【详解】法一：由题意得，在北偏西方向上，
之间在南北方向上的距离为，
则在东西方向上的距离为，
其中，
因此，
法二：过炮台点作东西方向的水平线交正北方向分别为点，
则由图知.
故选：A.
4．B
【分析】根据正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到，结合即可得解.
【详解】由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，
所以正六边形的内切圆的半径为，
外接圆的半径为，
因为
，
又，即，可得，
所以的取值范围是.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用向量数量积的运算法则将转化为，从而得解.
5．A
【分析】作出示意图，将船速分解到沿河岸方向和垂直于河岸方向，与水流速度对比即可得到合速度(实际速度)．
【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度．
设为渡口在对岸对应的点，则，
在中，∵，∴，
∴E和重合，．
∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向．
故选：A.
6．D
【分析】利用“上北下南左西右东”建立直角坐标系，结合题意标出各点位置，从而在与中依次求得，从而得解.
【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
由已知可得，为正三角形，，所以．
又，，则，
所以为等腰直角三角形，所以.
故选：D.
7．B
【分析】
根据题意利用正弦定理得出影子长为，再由三角函数值域即可得结果.
【详解】
设竹竿与地面所成的角为，影子长为m．
由正弦定理，得，
解得．
又易知，可得，
即可知当，即时，x有最大值为．
即竹竿与地面所成的角是时，影子最长．
故选：B
8．B
【分析】根据题中条件可求得的长度，利用正弦定理求得的值，继而可求解.
【详解】由题意知,
,
所以.
在中，,
在中，由正弦定理得
,即，
所以，
在中，（），
故选：B.
9．ACD
【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A，根据投影向量的定义，判断B；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.
【详解】A.以为邻边作平行四边形，交于点，是的中点，
因为是的重心，所以三点共线，且，
所以，，所以，故A正确；
B.在上的投影向量等于，故B错误；
C.如图，因为，所以,
即，即,
因为点是的重心，，故C正确；
D. 取的中点，连结，取中点，则，，
,
则，
,
显然当重合时，，取最小值，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.
10．BCD
【分析】根据平面向量共线充要条件可判定A，由平面向量的线性运算及数量积公式可判定B，利用三角形重心的性质可判定C，利用投影向量的定义可判定D.
【详解】对于A选项，若，则存在唯一实数使得或，故A错误
对于B选项，两个非零向量，，若，
则，
所以与共线且反向，故B正确；
对于C选项，若点G是的重心，根据三角形重心的性质知，
故C正确；
对于D选项，若向量，，
则向量在向量上的投影向量为，
故D对．
故选：BCD．
11．BD
【分析】
利用向量的数量积的定义得到角C为钝角，从而否定A；利用单位向量的定义与加法的平行四边形法则判断与的角平分线的关系，从而判断C；注意到与同向的情况，可否定C；利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到的比例，从而利用比例的性质与三角形面积的特点判定D.
【详解】对于A，因为，即，所以，则为钝角，故A错误；
对于B， 因为、分别表示向量、方向上的单位向量，
所以的方向与的角平分线重合，
又，可得，
又，所以向量的方向与的角平分线重合，
所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确；
对于C ，因为，，所以，
当时，，此时与同向，夹角不是锐角，故C错误；
对于D，因为，所以，
延长交于，如图所示.
因为共线，所以存在实数，，
因为共线，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，则，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是延长交于，利用向量基本定理的推论得到在上的位置，从而得解.
12．ABC
【分析】对于A，根据已知条件及奔驰定理，结合三角形重心的性质即可求解；
对于B，根据三角形内心的性质及三角形的面积公式，结合奔驰定理即可求解；
对于C，利用三角形外心的定义及向量的线性运算即可求解；
对于D，利用三角形的垂心的定义及三角形的面积公式，结合奔驰定理及锐角三角函数即可求解.
【详解】对于A，取的中点，连接,如图所示
由，则，
所以，
所以三点共线，且，
设分别为得中点，同理可得，
所以为的重心，故A正确；
对于B， 由为的内心，则可设内切圆半径为，如图所示
则，
所以，
即，故B正确；
对于C ，如图所示
因为为的外心，
所以,
所以，即，即,
所以,
同理可得，
所以，故C正确；
对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点，如图所示，
由为的垂心，，则，
又，则，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：根据奔驰定理及三角形的面积公式，结合三角形的四心的定义及性质即可.
13．
【分析】结合平面向量的运算法则和数量积的计算公式求解，由，可得，从而利用数量积的定义列式求解即可.
【详解】因为，，三个力处于平衡状态，所以，则，
所以，
设夹角的大小为，由得，
所以，所以，又，所以，
即与夹角的大小为.
故答案为：
14．
【分析】首先根据向量的几何意义，确定是的角平分线，再根据余弦定理，以及三角形的面积公式和基本不等式，求得 最小值，即可求解.
【详解】表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位向量，
根据向量加法的几何意义可知，点在的角平分线上，即是的角平分线，
由，得，，所以，
依题意，
根据三角形的面积公式有，
整理得，所以，即，当且仅当时等号成立，
所以面积的最小值为.
故答案为：
15．
【分析】建立平面直角坐标系，设与轴正方向的夹角为，表示出点坐标，再根据三点共线，得到，即可求出，再根据平面向量数量积的坐标运算计算可得；
【详解】根据正方形的对称性，设其中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，
设与轴正方向的夹角为，
则，即，
所以，
因为三点共线，所以，即，
解得，
所以，所以，
所以，又为锐角，所以
，所以
；
故答案为：
16．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及诱导公式、恒等变换公式得到的正切值，进而求解即可；
（2）解法一利用已知条件和向量的知识得到，进而实数化得到和的一个关系式，再由三角形余弦定理结合角的互补关系得出和的另一个关系式，联立方程求解即可；解法二直接由第一问的结果结合余弦定理得出和的一个关系式，再由三角形余弦定理结合角的互补关系得出和的另一个关系式，联立方程求解即可.
【详解】（1）由正弦定理得，
因为
故，
即，
即．
而，故，
又因为所以．
而，故．
（2）解法一：由知，
两边同时平方得，
即，化简得．①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，
由于，得，代入②得．
所以的面积为．
解法二：在中，由余弦定理可得，
整理得，①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，
由于，得，代入②得，
所以的面积为．
17．(1)，；
(2).
【分析】（1）设游船的实际速度为，由速度合成得，根据求得结果.
（2）设到达北岸点所用时间为，根据计算长度，得出结果.
【详解】（1）设游船的实际速度大小为，
由，得，.
如图所示速度合成示意图，由，得，
.
所以的大小为的值为.
（2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，
，则，
在Rt中，，从而，因此，
故游船的实际航程为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）解法主要是将所给条件通过数量积运算实数化进而通过实数运算结合基本不等式求解即可；解法将向量问题坐标化，进而通过实数运算结合不等式求解即可.
（2）解法将向量通过模的运算及数量积公式实数化，进而转为实数运算，结合不等式解出答案；解法通过坐标法和数量积运算将问题转化为实数运算问题，结合不等式求解即可；解法主要是根据题意设参数，再根据数量积运算结合三角函数、不等式求最值.
（3）解法1主要是通过平面向量基本定理选择基底表示向量，再设参数结合不等式求解；解法通过坐标法将问题实数化，进而求出参数最值；解法设参数两个参数，由向量相等得出它们的三角表示，再由三角函数性质结合不等式求解即可.
【详解】（1），
，
为锐角，，
解法一：
.
取的中点为，，
.
解法二：以为原点，以为轴，建立直角坐标系，
，
，
，，
，
.
故小问1答案为：.
（2）解法一：由题意知：
，
，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为．
解法二：由题意知：
以为原点，以为轴，建立直角坐标系设点，则，
，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为．
解法三：
设，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为．
故小问答案为：
（3）解法一：由题意知：
令，则原式
当且仅当即，等号成立，的最小值为
解法二：由题意知：
以为原点，以为轴，建立直角坐标系
三点共线
，
，
，
，
，
.
解法三：由题意知：
，
，
，
下同解法二.
故小问答案为：.
【点睛】方法点睛：建立直角坐标系，将向量问题坐标化进而通过实数运算求解即可.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证；
（2）利用坐标表示出，然后由三角函数性质可得.
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系.
（方法一）由题意可知，设，则，
，，，得，，
所以，故，即.
（方法二）由题意可知，，，设，
则，得，得，，
所以，故，即.
（2）由题意得，则，设，则，，
由（1）得，，
所以，
由，得，当，即时，.
故的最大值为.
20．(1)；
(2)；
【分析】
（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解；
（2）利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得，从而再次利用数量积运算法则即可得解.
【详解】（1）
依题意，得，点为中点，，
又，，
所以，
.
（2）依题意，得，，
所以，即，
所以，则，
又，所以，
所以
，
而，
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页