9.1复数及其四则运算 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学必修第二册

9.1复数及其四则运算同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知（为虚数单位），则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知a为实数,复数为纯虚数,则
A． B．1 C． D．2
4．已知，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知复数（）的实部大于虚部，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
6．若复数是纯虚数，则（ ）
A． B．且 C． D．
7．已知为虚数单位，且复数，则下列说法中正确的是（ ）.
A．复数为实数 B．
C．复数为纯虚数 D．
8．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
二、多选题
9．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．设，是关于的方程的两根，其中，.若为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论不正确的是（ ）
A．z的虚部为i
B．
C．若是纯虚数，则实数
D．若z是关于的方程的一个根，则
12．已知为复数，则（ ）
A．若，则为实数
B．
C．若，则
D．若，则复数在复平面内所对应的点位于坐标轴上
三、填空题
13．已知复数，分别对应向量，（为原点）.若向量对应的复数为纯虚数，则 .
14．若复数为实数，则实数的值为 ．
15．已知复数（i是虚数单位），则的共轭复数是 ．
四、解答题
16．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
17．设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，， . 已知是纯虚数.
(1)求实数的值；
(2)若三点共线，求实数的值.
18．已知关于的二次方程．
(1)当为何值时，这个方程有一个实根？
(2)是否存在，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．
19．已知复数，为z的共轭复数，且．
(1)求m的值；
(2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
20．（1）计算：的值；
（2）在复数范围内解关于的方程：；
（3）设复数，满足，，求的值.
21．已知复数，其中是正实数，是虚数单位．
(1)如果为纯虚数，求实数的值；
(2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值．
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参考答案：
1．D
【分析】借助复数相等求解作答
【详解】因为，所以
故选：D
2．A
【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据虚部的概念求解.
【详解】由可得，
故虚部为，
故选：A
3．C
【分析】由复数的运算与纯虚数的概念求解即可.
【详解】由为纯虚数，
，.
故选：C.
4．C
【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以复数在复平面对应的点为，位于第三象限．
故选：C
5．B
【分析】利用复数的定义及一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由已知可得，即，解得或，
因此，实数a的取值范围是．
故选：B.
6．A
【分析】根据实部为零，虚部不为零列式计算.
【详解】由题意可得：，解得或，又，所以.
故选：A
7．A
【分析】借助复数的运算法则计算即可得.
【详解】，故，
故A正确，B、C、D错误.
故选：A.
8．B
【分析】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可.
【详解】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性.
故选：B
9．BCD
【分析】根据复数的加法结合复数相等求，进而逐项分析判断.
【详解】由题意可得：，
则，解得，可得，
故BCD正确，A错误.
故选：BCD.
10．BCD
【分析】根据虚根成对原理可得，再由韦达定理求出、，最后计算模即可.
【详解】因为，是关于的方程的两根，其中，且，
所以，
所以，所以，
，所以，
则，故A错误，B正确，C正确；
，故D正确.
故选：BCD
11．AC
【分析】化简复数分别判断虚部和共轭复数，可判断A,B项，计算，并根据纯虚数要求即可判断C项，利用实系数的一元二次方程的根的特征和韦达定理即可判断D项.
【详解】对于A项，由，即z的虚部为1，不是i，故A项错误；
对于B项，由可知，故B项正确；
对于C项，由是纯虚数，可得，则，故C项错误；
对于D项，是关于的方程的一个根，故也是该方程的根，
于是由韦达定理可得，，即，故D项正确.
故选：AC.
12．ABD
【分析】
根据复数减法的运算法则、共轭复数的定义，结合复数模的运算性质、复数乘法的运算法则逐一判断即可.
【详解】设，故为实数，故A正确；，故B正确；
令，故，但，故C错误；
若，则，故，即或，故D正确.
故选：ABD
13．
【分析】利用复数的几何意义表示向量对应的复数，再根据复数的特征，列式求解.
【详解】因为，所以对应的复数为.
因为向量对应的复数为纯虚数，
所以，所以.
故答案为：
14．
【分析】利用对数的性质及复数的概念即可求解.
【详解】当为实数时，有，解得.
故答案为：.
15．
【分析】利用复数的四则运算，结合共轭复数的定义即可得解.
【详解】因为，
所以，，
所以，则其共轭复数为.
故答案为：.
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据题意，结合复数的加法与减法的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】（1）解：由复数的运算法则，可得.
（2）解：由复数的运算法则，可得.
（3）解：由复数的运算法则，可得.
（4）解：由复数的运算法则，可得
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可；
（2）根据求解即可.
【详解】（1）由题意可得，
由于复数是纯虚数，则，解得；
（2）由（1）可得，，则点，，点
所以，　　　　
因三点共线，所以，所以，
所以
18．(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）设方程的一个实根为，带入方程，化简成标准形式，再由复数相等的意义即可求得；
（2）设方程有纯虚数根（，且），代入原方程，再复数相等意义得出，此方程无解，即可判定不存在.
【详解】（1）设是方程的一个实根，则
即
根据复数相等的意义知
解得：．
所以，当时，原方程有一实根．
（2）假定方程有纯虚数根（，且），代入原方程得
即
由复数相等意义知
但方程即无实数解，即实数不存在．
所以，对任何实数，原方程不可能有纯虚数根．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据共轭复数的概念，结合复数的加法运算即可求解参数的值；
（2）首先将代入一元二次方程中求出参数，的值，然后再根据求根公式求解另外一个复数根即可.
【详解】（1）已知，则，
由于，得，解得：
（2）由（1）可知，，将代入方程可得：，
即：，得：，解得：，，
带入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一个复数根为
20．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据乘方的周期性计算即可；
（2）根据配方法即可得到答案；
（3）假设，根据复数形式的代数运算即可.
【详解】
（1）因为，且周期为4，
原式
.
（2）由 ，得 ，
，.
（3）设，，
，，.
又，所以，，
，
，
.
21．(1)；
(2).
【分析】
（1）由题意可得，再根据纯虚数的定义求解即可；
（2）由题意可得，将代入方程求解即可.
【详解】（1）解：因为，
由为纯虚数，可得，解得；
（2）解：因为，
所以，，
将代入方程，
得，
即有，
所以，
.
答案第1页，共2页
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