9.2复数的几何意义 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学必修第二册

9.2复数的几何意义同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．已知复数，，则（ ）
A． B． C．26 D．50
3．定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．复数在复平面内对应的点为，为坐标原点，将向量绕点逆时针旋转后得到向量，点对应复数为，则（ ）
A． B． C． D．
5．若复数满足，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
6．已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．
B．的最大值为2
C．复数在复平面内对应的点位于第二象限
D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为
8．设复数z满足，，复数z所对应的点位于第四象限，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数的虚部为
B．若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为
C．若为虚数单位，为正整数，则
D．在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限
11．设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C．若，则的模为
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
12．已知，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
13．已知复数，，满足，，为虚数单位，则 ．
14．已知是虚数单位，若复数在复平面内所对应的点位于第一象限，则的取值范围为 ．
15．已知复数w满足（i为虚数单位），在复平面内，复数z对应的点为Z，且z满足不等式，则点Z构成的平面图形的面积为 .
四、解答题
16．已知z是复数，与均为实数.
(1)求复数z；
(2)复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
17．已知复数.
(1)求；
(2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小.
18．已知复数分别对应向量， (O为原点).
(1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围；
(2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值.
19．已知复数（），是实数，是虚数单位.
(1)求的值；
(2)若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.
20．已知复数，其中.
(1)设，若是纯虚数，求实数的值；
(2)设，分别记复数、在复平面上对应的点为、，求与的夹角以及在上的数量投影.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】设，根据模长得到方程，求出，并求出，从而得到.
【详解】设，则，
即，由于，故，解得，
则，
故选：D
2．B
【分析】由共轭复数和复数的模长公式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
则．
故选：B．
3．D
【分析】由已知得，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】由题意，可化为，
所以，
所以在复平面内对应的点的坐标为，
所以复数在复平面内对应的点在第四象限．
故选：D．
4．C
【分析】先求出，进而利用复数的乘方运算求出结果.
【详解】由题意得，设其与实轴正半轴夹角为，则，
故可设，
设与实轴正半轴夹角为，则，
故，
故，则，
，
.
故选：C
5．C
【分析】先求出复数的代数形式，再根据复数的除法运算及复数的模的计算公式即可得解.
【详解】由，得，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
6．B
【分析】用复数的运算法则化简即可求得.
【详解】由复数，则，，
故复数在复平面内的点的坐标为.
故选：B
7．B
【分析】由欧拉公式及复数的相关概念计算逐项计算判断即可.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，
，当时取等号，B正确；
对于C，，复数在复平面内对应的点位于第一象限，C错误；
对于D，，，
，，
因此的面积为：，面积的最大值为，D错误.
故选：B
8．B
【分析】设复数，根据已知条件求出可得答案.
【详解】设复数，因为，
所以，又，解得，
因为复数所对应的点位于第四象限，所以，
所以.
故选：B.
9．BD
【分析】利用特殊值判断A、C，根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断B、D.
【详解】对于A：令、，则，显然不满足，故A错误；
对于C：令、，则，，
所以，但是，故C错误；
设，，
所以，
则
，
又，
所以，故B正确；
，又，
所以，故D正确.
故选：BD
10．BC
【分析】利用复数的定义，运算法则，几何意义一一判定选项即可.
【详解】由复数的概念可知复数的虚部为，故A错误；
若，则复平面内对应的点位于半径为1的圆上或内部，其面积为，故B正确；
根据复数的运算法则知，所以，故C正确；
易知复数的共轭复数为，其对应点为，显然位于第三象限，故D错误.
故选：BC
11．BD
【分析】由复数的模判断AC；由复数的基本概念和几何意义判断BD．
【详解】对A,由，可得，且，故A错误；
对B,若点的坐标为，则故对应的点的坐标为，在第三象限，故B正确；
对C,若，则的模为，故C错误；
对D,设,若，则，
则点的集合所构成的图形的面积为，故D正确．
故选：BD．
12．ABD
【分析】根据共轭复数的概念和复数的四则运算，结合复数模的计算及性质，逐项判断即可.
【详解】设，则.
对于A：若，且，
可得，所以，正确；
对于B：若，则，即，
得或，所以，正确；
选项C：令、，则，，
所以，但是，错误；
选项D：因为，
所以，
，所以，正确.
故选：ABD
13．
【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，再利用复数模及复数乘除法运算计算得解.
【详解】设（），（），
由，得，
即，整理得，
又，因此，
所以.
故答案为：
14．
【分析】根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.
【详解】因为复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：
15．
【分析】根据复数的除法运算可得，根据复数的几何意义可判断点Z的轨迹为圆环，即可由圆的面积公式求解.
【详解】，.
，点Z构成的平面图形为一个圆环，其中大圆是以为圆心，2为半径的圆，小圆是以为圆心，1为半径的圆，
点Z构成的平面图形的面积为.
故答案为：
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的运算法则，结合复数的特征，即可求解；
（2）根据（1）的结果，计算复数的平方，再根据复数的几何意义，即可求解.
【详解】（1）设，,所以，
由条件得，且，
所以，所以，
（2），
由条件得，
解得，所以所求实数a的取值范围是.
17．(1)
(2)
【分析】（1）计算出；
（2）得到，利用向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】（1）由已知得，
，
又
所以
（2）依题意向量，
于是有，
，
，
因为为与的夹角，
所以，
因为，
所以
18．(1)
(2)
【分析】
（1）根据复数的几何意义，结合第四象限的点的特征即可求解，
（2）根据复数减法的几何意义，由纯虚数的定义即可求解.
【详解】（1）
因为复数，向量表示的点在第四象限，
所以解得.
所以a的取值范围是.
（2）
因为，
所以向量对应的复数为.
根据向量对应的复数为纯虚数，可得且，
解得.
19．(1)2
(2)
【分析】
（1）运用复数四则运算可得，结合复数为实数的定义即可求得，进而可求得复数模.
（2）化简，结合复数几何意义即可求得结果.
【详解】（1）因为（），所以，
又因为是实数，
所以，即，
所以，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，
又因为复数所表示的点在第一象限，
所以，解得，
故的取值范围为.
20．(1)；
(2)，3
【分析】（1）由，利用是纯虚数求解；
（2）由，得到，，从而，，再利用在上的数量投影公式求解.
【详解】（1）解：，
因为是纯虚数，
所以且，
解得.
（2）当时，，
故，；
，故，.
设，则，
所以在上的数量投影为.
答案第1页，共2页
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