第六章三角综合复习训练（含解析）2023-2024学年沪教版（2020）高中数学必修第二册

第六章三角综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（ ）
A． B．
C． D．
3．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知在中，角的对边分别为．若为的重心，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，，是的垂心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为（ ）
A．21 B．14 C． D．7
7．在中，已知，，角的平分线与交于点，点满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．对于，下列说法正确的有（ ）
A．若，则符合条件的有两个
B．若，则
C．若，则是钝角三角形
D．若，则为等腰三角形
10．在中，角所对的边分别是，下列命题正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则此三角形有两解
C．若，则为等腰三角形
D．若，且，则该三角形内切圆面积的最大值是
11．下列选项中其值等于的是（ ）
A． B．
C． D．
12．初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（ ）

A．舰艇所需的时间为1小时 B．舰艇所需的时间为2小时
C． D．
三、填空题
13．在中，内角的对边分别为，且，则的最小值为 .
14．在中，内角对应的边分别为，已知．则角 ；若，则的值为
15．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称为的余正弦函数．若函数的最小正周期为，则 ．
四、解答题
16．如图，在平面四边形ABCD中，，．

(1)若，，求的值；
(2)若，，求四边形ABCD的面积．
17．已知的内角的对边分别为，角的平分线交于点，且．
(1)求角；
(2)若的周长为15，求的长．
18．如图，已知直线，是，之间的一定点并且点到，的距离分别为，，是直线上一动点，作，且使与直线交于点.设.
(1)写出面积关于角的函数解析式；
(2)画出上述函数的图象；并根据图象求的最小值；
(3)证明函数的图象关于对称.
19．如图．在锐角中，边上的中线长为，且，．

(1)求边的长；
(2)求的面积．
20．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的值；
(3)若的面积为，，求的周长和外接圆的面积.
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参考答案：
1．D
【分析】诱导公式、同角三角函数的基本关系
【详解】方法一：因为，所以．又因为，
所以，所以．
方法二：因为，所以．因为，
所以．
所以．
故选:D．
2．C
【分析】对A、B：举出反例即可得；对C、D：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.
【详解】由题意可得、，，
对A：当时，，则，，
此时，故A错误；
对B：当时，，故B错误；
对C、D：，由，
故，则，即，
故C正确，D错误.
故选：C.
3．B
【分析】由余弦定理可判定选项A，利用正弦定理和大边对大角可判断选项B，C，D.
【详解】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误；
对于B，根据正弦定理得，，
又，，B有两解，故B符合题意；
对于C，由正弦定理：得：，
C只有一解，故C不符合题意.
对于D，根据正弦定理得，，
又，，D只有一解，故D不符合题意.
故选：B
4．C
【分析】根据正弦定理及余弦定理解三角形即可得解.
【详解】在中，由正弦定理得，
得.
由余弦定理得，
化简整理得，得.
故选：C
5．A
【分析】先根据已知条件，利用正弦定理及同角三角函数的基本关系求出角，然后利用余弦定理、基本不等式求出，并且结合得到的表达式，即可求得的表达式，同理可得的表达式，进而得到的最小值.
【详解】由及可得，由正弦定理可得，
又，故,即，而,故；
由余弦定理得，故，
故，当且仅当时，取等号；
设为的中点，连接，则G在上，
则，，
由可得，
则，
同理可得，
故
，当且仅当时，取等号，
故的最小值为，
故选：A
【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边、角、面积的最值（范围）问题，常利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式等建立，（为三角形的边）等之间的等量关系与不等关系，然后利用函数知识或基本不等式求解.
6．A
【分析】由向量表达式可知动点覆盖图形为平行四边形，利用垂心，通过解三角形求出，即可得面积.
【详解】延长分别交于，如图，
由为垂心，可知在直角三角形中，，
，
由余弦定理可得，
由四点共圆及正弦定理可得，，
由余弦定理，，
所以，
所以.
所以，所以，
所以，
，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形为以为邻边的平行四边形，
所以面积.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用垂心，结合四点共圆，正弦定理求出四点所在圆的直径是解题的关键所在.
7．C
【分析】利用两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，设，利用正弦定理求出的长，进而可得出的长，利用余弦定理可求出的长，再求出的长，即可得解.
【详解】在中，，，
则，整理可得，
因为，则，所以，，则，故，
如下图所示：
设，因为，则，，
在中，由正弦定理可得，即，可得，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
所以，，
因为的平分线与交于点，则，
则，故，
故选：C.
8．C
【分析】由已知条件求得，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.
【详解】设，
因为，所以，①
因为，且，
所以，
由正弦定理可得，②
又，所以，③
由①，②，③解得，
由余弦定理，所以，
，
因为点三点共线，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C
9．BC
【分析】对A，利用余弦定理即可判断；对B，根据大角对大边并结合正弦定理即可判断；对C，根据正、余弦定理即可判断；对D，分类讨论即可判断.
【详解】对于选项A：由余弦定理可得：
，
即，只有一解，故A错误；
对于选项B：若，则，由正弦定理可得成立.故B正确；
对于选项C：若，由正弦定理得，
由余弦定理，且
所以为钝角，即是钝角三角形，故C正确；
对于选项D：因为在三角形中，，
故若，则或，可得或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故D不正确，
故选：BC.
10．ABD
【分析】对于A，由可得，利用数量积的定义化为，从而得到，知为等腰三角形；对于B，由余弦定理可得到关于的方程，解得有两解，从而此三角形有两解；对于C，用正弦定理将条件化为，即，然后得到或，由此即可进一步判断；对于D，化简为，然后证明内切圆半径，从而得到.
【详解】对于A，若，则，从而，即，
即，故，从而为等腰三角形，A正确；
对于B，若，则，而，即，解得或，故此三角形有两解，B正确；
对于C，注意到等价于，而这又等价于，所以或，也就是为等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D，已知条件为，且，而等价于，即，
对该等式通分得到，即，即.
这即为，由知该等式即为.
从而条件等价于且，从而该三角形内切圆半径.
又由于，当且仅当时等号成立，
从而，故该三角形的内切圆面积.
验证知当时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：D选项的关键是得出内切圆的半径，由此即可顺利得解.
11．AC
【分析】根据二倍角的余弦公式，化简计算，即可得出A；根据两角和的余弦公式，化简计算，即可判断B；根据二倍角的正切公式，化简计算，即可判断C；根据两角差的余弦公式，展开，化简计算，即可判断D.
【详解】对于A项，，故A正确；
对于B项，，故B错误；
对于C项，，故C正确；
对于D项，，
所以，故D错误.
故选：AC.
12．AD
【分析】设出所需时间，分别表示,在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求得的值，即可判断结果.
【详解】

如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则.
根据余弦定理得，解得或（舍去），
故.由正弦定理得，解得
故选：AD.
13．
【分析】由正弦定理及条件可得，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】由正弦定理得，，
因为，所以，
当且仅当即等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
14． //
【分析】利用正弦定理计算可得第一空，利用余弦定理可得第二空.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
又因为，所以．
（2）在中，由余弦定理得，
代入数据解得，所以．
故答案为：；.
15．
【分析】由余正弦函数的定义结合辅助角公式化简，由函数的最小正周期求出，即可求出，再由两角差的余弦公式和正弦公式求解即可.
【详解】由题意，．
所以
，
故函数的最小正周期，解得．
由可得，即，
所以，则，所以．
所以
．
故答案为：.
16．(1)
(2)
【分析】（1）中求出，在中，由正弦定理求出的值；
（2）和中，由余弦定理求出和，得和，进而可求四边形ABCD的面积．
【详解】（1）在中，，，则，
，
在中，由正弦定理得，
.
（2）在和中，由余弦定理得
，
，
得，又，得，
则，，
四边形ABCD的面积
.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理即可求解；
（2）利用余弦定理解得，再根据和三角形的面积公式列式求解即可.
【详解】（1）由题意根据正弦定理得，即，
利用余弦定理可知，
因为中，所以.
（2）因为，所以，

在中，由余弦定理可得：，解得，
因为在中，有，
又因为为角的平分线，所以，
所以，即，
解得．
18．(1)， .
(2)，图像见解析.
(3)证明见解析.
【分析】（1）由解直角三角形可得面积的解析式；
（2）根据（1）结果可得图象，由图象可得最小值；
（3）可证，故可得图象的对称性.
【详解】（1）在直角三角形中，，
同理，
故，其中.
（2） 当时，，故在上递增，
故在上递减，同理在上递增，
故的图象如图所示:
由图像可得.
（3），，
故函数的图象关于对称.
19．(1)
(2)
【分析】（1）结合诱导公式利用正弦定理即可求解；
（2）利用余弦定理和面积公式求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，所以在锐角中，，
由正弦定理得，，
即，解得.
（2）由（1）知， ，
因为，为锐角三角形，所以，
由余弦定理得，，
解得或，
又，
所以，，
所以的面积为.
20．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解即可；
（2）由同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和正弦公式求解；
（3）由三角形面积公式及余弦定理求出，再由正弦定理求外接圆半径即可.
【详解】（1）由，
由正弦定理，
从而有，
，，
，.
（2）因为，
所以，
.
（3）因为，
所以，
由余弦定理得：，
即，
解得，
所以的周长为，
由，
所以外接圆的面积.
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