第七章三角函数综合复习训练（含解析）2023-2024学年沪教版（2020）高中数学必修第二册

第七章三角函数综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若函数的图象上的任意一点P的坐标为，且满足条件，则称函数具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（ ）
A． B． C． D．
2．定义域为的偶函数满足；对任意，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数在下列哪个区间上单调递增（ ）
A． B． C． D．
4．把函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的图象如图所示，直线经过函数图象的最高点和最低点，则（ ）

A． B．0 C． D．
6．已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则θ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
8．已知函数在有且仅有两个零点，且，则图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．关于函数有以下四个结论，其中正确的有（ ）
A．是偶函数
B．的最小值为
C．方程在区间上所有根的和等于
D．函数在定义域上有11个零点.
10．函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则（ ）
A． B．是偶函数
C．的图像关于点中心对称 D．当时，取到最小值
11．已知定义在R上的函数满足，，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数
C．的值域为 D．在区间内无零点
12．已知在区间上单调递增，则的取值可能在（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点（不在坐标轴上）．过点作轴的垂线，垂足为．若记为点到直线的距离，则的最大值为 ，此时的一个取值为 .
14．已知函数，则 ；函数的图象的一个对称中心的坐标为 .
15．如图所示，海尔学校要在操场上一个扇形区域内开辟一个矩形花园ABCD，现已知扇形圆心角为，扇形半径为10，则该矩形花园的面积的最大值为 ．
四、解答题
16．已知函数，最小正周期为．
(1)求的值；
(2)求函数的最大值及取得最大值时自变量的取值集合；
(3)求函数的单调递减区间．
17．已知函数（，）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象过点．
(1)求的解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．
18．已知函数，将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象.
(1)写出函数的解析式；
(2)试判断，，的大小；
(3)如果函数的定义域为，若对于任意，，，分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”.记，当定义域为时，为“三角形函数”，求实数的取值范围.
19．已知函数，的最大值为.
(1)求的值；
(2)将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．
20．已知定义在上的函数的图象关于直线对称，当时，.
(1)求的值；
(2)求的函数表达式；
(3)如果关于的方程有解，记为方程所有解的和，求.
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参考答案：
1．C
【分析】作出不等式所表示的平面区域，根据图象分布的范围即可求解.
【详解】作出不等式所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
若函数具有性质S，则函数的图象必须完全分布在阴影区域①或②部分，
易知的图象分布在区域①和③部分，
的图象分布在区域②和④部分，
的图象分布在区域①和②部分，
的图象分布在①、②和③部分.
故选：C．
2．C
【分析】由恒成立可知图象以为对称轴，周期，作出的图像，使得的图象与的图象至少有三个交点即可.
【详解】由，得，以代，得，
由为偶函数，得，则，于是图象关于对称，
在，令，得，即，因此函数周期为2，
当时，，，函数在递增，
当时，，，在递减，
因此当时，，由周期为2，得函数在上的最小值为，
函数在上至少有三个零点，即函数与的图象至少有3个公共点，
在同一坐标平面内作出函数与的图象，如图，

观察图象知，当，且，即时，的图象与的图象至少有三个交点，
所以实数的取值范围是.
故选：C
3．C
【分析】先求出函数的增区间，结合选项可得答案.
【详解】令，，得，
令可得，的一个增区间为，结合选项可得C符合题意.
故选：C
4．B
【分析】利用反推法和三角函数的图象变换求解即可.
【详解】由题意可知，要得到，要将向左平移个单位长度，得到，
再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到，
故选：B
5．D
【分析】根据图象得到，，从而得到函数最小正周期，故，代入特殊点坐标，得到，得到函数解析式，结合函数的周期求出答案.
【详解】由的解析式可知，，
中，令得，令得，
故，，即，．
故的周期．即，解得，
故，则，得，．
因为，所以．则．
，，，
，，，
，，……，
因为，．
所以．
故选：D．
6．B
【分析】先利用辅助角公式化简得，再利用三角函数的图象与性质及图象的变换法则可得，又由为偶函数，从而可求解.
【详解】由题意得，
由三角函数图象的变换法则可得，
由为偶函数，得，，得，，
又，所以当时，取得最小值，故B正确.
故选：B.
7．A
【分析】利用诱导公式将变为正弦型函数，再根据三角函数平移规则判断即可.
【详解】因为，
所以将函数向左平移个单位长度得到：
，故A符合题意；
将函数向左平移个单位长度得到：
，故B不符合题意；
将函数向右平移个单位长度得到：
，故C不符合题意；
将函数向右平移个单位长度得到：
，故D不符合题意；
故选：A
8．C
【分析】由函数的零点情况，求出的取值范围，再利用给定等式分析判断函数图象的对称轴即可得解.
【详解】由函数在有且仅有两个零点，
得，解得，则，
又，而，当时，，，
由，得，当时，，
即函数在有3个零点，不符合题意，
因此是函数图象的一条对称轴，即，解得，
当时，，当时，，均不符合题意；
当时，，得，则图象的对称轴为.
故选：C
【点睛】关键点睛：涉及三角函数在指定区间上的零点个数求参数范围，利用五点法作图思想分析周期情况是解题的关键.
9．AD
【分析】分析函数奇偶性判断A；求出最小值判断B；求出在上方程根的和判断C；数形结合确定零点个数判断D.
【详解】对于A，函数的定义域为R，，是偶函数，A正确；
对于B，当时，，显然，
则只需讨论即可，当时，，当且仅当或时取等号，
当时，，当且仅当时取等号，此时的最小值为0，
于是当时，的最小值为0，由于是偶函数，因此在R的最小值为0，B错误；
对于C，当时，令，，
由，得当时，，解得，
当时，，解得，则在上，的所有根的和为，
因此在上方程的所有根的和为，C错误；
对于D，函数的定义域为R，则函数在R上的零点个数，
即为函数的图象与函数的图象公共点个数，
当时，，即0是函数的一个零点，
当时，在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，

当时，函数与的图象有5个公共点，
当时，，而，
当时，，且当时，，而，
又直线与函数图象的一个交点为，而，
因此函数与的图象在上无公共点，
当时，，，此时函数与的图象无公共点，
从而函数与的图象在上有且只有5公共点，
由于函数与都是偶函数，则函数与的图象在上有且只有5公共点，
所以函数在定义域上有11个零点，D正确.
故选：AD
10．BC
【分析】利用三角变换和图象变换得到，代入计算后可判断AD的正误，根据定义可判断B的正误，利用整体法可求判断C的正误.
【详解】
，
故，
对于A，，故A错误.
对于B，，而，故为偶函数，故B正确.
对于C，令，则，
故的图像的对称中心对称为，当时，对称中心为，故C正确.
对于D，，故为取到最大值，故D错误.
故选：BC.
11．ABD
【分析】对于A：根据奇函数定义整理判断；对于B：根据周期函数的定义整理判断；对于C：利用正弦函数的有界性分析判断，注意等号成立的条件；对于D：结合对称性分析判断.
【详解】，，即，
故是奇函数，A正确；
，，
即，故是以为周期的周期函数，B正确；
当时，，注意到等号不能同时成立，
∴，即，
再由的对称性、周期性，可知不是的最大值，C错误；
当时，，则，
再由的图象关于直线对称，知在内恒正，
又，
故在区间内无零点，D正确.
故选：ABD.
12．AC
【分析】借助辅助角公式可将函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得的范围.
【详解】，
当，由，则，
则有，，
解得，，
即，，
有，，即，即或，
当时，有，时，有，
故的取值可能在或.
故选：AC.
13． /0.5 （答案不唯一）
【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义得，再利用等面积法求得，借助正弦函数性质求得答案.
【详解】依题意，，且，，
由，得，
当且仅当或，即，时取等号，
所以的最大值为，.
故答案为：；
14． （答案不唯一）
【分析】根据函数表达式，代入即可求出 的函数值，根据条件，先求出使的一个取值，再证明是的一个对称中心即可.
【详解】因为，所以，
因为定义域为，当时，，
下证是的一个对称中心，
在上任取点，其关于对称的点为，
又，
所以函数的图象的一个对称中心的坐标为，
故答案为：；（答案不唯一）
15．
【分析】连接，令，由此求出矩形面积的函数关系，再结合三角函数的性质求出最大值.
【详解】连接，令，则，
显然，，
因此矩形的面积
，
当且仅当，即时取等号，
所以该矩形花园的面积的最大值为.
故答案为：
16．(1)
(2)函数的最大值为2，
(3)，
【分析】（1）根据二倍角公式和辅角公式对函数进行化简，可得，再根据周期公式即可求出的值；
（2）令，，由此即可求出结果；
（3）令，由此即可求出结果.
【详解】（1）函数
，
因为函数的最小正周期为，所以．
（2）函数的最大值为，
此时，，
得，；
故函数的最大值为2，取得最大值时自变量的取值集合为；
（3）令，，
得，，
故函数的单调递减区间为，．
17．(1)；
(2)（）；
(3)或．
【分析】（1）由条件易得，代入点，结合，可求出即得；
（2）将看成整体角，利用正弦函数的递增区间，即可计算得到的递增区间；
（3）由图象经伸缩平移变换得到，取，由，可得，结合函数图象，使其与直线在上只有一个交点可得的取值范围.
【详解】（1）由的图象与轴的相邻两个交点之间的距离为，即，即；
则，那么．
．图象过点，代入可得，
又因为，则，可得，
故函数解析式为；
（2）因的单调递增区间为，（），
由，解得，（）
函数的单调递增区间为（）；
（3）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，即，
不妨取，由，可得.
在上只有一个实数解，即函数图象与直线在上只有一个交点，如图.

由的图象可知：须使或，故实数的取值范围为或．
18．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数图象变换求出解析式即得.
（2）利用差角的正弦公式，三角函数的性质，结合不等式性质判断的大小及所在区间，再利用余弦函数单调性比较得解.
（3）由（1）求出函数在上的最大最小值，再利用“三角形函数”定义分类列出不等式求解即得.
【详解】（1）依题意，将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，
再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
所以函数的解析式为.
（2）显然，而，
且，则，
又，而，则，
因此，又函数在上单调递减，
所以，即.
（3）由（1）知，，当时，，则，
即，依题意，为“三角形函数”，当且仅当，
当时，，恒有，，满足，则；
当时，，显然有，
由，得，解得，因此；
当时，，必有，即，
由，得，解得，因此，
所以实数的取值范围是.
19．(1)
(2)
【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质求解即可；
（2）利用三角函数的平移公式求出，再根据正弦函数的图象和性质求解即可.
【详解】（1）因为，
其中，，
所以，
又因为，解得.
（2）由（1）可得，
将的图象向右平移个单位可得，
由得，
即函数的单调增区间为.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由对称性可将转化为，转化为，由已知可得解；
（2）利用对称性可得当时的解析式，从而得到函数的解析式；
（3）画出函数的图像，通过图像可得解．
【详解】（1）因为定义在上的函数的图象关于直线对称，
所以，则,
.
（2）因为，所以，所以，
又当时，函数，所以.
（3）作函数的图象如图所示，
显然，若有解，则．
①若有两解，；
②若有三解，；
③若有四解，；
④若有两解，.
综上所述，当或时，有两解，；
当时，有三解，；
当时，有四解，.
所以
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