第八章平面向量综合复习训练（含解析）2023-2024学年沪教版（2020）高中数学必修第二册
文档属性
| 名称 | 第八章平面向量综合复习训练（含解析）2023-2024学年沪教版（2020）高中数学必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-11 18:50:23 | ||
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文档简介
第八章平面向量综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，是的外心，为的中点，是直线上异于M、O的任意一点，则（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
2．已知点为三角形的外接圆圆心，，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知两个向量与共线，下列说法正确的是（ ）
A．与平行 B．或
C．与方向相同 D．存在实数，使得
4．已知圆O的半径为1，A，B，C为圆O上三点，满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
7．已知点A、B、C是平面上不共线的三点，点为的外心，动点满足条件： (，)，则点的轨迹一定通过的（ ）．
A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点
8．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A． B．1 C． D．7
二、多选题
9．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为1
B．若，则
C．若，与垂直的单位向量只能为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
10．有下列说法，其中正确的说法为（ ）
A．若，，则
B．若，则P是三角形的垂心
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若，则存在唯一实数使得
11．梯形中，，，，与交于点，点在线段上，则（ ）
A．
B．
C．为定值8
D．若，则的最小值为
12．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（ ）．
A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时，
C．当时，船的航行时间为12分钟 D．当时，船的航行距离为
三、填空题
13．在中，是的中点，，点为线段上的一点，则的最大值为 .
14．已知向量，且，那么 ．
15．如图，在中，，为线段上的动点，与相交于点，设，，则的最小值为 ．
四、解答题
16．在等腰梯形中，，，，点F在线段AB上且．
(1)用和表示；
(2)若点为线段上的动点，且，求的最大值；
(3)若点为直线上的动点，求的最大值．
17．已知向量，，且与的夹角为．
(1)求及；
(2)求在上的投影向量的坐标；
(3)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
18．在中，为的中点，在边上，交于，且，设．
(1)用表示；
(2)，求；
(3)若在上，且设，若，求的范围．
19．如图，在中，，点是线段上一点．
(1)若点是线段的中点，试用和表示向量；
(2)若，求实数的值．
20．如图，点是中边的中点，.
(1)若点是的重心，试用表示；
(2)若点是的重心，，求.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解.
【详解】
因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，
所以，，设，
则
，
又是的外心，所以
，
所以.
故选：B
2．A
【分析】作出图象，结合向量的数量积的定义求解即可.
【详解】如图所示：取中点，连接，则,
所以，
所以
所以.
故选：A.
3．A
【分析】根据向量共线的概念逐一判断即可.
【详解】选项A：与共线，则与平行，A说法正确；
选项B：与共线，且模长相等时，满足或，B说法错误；
选项C：与共线，则与方向相同或相反，C说法错误；
选项D：与共线，当是非零向量时，存在实数，使得，D说法错误；
故选：A
4．B
【分析】利用向量数量积的定义与运算法则，结合转化法将所求化为，从而得解.
【详解】依题意，取的中点为，
则，，，
所以
，
因为，所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用的中点与向量的数量积运算，将问题进行转化，从而得解.
5．D
【分析】根据已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，结合图象可得，从而可得，接下来方法一，直接对进行平方化简，由二次函数最值可解；方法二，由三点共线基本定理，结合三角形面积公式和余弦定理可解.
【详解】和相互垂直，
则，则，
结合图象，，
则 ，
因为恒成立，则，
即，则，
法（一）：
对称轴时：
，即
法（二）：，因为，
所以向量的终点共线（起点重合），
则的面积，
，所以.
故选:．
【点睛】关键点点睛：数形结合发现，，则 ，因为恒成立，则.
6．B
【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得的坐标，即可求解.
【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系，
由，，则，
所以，，，设，
则，，
则，
当时，取得最小值，此时，.
故选：B
7．D
【分析】根据向量的运算，对条件进行化简，得到，根据三点共线的充要条件知道、、三点共线，从而得到点的轨迹一定经过边的中点.
【详解】取的中点D，连接，则，
∵，
∴，
则，即
∴P，C，D三点共线，
因为，所以，
于是点P的轨迹一定经过边的中点．
故选：D.
8．A
【分析】得出、后借助向量数量积的坐标运算法则计算即可得.
【详解】由图可得，，故.
故选：A.
9．AB
【分析】对A：根据模的运算公式代入计算，利用二次函数性质即可判断；对B：利用向量垂直的坐标运算性质即可判断；对C：举反例即可判断；对D：根据向量夹角是钝角，得到且向量与向量不反向共线，即可判断．
【详解】对A：，则当时，取最小值1，故A正确；
对B：若，则，解得，故B正确；
对C：若,，易知也是与垂直的单位向量，故C错误；
对D：若与的夹角为钝角，则，
且向量与向量不反向共线，即，解得且，故D错误；
故选：AB．
10．BC
【分析】利用零向量与共线向量的定义可判断ACD，利用向量数量积的运算法则可判断B.
【详解】对于A，当时，与不一定共线，故A错误；
对于B，由，得，
所以，，
同理，，故是三角形的垂心，故B正确；
对于C，由共线向量的性质可知，若，则与共线且反向，故C正确；
对于D，当，时，显然有，但此时不存在，故D错误.
故选：BC
11．AC
【分析】由平面向量的线性运算即可判断A，由线段的比值结合三角形的面积公式即可判断B，由平面向量数量积的运算律代入计算，即可判断C，由平面向量三点共线定理结合基本不等式代入计算，即可判断D
【详解】
由几何图形关系可得，
因为，所以．因为，
所以，
所以，故A正确；
因为，所以，因为，所以，
所以，故B错误；
因为，所以在上的投影向量为为定值，故C正确；
因为，且三点共线，
所以，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故D错误．
故选：AC．
12．AB
【分析】对于A，首先，从而要船的航行时间最短时，则只需最大，由此即可判断；对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可验算；对于C，由公式即可验算；对于D，由题意，根据向量模的运算公式以及数量积的运算律即可验算.
【详解】对于A，船的航行时间为（），若要船的航行时间最短时，则最大，也就是说当且仅当时，船的航行时间最短时，故A正确；
对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，从而，故B正确；
对于C，当时，船的航行时间为小时，也就是6分钟，故C错误；
对于D，由题意设位移分量为，位移为，
则，其中（小时），
又因为，，和的夹角为，
从而，故D错误.
故选：AB.
关键点点睛：判断B选项的关键是当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可顺利得解.
13．
【分析】依题意可得，设，，则，根据数量积的运算律及二次函数的性质计算可得.
【详解】因为是的中点，点为上的一点，所以，
又，设，，则，
所以，
当时，此时，
当时，此时，
当时，与共线同向，
所以，
当且仅当时取等号，
综上可得的最大值为.
故答案为：
14．5
【分析】根据向量垂直的坐标表示建立方程，解出后得到，继而利用向量模的坐标表示进行计算即可.
【详解】因为向量，且，
所以，解得，
故，
则，
所以，
故答案为：5.
15．1
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的推论求出的关系，再借助对勾函数性质求出最小值.
【详解】在中，由为线段上的动点，，得，
则，
则，又，于是，
因为点共线，因此，解得，
令，则，，
显然对勾函数在上单调递增，则当时，，，
所以当时，取得最小值1.
故答案为：1
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可；
（2）证明，以点为原点建立平面直角坐标系，设，将分别用表示，进而可得出答案；
（3）先求出的坐标，再根据数量积的坐标公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为，
则；
（2）如图，取的中点，
则，
又因为，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，
又，所以为的中点，所以，
如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
则，
故，
所以，
设，
所以，
所以，所以，
所以，
所以的最大值为；
（3）由（2）得，
，
，
所以
，
当时，取得最大值，
所以的最大值为.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
17．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的夹角坐标公式列出方程，求解得，代入向量坐标计算；
（2）因在上的投影向量为，代入（1）中求得的，，计算和即得；
（3）根据两向量的数量积大于0，且两向量不共线,列出不等式组求解即得.
【详解】（1）由于与的夹角为，
所以，即，解得，
则，，，
所以；
（2）由（1）知，，在上的投影向量为，
即在上的投影向量的坐标为；
（3）由（1）知，，则，
，
由于与所成的角是锐角，
所以,即：，
解得且，即实数的取值范围为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案；
（2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案.
（3）设，结合及（1）可得，即可得答案.
【详解】（1）因P,R,C共线，则存在使，
则，整理得.
由共线，则存在使，
则，整理得.
根据平面向量基本定理，有，
则.
（2）由（1），，，
则，，.
则，
所以.
（3）由（1）知，则.
由共线，设.
又.
则
.
因，则，则，
所以.
19．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；
（2）根据向量线性运算利用表示，结合平面向量基本定理列方程求的值.
【详解】（1）因为点是线段的中点，且，
所以．
所以；
（2）设，则，
又，所以，
因为，所以，，
所以，．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由重心的几何特性以及中线的特点直接分解向量即可；
（2）首先分解向量，然后根据数量积的运算律即可求解.
【详解】（1）因为点是的重心，
所以.
（2）
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，是的外心，为的中点，是直线上异于M、O的任意一点，则（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
2．已知点为三角形的外接圆圆心，，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知两个向量与共线，下列说法正确的是（ ）
A．与平行 B．或
C．与方向相同 D．存在实数，使得
4．已知圆O的半径为1，A，B，C为圆O上三点，满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
7．已知点A、B、C是平面上不共线的三点，点为的外心，动点满足条件： (，)，则点的轨迹一定通过的（ ）．
A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点
8．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A． B．1 C． D．7
二、多选题
9．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为1
B．若，则
C．若，与垂直的单位向量只能为
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
10．有下列说法，其中正确的说法为（ ）
A．若，，则
B．若，则P是三角形的垂心
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若，则存在唯一实数使得
11．梯形中，，，，与交于点，点在线段上，则（ ）
A．
B．
C．为定值8
D．若，则的最小值为
12．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（ ）．
A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时，
C．当时，船的航行时间为12分钟 D．当时，船的航行距离为
三、填空题
13．在中，是的中点，，点为线段上的一点，则的最大值为 .
14．已知向量，且，那么 ．
15．如图，在中，，为线段上的动点，与相交于点，设，，则的最小值为 ．
四、解答题
16．在等腰梯形中，，，，点F在线段AB上且．
(1)用和表示；
(2)若点为线段上的动点，且，求的最大值；
(3)若点为直线上的动点，求的最大值．
17．已知向量，，且与的夹角为．
(1)求及；
(2)求在上的投影向量的坐标；
(3)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
18．在中，为的中点，在边上，交于，且，设．
(1)用表示；
(2)，求；
(3)若在上，且设，若，求的范围．
19．如图，在中，，点是线段上一点．
(1)若点是线段的中点，试用和表示向量；
(2)若，求实数的值．
20．如图，点是中边的中点，.
(1)若点是的重心，试用表示；
(2)若点是的重心，，求.
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第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解.
【详解】
因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，
所以，，设，
则
，
又是的外心，所以
，
所以.
故选：B
2．A
【分析】作出图象，结合向量的数量积的定义求解即可.
【详解】如图所示：取中点，连接，则,
所以，
所以
所以.
故选：A.
3．A
【分析】根据向量共线的概念逐一判断即可.
【详解】选项A：与共线，则与平行，A说法正确；
选项B：与共线，且模长相等时，满足或，B说法错误；
选项C：与共线，则与方向相同或相反，C说法错误；
选项D：与共线，当是非零向量时，存在实数，使得，D说法错误；
故选：A
4．B
【分析】利用向量数量积的定义与运算法则，结合转化法将所求化为，从而得解.
【详解】依题意，取的中点为，
则，，，
所以
，
因为，所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用的中点与向量的数量积运算，将问题进行转化，从而得解.
5．D
【分析】根据已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，结合图象可得，从而可得，接下来方法一，直接对进行平方化简，由二次函数最值可解；方法二，由三点共线基本定理，结合三角形面积公式和余弦定理可解.
【详解】和相互垂直，
则，则，
结合图象，，
则 ，
因为恒成立，则，
即，则，
法（一）：
对称轴时：
，即
法（二）：，因为，
所以向量的终点共线（起点重合），
则的面积，
，所以.
故选:．
【点睛】关键点点睛：数形结合发现，，则 ，因为恒成立，则.
6．B
【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得的坐标，即可求解.
【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系，
由，，则，
所以，，，设，
则，，
则，
当时，取得最小值，此时，.
故选：B
7．D
【分析】根据向量的运算，对条件进行化简，得到，根据三点共线的充要条件知道、、三点共线，从而得到点的轨迹一定经过边的中点.
【详解】取的中点D，连接，则，
∵，
∴，
则，即
∴P，C，D三点共线，
因为，所以，
于是点P的轨迹一定经过边的中点．
故选：D.
8．A
【分析】得出、后借助向量数量积的坐标运算法则计算即可得.
【详解】由图可得，，故.
故选：A.
9．AB
【分析】对A：根据模的运算公式代入计算，利用二次函数性质即可判断；对B：利用向量垂直的坐标运算性质即可判断；对C：举反例即可判断；对D：根据向量夹角是钝角，得到且向量与向量不反向共线，即可判断．
【详解】对A：，则当时，取最小值1，故A正确；
对B：若，则，解得，故B正确；
对C：若,，易知也是与垂直的单位向量，故C错误；
对D：若与的夹角为钝角，则，
且向量与向量不反向共线，即，解得且，故D错误；
故选：AB．
10．BC
【分析】利用零向量与共线向量的定义可判断ACD，利用向量数量积的运算法则可判断B.
【详解】对于A，当时，与不一定共线，故A错误；
对于B，由，得，
所以，，
同理，，故是三角形的垂心，故B正确；
对于C，由共线向量的性质可知，若，则与共线且反向，故C正确；
对于D，当，时，显然有，但此时不存在，故D错误.
故选：BC
11．AC
【分析】由平面向量的线性运算即可判断A，由线段的比值结合三角形的面积公式即可判断B，由平面向量数量积的运算律代入计算，即可判断C，由平面向量三点共线定理结合基本不等式代入计算，即可判断D
【详解】
由几何图形关系可得，
因为，所以．因为，
所以，
所以，故A正确；
因为，所以，因为，所以，
所以，故B错误；
因为，所以在上的投影向量为为定值，故C正确；
因为，且三点共线，
所以，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故D错误．
故选：AC．
12．AB
【分析】对于A，首先，从而要船的航行时间最短时，则只需最大，由此即可判断；对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可验算；对于C，由公式即可验算；对于D，由题意，根据向量模的运算公式以及数量积的运算律即可验算.
【详解】对于A，船的航行时间为（），若要船的航行时间最短时，则最大，也就是说当且仅当时，船的航行时间最短时，故A正确；
对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，从而，故B正确；
对于C，当时，船的航行时间为小时，也就是6分钟，故C错误；
对于D，由题意设位移分量为，位移为，
则，其中（小时），
又因为，，和的夹角为，
从而，故D错误.
故选：AB.
关键点点睛：判断B选项的关键是当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可顺利得解.
13．
【分析】依题意可得，设，，则，根据数量积的运算律及二次函数的性质计算可得.
【详解】因为是的中点，点为上的一点，所以，
又，设，，则，
所以，
当时，此时，
当时，此时，
当时，与共线同向，
所以，
当且仅当时取等号，
综上可得的最大值为.
故答案为：
14．5
【分析】根据向量垂直的坐标表示建立方程，解出后得到，继而利用向量模的坐标表示进行计算即可.
【详解】因为向量，且，
所以，解得，
故，
则，
所以，
故答案为：5.
15．1
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的推论求出的关系，再借助对勾函数性质求出最小值.
【详解】在中，由为线段上的动点，，得，
则，
则，又，于是，
因为点共线，因此，解得，
令，则，，
显然对勾函数在上单调递增，则当时，，，
所以当时，取得最小值1.
故答案为：1
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可；
（2）证明，以点为原点建立平面直角坐标系，设，将分别用表示，进而可得出答案；
（3）先求出的坐标，再根据数量积的坐标公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为，
则；
（2）如图，取的中点，
则，
又因为，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，
又，所以为的中点，所以，
如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
则，
故，
所以，
设，
所以，
所以，所以，
所以，
所以的最大值为；
（3）由（2）得，
，
，
所以
，
当时，取得最大值，
所以的最大值为.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
17．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的夹角坐标公式列出方程，求解得，代入向量坐标计算；
（2）因在上的投影向量为，代入（1）中求得的，，计算和即得；
（3）根据两向量的数量积大于0，且两向量不共线,列出不等式组求解即得.
【详解】（1）由于与的夹角为，
所以，即，解得，
则，，，
所以；
（2）由（1）知，，在上的投影向量为，
即在上的投影向量的坐标为；
（3）由（1）知，，则，
，
由于与所成的角是锐角，
所以,即：，
解得且，即实数的取值范围为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案；
（2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案.
（3）设，结合及（1）可得，即可得答案.
【详解】（1）因P,R,C共线，则存在使，
则，整理得.
由共线，则存在使，
则，整理得.
根据平面向量基本定理，有，
则.
（2）由（1），，，
则，，.
则，
所以.
（3）由（1）知，则.
由共线，设.
又.
则
.
因，则，则，
所以.
19．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；
（2）根据向量线性运算利用表示，结合平面向量基本定理列方程求的值.
【详解】（1）因为点是线段的中点，且，
所以．
所以；
（2）设，则，
又，所以，
因为，所以，，
所以，．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由重心的几何特性以及中线的特点直接分解向量即可；
（2）首先分解向量，然后根据数量积的运算律即可求解.
【详解】（1）因为点是的重心，
所以.
（2）
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答案第1页，共2页
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