第九章复数综合复习训练（含解析）2023-2024学年沪教版（2020）高中数学必修第二册

第九章复数综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数的共轭复数为，则（ ）
A． B． C．4 D．2
2．已知，（i为虚数单位），则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知，的共轭复数为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．已知复数的实部为2，且，则虚部为（　　）
A． B． C． D．
5．复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．复数，（，是虚数单位）对应的点在第二象限， 则（ ）
A．或 B．
C． D．
7．若复数为纯虚数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为虚数单位，，若复数，，的共轭复数为，且，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
二、多选题
9．设，，是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．，则 D．若，则
10．若（为虚数单位），则下列说法正确的为（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．，
B．
C．若，，则的最小值为1
D．若是关于x的方程的根，则
12．已知复数，其中为实数，为虚数单位，则（ ）
A．若为纯虚数，则或
B．若复平面内表示复数的点位于第四象限，则
C．若，则的虚部为
D．若，则
三、填空题
13．已知为虚数单位，若复数z满足，则z的虚部为 ．
14．实数x，y满足，且，则的值是 .
15．已知，用复数的三角形式表示它的共轭复数 ．
四、解答题
16．在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是z的共轭复数）.
(1)求m的值；
(2)复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
17．已知复数的实部与虚部的差为．
(1)若，且，求复数的虚部；
(2)当取得最小值时，求复数的实部．
18．复数，其中.
(1)若复数为实数，求的值；
(2)若复数为纯虚数，求的值.
19．设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”．
(1)判断是否是的“可分离子集”，并说明理由；
(2)设复数z满足，其中分别表示z的实部和虚部．证明：是的“可分离子集”当且仅当．
20．设是虚数，
(1)求证为实数的充要条件为；
(2)若，推测为实数的充要条件；
(3)由上结论，求满足条件，及实部与虚部均为整数的复数．
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参考答案：
1．B
【分析】根据复数的运算法则与共轭复数定义计算即可得.
【详解】，则，
故.
故选：B.
2．A
【分析】根据复数相等与复数乘法运算可解.
【详解】因为，
所以.
故选：A
3．C
【分析】根据复数的乘、除法运算、共轭复数的概念和相等复数求出a、b，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】由题意知，
所以，解得，则，
则，所以.
故选：C．
4．B
【分析】根据复数的计算公式，结合复数的定义，即可求解.
【详解】由条件可知，，则，
则，则，
所以的虚部为.
故选：B
5．A
【分析】根据复数的运算法则求出复数即可判断.
【详解】由题意知，，
所以在复平面内所对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
6．C
【分析】借助复数运算法则及几何意义计算即可得.
【详解】由，
故有，解得.
故选：C.
7．A
【分析】根据复数的类型求出，再根据复数代数形式的乘方与除法运算法则计算可得；
【详解】因为复数为纯虚数，
所以且，解得，
又，，，，
则.
故选：A．
8．C
【分析】根据共轭复数的定义，求得，即可求得以及.
【详解】，则，则，.
故选：C.
9．AC
【分析】根据条件，结合共轭复数的定义，复数模的公式，复数的四则运算，即可求解.
【详解】对于A，若，则，，所以，故A正确；
对于B，令，，，所以，但，故B不正确；
对于C，设，，则，
则，
所以，
则，
所以，
则，故C正确；
对于D，令，，则，但，所以D不正确；
故选：AC
10．ACD
【分析】由共轭复数的定义、复数的模长公式、复数的运算对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，，则，
所以，故A正确；
对于B，
，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D.
【详解】对于A，，设复数，则，，
故，A正确；
对于B，由于，故，B错误；
对于C，，设，由于，则，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
故，即，
故，D正确，
故选：ACD
12．BD
【分析】根据选项中复数的特征，分别求解，即可判断选项.
【详解】A.若为纯虚数，则，得，故A错误；
B. 若复平面内表示复数的点位于第四象限，则，
解得：，故B正确；
C. 若，则，则，所以的虚部为，故C错误；
D. 若，则，得，所以，
则，故D正确.
故选：BD
13．/0.2
【分析】根据复数的乘法运算以及的周期性即可求解.
【详解】因为，
由可得，
故z的虚部为.
故答案为：
14．1
【分析】直接根据复数相等列式计算即可.
【详解】.
因为，
所以，解得
所以.
故答案为：.
15．
【分析】根据题意知得到答案.
【详解】因为，
故.
故答案为：
16．(1)；
(2)；
【分析】（1）结合复数的几何意义，再利用复数的乘法化简复数，由已知条件可求得实数m的值；
（2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解.
【详解】（1）由题意，复数，
所以，
则，
因为为纯虚数，所以，解得；
（2）复数，
因为复数在复平面对应的点在第一象限，
所以，解得
17．(1)6；
(2)
【分析】（1）由复数的实部、虚部的运算，可得，再结合题意可得，再确定虚部即可.
（2）先求出函数取最小值时对应的值，再代入即可得解.
【详解】（1）依题意，，由，得，而，解得，
则，，所以的虚部是6.
（2）由（1）知，，则当时，取得最小值，
此时，，所以的实部为.
18．(1)或
(2)
【分析】
（1）根据题意，由复数为实数列出方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由纯虚数的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由复数为实数可得，
解得或.
（2）由复数为纯虚数可得，
解得.
19．(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取复平面上的圆，得到复数1，2，3在复平面上对应的点都在圆内，复数i在复平面上对应的点在圆外，得到结论；
（2）先证明必要性，令复数，取复平面上的圆，得到是的“可分离子集”；再证明充分性，只需证当时，不是的“可分离子集”，得到结论.
【详解】（1）是，理由如下：
取复平面上的圆，
则复数1，2，3在复平面上对应的点都在圆内．
而，
故复数i在复平面上对应的点在圆外．
因此，是的“可分离子集”．
（2）必要性：当时，令复数，
取复平面上的圆，
则在复平面上对应的点在圆周上，
又，
故1在复平面上对应的点在圆外．
由，
，
知．
故在复平面上对应的点在圆外．
因此，当时，是的“可分离子集”．
充分性：只需证当时，不是的“可分离子集”．
假设存在复平面上的一个圆，使得在复平面上对应的点在圆内或圆周上，且1，在复平面上对应的点在圆外．
设圆心表示的复数为．再设．
由知
，
故．
由知
，
故．
进而，，
由知，
故，
进而．
这与矛盾，故所假设的圆在复平面上不存在．
即当时，不是的“可分离子集”，充分性证毕，
综上，是的“可分离子集”当且仅当.
【点睛】集合新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
20．(1)证明见解析
(2)
(3)或．
【分析】
（1）（必要性）设，带入中，化简为标准形式，再由实数的定义即可得到；（充分性）由，得出，带入中即可得到为实数.
（2）设带入中，再由实数的定义可知虚部为零，得到，即可知为实数的充要条件是.
（3）由题设知，为虚数，由（2）知，设，带入中，可得由题意即可求得的取值范围，进而求得实部与虚部均为整数的复数.
【详解】（1）（必要性）设，知
为实数，则，即易得．
（充分性）反之，若，
∴为实数．
（2）
设为实数．
易得，即．
反之，由得为实数．
∴为实数的充要条件是．
（3）
由题设知，为虚数，否则不等式不成立，且为实数．
由（2）知，，
设，则由
知．取或2或3，及，易得相应的．
∴或．
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