倍角(半角)与绝配角处理策略
中考指引：倍角(半角)关系在中考数学真题与模拟题中出现的频率非常高，这类题型通查以压轴题为主，结
合辅助线考查勾股定理、全等三角形、等腰三角形的性质、相似三角形等，此类题目条件特征明显，是一类虽
难但易攻下的题型.遇二倍角与三倍角时，通过借助构造等腰三角形来解决问题，主要方法有作角平分线、取中
点、折叠(对称)的形式、平行等方式进行处理.
方法梳理：
1.向外构造等腰三角形
如图所示，∠ABC=2∠ACB，延长 CB至点 D使 BD=BA，即∠BAD=∠BDA，∠ADC=∠ACD，ABD、ACD
都为等腰三角形.
2.在内作角平分线
如图所示，∠ABC=∠ACB，作 ABC的平分线 BD，则∠DBC=∠DCB，即△BCD为等腰三角形
3.在内作等腰三角形
如图所示，∠ABC=2∠ACB，作线段 AC的垂直平分线交 BC于点 D，连接 AD，则∠ADB=2∠ACD，即有△ABD
和△ACD为等腰三角形
4.作角平分线转化角度
如图所示，∠BAD=2∠CAD，可过点 C作 CF||AB交 AD延长线于点 F，则∠F=∠BAD，即有∠F=2∠CAD
5.对称构造等腰三角形
如图所示，∠ABC=2∠CAD，取点 D关于 AC的对称点 E,连接 EC、EA，则有∠BEA=∠BAE=90-α，即△ABE
和△ADE为等腰三角形
例 1(2024深圳模拟)如图，在△ABC中，∠B=90°，D是 BC边上一点且满足∠C=2∠BAD，CD=3BD，E是 AC
EF
边上一点且满足∠ADB=∠ADE，连接 BE交 AD于点 F，则 =______
BF
AB
例 2Rt△ABC中，∠C=90°，DB=3DC，2∠B=∠CAD，则 的值为___________
AD
例 3(深圳模拟)如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，点 D在边 CA上，CD=1，AD=3，且∠BDC=2∠BAC，则
BC=____
(2024泉州模拟)如图，矩形 ABCD中，E、F分别为 AD、CD的中点，且 BE=5，∠ABE=2∠CBF，则 BF=______
例 4如图，△ABC中，D、E是 AC上的点，∠ABE=∠ADB=45°，若 E是 AC的中点，且∠C=2∠EBD，ED=2，
则 AB的长为_____
例 5如图，△ABC中，∠ACB=45°，AE⊥AB交 BC于点 E，点 D在线段 AB上，∠DCB=2∠EAC，若 DC=5EC，
BE=13，则线段 EC的长为_______
例 6如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D、E分别为边 AC、BC上的点，∠ABD=2∠BAE，
BE=3 2 ，CD=7，则 BD______
针对练习题
1.已知，如图△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的角平分线，求证：AB+BD=AC
2.如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC于点 D，若 AC=13，AD=12，则△ABC的面积为______
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，点 D在线段 BC上，连接 AD，若∠B=2∠CAD，AB=8，CD=2，则 AD的长
为______
4.(2023深圳宝安模拟)如图，在△ABC 中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，所以 AB 长为（ ）
A．2 10 B． 10 C． 13 D．4
5.在 Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，若∠CAE=2∠ABD，AE=5，EC=3，则 CD的长为__________
6.如图 1，在△ABC中，∠ACB=90°，点 D在边 AB上，DE⊥BC于点 E，且 DE=BC，点 F在边 AC上，连接
BF交 DE于点 G，若∠DBF=45°，DG=5，BE=3，则 CF=_______
7.如图，在△ABC 中，点 E在边 AC上，EB=EA，∠A=2∠CBE，CD垂直于 BE的延长线于点 D，BD=8，AC=11，
则边 BC的长为________
8.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图 1，当∠C=90°，AD为∠BAC 的角平分线时，在 AB上截取 AE=AC，连接
DE，易证 AB=AC+CD
(1) 如图 2，当∠C≠90°，AD为△BAC的角平分线时，线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，
请直接写出你的猜想.
(2) 如图 3，当 AD为△ABC的外角平分线时，线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,并对
你的猜想给予证明.
9.问题：如图，在△ABD中，BA=BD，在 BD延长线上取点 E、C，作△AEC，使 EA=EC，若∠BAE=90°，若
∠BAE=90°，∠B=45°，求∠DAC的度数；
思考：(1)如果把以上问题的条件∠B=45°去掉，其余条件不变，那么 DAC的度数会改变吗？说明理由.
(2)如果把以上问题中的条件∠B=45°去掉，再将∠BAE=90°改为∠BAE=n，其余条件不变，求∠DAC的度数.
10.如图，△ABC中，∠C=90°，点 D在 AC边上，连接 BD，点 E在 AB上，EFAB交 BC于点 F，交 BD于点
H，∠EFB=2∠CBD，若 BD=2 5，AE=3，BE=2，则 FH的长为_________
11.在 ABC中, ABC=2 C,BD平分 ABC交 AC于 D,AE BD于 E,求证:AC=2BE.
11.在 ABC中, ABC=2 C,角平分线 BD, AED=60 0 ,AE=4,AC=10,求 AD.
13.正 ABC内接 MED,ME、DC延长线交于 N,BM=CN, MED=60 0 , DMN=2 N,
: DME=60 0求证
14.矩形 ABCD,E、F分别在 AB、AD上, EFB=2 AFE=2 BCE,CD＝9，CE=20,则 AF=
15. ABC,正 ADE,D、E在边 BC上, C=2 BAD,BE=5,EC=2,则 AC=_______.倍角(半角)与绝配角处理策略
中考指引：倍角(半角)关系在中考数学真题与模拟题中出现的频率非常高，这类题型通查以压轴题为主，结
合辅助线考查勾股定理、全等三角形、等腰三角形的性质、相似三角形等，此类题目条件特征明显，是一类虽
难但易攻下的题型.遇二倍角与三倍角时，通过借助构造等腰三角形来解决问题，主要方法有作角平分线、取中
点、折叠(对称)的形式、平行等方式进行处理.
方法梳理：
1.向外构造等腰三角形
如图所示，∠ABC=2∠ACB，延长 CB至点 D使 BD=BA，即∠BAD=∠BDA，∠ADC=∠ACD，ABD、ACD
都为等腰三角形.
2.在内作角平分线
如图所示，∠ABC=∠ACB，作 ABC的平分线 BD，则∠DBC=∠DCB，即△BCD为等腰三角形
3.在内作等腰三角形
如图所示，∠ABC=2∠ACB，作线段 AC的垂直平分线交 BC于点 D，连接 AD，则∠ADB=2∠ACD，即有△ABD
和△ACD为等腰三角形
4.作角平分线转化角度
如图所示，∠BAD=2∠CAD，可过点 C作 CF||AB交 AD延长线于点 F，则∠F=∠BAD，即有∠F=2∠CAD
5.对称构造等腰三角形
如图所示，∠ABC=2∠CAD，取点 D关于 AC的对称点 E,连接 EC、EA，则有∠BEA=∠BAE=90-α，即△ABE
和△ADE为等腰三角形
例 1(2024深圳模拟)如图，在△ABC中，∠B=90°，D是 BC边上一点且满足∠C=2∠BAD，CD=3BD，E是 AC
EF
边上一点且满足∠ADB=∠ADE，连接 BE交 AD于点 F，则 =______
BF
解：第一步：设∠DAB=α，则∠C=2α，取点 D关于 AB的对称点 G，连接 GB、GA，易知∠G=90°-α，∠CAG=90°-α，
故 CA=CG；
第二步：设 BD=m，则 CD=3m，GB=m，CG=5m，于是 CA=5m，于是 AB=3m；同时∠ADB=∠ADE=90°-α，
于得∠CDE=2α，EC=ED；
3m
3 4 CH 4 15
第三步：作EH⊥CD于点H，CH= m,cosC= ,即有 2 得EC m ，在△BDE中，DF平分∠BDE，
2 5 EC 5 EC 8
EF DE 15
由角平分线定理可得
BF BD 8
AB
例 2Rt△ABC中，∠C=90°，DB=3DC，2∠B=∠CAD，则 的值为___________
AD
解：如图所示，∠CAD=2∠ABC，分别取点 D关于 AC、AB的对称点 E、F，连接 BF、EA并延长交于点 G，
则△ADE为等腰三角形，∠G=90°，设 DC=1，则 DB=3，FB=3，CE=1，即 BE=5，得 GE=3，易得
4
△ABG△ABE,AG=AC,设 AG=m，则 AE=3-m，在 RtACE 2中，由勾股定理可得m 1 (3 m)2得 m= ，得
3
4 10 5 AB 4 10
AB= ，AD= ，故
3 3 AD 5
例 3(深圳模拟)如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，点 D在边 CA上，CD=1，AD=3，且∠BDC=2∠BAC，则
BC=____
解：方法一：构造相似
BD DE
作∠ADB的平分线 BE，设∠A=ɑ，则∠ABD=ɑ，∠ABE=∠DBE=ɑ，∠DEB=2ɑ，故△DBE~△DAB，
AD BD
即有 BD2=AD·DE，设 DE=m，则 BD2=3m,由勾股定理可得 BC2=BD2-CD2，BC2=BE2-CE2，即有 3m-1=(3-m)2-(m+1)2
9 4
得 m= ，可得 BC= 11
11 11
方法二：取中点作平行
取 AB的中点 E连接 CE，同时作 DF||CE，设∠A=ɑ，则∠DFB=∠DBF=2ɑ，设 EF=m，则 AF=3m，
3 4
AE=4m,BD=DF=3m,由勾股定理得 64m2-16=9m2-1，m2= 可得 BC= 11
11 11
方法三：AD的中垂线
3 4
易知 AF：CF=3：5，设 AE=3m则 BD=DE=3m，BE=5m，由勾股定理得 64m2-16=9m2-1，m2= 可得 BC= 11
11 11
方法四：
(2024泉州模拟)如图，矩形 ABCD中，E、F分别为 AD、CD的中点，且 BE=5，∠ABE=2∠CBF，则 BF=______
方法一：延长 BE交 CD延长线于点 G，同时取点 F关于 BC的对称点 H，知△ABE≌△DGE，得 EG=EB=5，
∠G=∠ABE=2，而∠H=∠GBH=90°-α,设 CF=m，则 GH=5m，GB=BH得 5m=10，故 m=2，AB=4，故 AE=3，
故 BC=6，BF=2 10
方法二：连接 CE并延长交 BA延长线于点M，交 BF于点 N，后与方法一同；
方法三：延长 BE交 CD延长线于点 G，同时取 AB的中点 P，连接 CP交 BE于点 K，后法一；
方法四：在 BA延长线上取点 G，使∠AEG=∠CBF，易知△AEG~△CBF，BC：AE=CF：AG=2：1，设 AB=2m,
则 AG=m/2,而∠BGE=∠BEG=90°-α，BG=BE，故 m=2，于是 AE=3，BC=6，故 BF=2 10
例 4如图，△ABC中，D、E是 AC上的点，∠ABE=∠ADB=45°，若 E是 AC的中点，且∠C=2∠EBD，ED=2，
则 AB的长为_____
解：设∠EBD=α，C=2α则易得∠ABC=∠BAC=90°-α，故 CA=CB；作 CF⊥AB，EG⊥AB，设 AG=m，则 GF=m，
AB AE 10
BF=2m，则EG=3m，AE= 10 m，同时易知△ABE~△ADB，故 ，即(4m)2= 10 m( 10 m+2)得m= ,
AD AB 3
4 10
故 AB=
3
例 5如图，△ABC中，∠ACB=45°，AE⊥AB交 BC于点 E，点 D在线段 AB上，∠DCB=2∠EAC，若 DC=5EC，
BE=13，则线段 EC的长为_______
解：引△ACE的外接圆，延长 BA交于点 F，连接 FE、FC，设∠EAC=α，则∠BCD=2α，∠EFC=α，由此可得
∠AFC=∠CDF=45°+α，故 CD=CF，设 EC=m，则 CD=5m，CF=5m，过点 E作 GE⊥EF交 AB于点 G，作 GH
GH BH
⊥BC 于点 H，易知∠FCE=90°且△EFC≌△GEH，GH=m，EH=5m,BH=13-5m，由 GH||CF 得 即
CF BC
m 13-5m
得 m=2，即 EC=2
5m 13 m
例 6如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D、E分别为边 AC、BC上的点，∠ABD=2∠BAE，
BE=3 2 ，CD=7，则 BD______
方法一：取△ABD的内心 I，连接 IA、IB、ID，作 IG、IF、IH分别垂直于 AD、AB、BD，易知∠BAI=45°=∠ABE，
又∠ABE=∠ABI，可得△AMI≌△BME,得 AI=BE=3 2 ，AF=AG=3，设 BF=x,则 BH=x，AD=x-4，DG=DH=x-7,
在 Rt 2△ABD中，有 (x 3) (x 4)2 (2x 7)2 得 x=1(舍)或 x=12，故 BD=17
方法二：延长 BA至点 G，使 AG=AD，连接 GC，作 EF⊥BC交 AB于点 F，连接 CF，易知∠AFE=135°，而
∠ACE=45°，故点 A、F、E、C四点共圆，故∠FCE=∠BAE=α；同时易得△ACG≌△ABD，∠G=∠ADB=90°-2α，
∠GFC=∠GCF=45°+α，故 GC=GF，设 AG=m，则 AD=m，AF=m+1,GC=2m+1,在 Rt△AGC中，有
m2 (m 7)2 (2m 1)2得 m=8,得 BD=17
针对练习题
1.已知，如图△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的角平分线，求证：AB+BD=AC
2.如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC于点 D，若 AC=13，AD=12，则△ABC的面积为______
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，点 D在线段 BC上，连接 AD，若∠B=2∠CAD，AB=8，CD=2，则 AD的长
为______
4.(2023深圳宝安模拟)如图，在△ABC 中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，所以 AB 长为（ ）
A．2 10 B． 10 C． 13 D．4
方法一：内构角平分线+相似三角形
作∠ABC的三等分线BD、BE交AC于点D、E，设∠A=α，则∠ABD=∠DBE=α，∠BDE=∠DBC=2α，故CD=CB=4，
BD=AD=2；
BD DE 1 4 8 AB BE AE
BE平分∠DBC，由角平分线定理可得 得 DE= ，EC= ；而△ABE~△BDE，有
BC EC 2 3 3 BD DE BE
2 10
得 BE= ，从而 AB= 10
3
方法二：等面积法+勾股定理
在 AC上取一点 D，使∠ABD=∠A=α，易得∠BDC=∠DBC=2α，CD=CB=4，AD=BD=2；
BD CE 2 15 15
作 CE BD于点 E，作 BF AC于点 F，DE=1，CE= 15，由等面积法可得BF ，
CD 4 2
1 5 15
在△BDF中，得 DF= AB= ( )2 ( )2； 10
2 2 2
方法三：向外构角平分线+相似
在 CB的延长线上取一点 D使∠BAD=α，得∠CAD=∠ADC=2α，CD=CA=6，故 BD=2；由 AB平分∠CAD得
AD DB 1
得 AD=3；
AC BC 2
CB CE 8 10
在AC上取一点 E使∠CBE=α，易知△CBE~△CAB， 得 CE= ，由此可得AE= ；又△ADB~△ABE，
CA CB 3 3
AD AB
得 AB= 10
AB AE
方法四：向外构角平分线+等面积法
在 CB的延长线上取一点 D使∠BAD=α，得∠CAD=∠ADC=2α，CD=CA=6，故 BD=2；由 AB平分∠CAD得
AD DB 1
得 AD=3；
AC BC 2
3 3 15
作 CM AD于点M，AN CD 2 2于点 N，由勾股定理得 CM= 6 ( ) ，由等面积法可知
2 2
3 15
AN AD CM
3 3 15 3 3 15 5
2 DN= 2 2， ；由勾股定理得AB ( ) ( ) 10
CD 6 4 4 4 4
方法五：向外构角平行线+相似
在 CB的延长线上取点 D、E，使∠ADE=α，∠AEB=2α；∠CAE=∠CEA=2α，CE=CA=6，故 BE=2；由 AB平
AE EB 1
分∠CAE得 得 AE=3；
AC BC 2
AB BD
∠D=∠DAE=α，得 DE=3；△ADB~△EAB， ，得 AB= 10
BE AB
方法六：向外构造角平分线+相似
在 AB的延长线上取一点 E，使∠CEA=α，CE=CA=α，作 BCE的角平分线 CD交 BE于点 D，由角平分线定理
CB BD 2 BD BC
可得 ，设 BD=2m，则 DE=3m,∠DCE=∠DEC=α,CD=DE=3m；△BCD~△BEC得 得
CE DE 3 BC BE
2 10 DA AC 9
m= ；同时△DAC~△DCB， 得 AD= 10 ，得 AB= 10
5 DC BC 5
5.在 Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，若∠CAE=2∠ABD，AE=5，EC=3，则 CD的长为__________
6.如图 1，在△ABC中，∠ACB=90°，点 D在边 AB上，DE⊥BC于点 E，且 DE=BC，点 F在边 AC上，连接
BF交 DE于点 G，若∠DBF=45°，DG=5，BE=3，则 CF=_______
7.如图，在△ABC 中，点 E在边 AC上，EB=EA，∠A=2∠CBE，CD垂直于 BE的延长线于点 D，BD=8，AC=11，
则边 BC的长为________
8.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图 1，当∠C=90°，AD为∠BAC 的角平分线时，在 AB上截取 AE=AC，连接
DE，易证 AB=AC+CD
(1) 如图 2，当∠C≠90°，AD为△BAC的角平分线时，线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，
请直接写出你的猜想.
(2) 如图 3，当 AD为△ABC的外角平分线时，线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,并对
你的猜想给予证明.
9.问题：如图，在△ABD中，BA=BD，在 BD延长线上取点 E、C，作△AEC，使 EA=EC，若∠BAE=90°，若
∠BAE=90°，∠B=45°，求∠DAC的度数；
思考：(1)如果把以上问题的条件∠B=45°去掉，其余条件不变，那么 DAC的度数会改变吗？说明理由.
(2)如果把以上问题中的条件∠B=45°去掉，再将∠BAE=90°改为∠BAE=n，其余条件不变，求∠DAC的度数.
10.如图，△ABC中，∠C=90°，点 D在 AC边上，连接 BD，点 E在 AB上，EFAB交 BC于点 F，交 BD于点
H，∠EFB=2∠CBD，若 BD=2 5，AE=3，BE=2，则 FH的长为_________
11.在 ABC中, ABC=2 C,BD平分 ABC交 AC于 D,AE BD于 E,求证:AC=2BE.
方法 1:作 AF||BC, ADF、 BDC为等腰三角形,AF=2BF,AF=AC,故 AC=2BE,
方法 2:延长 AE交 BC于点 G,过 E作 EM||BC 交 AC于M，BCME为等腰梯形，BE＝MC，E为中点，故M为
AC中点，AC＝2MC故 AC＝2BE.
11.在 ABC中, ABC=2 C, 0角平分线 BD, AED=60 ,AE=4,AC=10,求 AD.
37
方法 1:作 AG BD,由上题所得结论可得 BF=5,则 CM=5,设 AD= x ,则 DF=5- x ,(5-x) 2 +12= x 2 , x =
10
方法 2:作 AG BD,AF||BC,由上题所得结论可得 BG=5,则 GF=5,设 AD= x ,则 DF= x ,D=5- x ,(5- x ) 2 +12= x
2 x 37, =
10
37
方法 3:AG=GC,AF BD,GH AC, ABF GCH,GH=AF=2 3 ,AB=AG= 37 , ABD～ ACB得 AD＝
10
13.正 ABC内接 MED,ME、DC 0延长线交于 N,BM=CN, MED=60 , DMN=2 N,
求证: DME=60 0
方法 1：作等边 BMP,易得 E为 PC中点,延长 EM至 G,使 GM=MD,设ME=m,MH=n,是
EN=m+n,GH=2m+n,MG=ME=2m=DE,故 MDE为正三角形,故 DME=60 0
方法 2：作等边 BMP,易得 E为 PC中点,方法 2:作正 DEG,证 DME GEN,故 DME=60 0
方法 3：作等边 BMP,易得 E 为 PC 中点 ,作 DG=DM,MF=NH, MFG NHD, DME 为正三角形 ,故
DME=60 0
方法 4：作等边 BMP,易得 E为 PC中点，G、N关于 DE对称,ME=EN=EG,得正 MEG,正 MDE,故 DME=60 0
0
方法 5：作等边 BMP,易得 E为 PC中点,M、G关于 DE对称,易得正 EGN,正 DEG、正 DEM,故 DME=60
方法 6:作等边 BMP,易得 E为 PC中点,作高 DH,取MD中点 G,则 EG||AN,得正
ADME,故 DME=60 0 .
14.矩形 ABCD,E、F分别在 AB、AD上, EFB=2 AFE=2 BCE,CD＝9，CE=20,则 AF=
取 CE中点 G,作 EH||BC,由 PE=PF,PB=PG,BF=EG=10,AF= 19
15. ABC,正 ADE,D、E在边 BC上, C=2 BAD,BE=5,EC=2,则 AC=_______.
解：延长 BC至点 F，AC=CF，连接 AF，∠CAF=∠F，而∠ACB=2∠BAD,∠ACB=∠CAF+∠F=2∠F，
AD BD
△BAD~△AFE，得 ，
EF AE
而 AD=AE=DE，得 DE2=FE·BD，
作过 A作 AH⊥BC于点 H，设 DH=EH=x，
则 AH= 3 x，BD=5-2x，于是 2x2=(5-2x)(2+ (x 2)2 3x2 )
5 14
得 x= ，故 AC=
3 3
