12.2古典概率 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学必修第三册

12.2 古典概率 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．随着国潮的兴起，消费者对汉服的接受度日渐提高，数据显示，目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼6类，某自媒体博主准备从这6类场景中选2类拍摄中国大众穿汉服的照片，则汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，11和13等.从不超过10的正奇数中随机抽取2个，则这2个奇数是孪生素数的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．现有一箱中装有6个红球和4个白球，从中随机取出三个球，则取出的三个球中至少有一个红球的概率（ ）
A． B． C． D．
4．已知事件两两互斥，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的运动服中选择1种，则他们选择不同颜色运动服的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．某学校开展关于“饮食民俗”的选修课程，课程内容分为日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个模块，甲、乙两名学生准备从中各选择2个模块学习，则甲、乙选修的模块中至少有1个模块相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．一次课外活动中，某班60名同学均参加了羽毛球或乒乓球运动，其中37人参加了羽毛球运动，38人参加了乒乓球运动．若从该班随机抽取一名同学，则该同学既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动的概率为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件“3件产品都是次品”，事件“至少有1件是次品”，事件“至少有1件是正品”，则下列结论正确的是（ ）
A．与为对立事件 B．与不是互斥事件
C． D．
10．抛掷一枚质地均匀的骰子，记“点数为”，其中，1，2，3，4，5，6，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（ ）
A． B．，为互斥事件
C． D．，为对立事件
11．抛一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数小于5”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则（ ）
A．A与B是互斥事件，但不是对立事件 B．
C．A与C是互斥事件 D．
12．甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（ ）
A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜
B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜
C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜
D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜
三、填空题
13．在区域内任取一点，使点落在区域内的概率为 .
14．设是一个随机试验中的两个事件，且，则 ．
15．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设出现的点数之和是7、8、9的概率依次是、、，则、、中最大的为 .（请用分数表示）
四、解答题
16．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为；再由乙猜甲刚才所想的数字，记为，其中.
(1)试列举出由样本点组成的样本空间，并指出样本空间所含样本点的个数；
(2)若，则称甲、乙“心有灵犀”，求甲、乙二人“心有灵犀”的概率.
17．A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16；
B组：12，13，15，16，17，14，a．
假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
(1)如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(2)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等
18．现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，.现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”.
(1)求；
(2)若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率.
19．某中学调查了某班所有同学参加唱歌社团和跳舞社团的情况，数据如下表：（单位：人）
参加唱歌社团 未参加唱歌社团
参加跳舞社团 6 14
未参加跳舞社团 13 12
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加唱歌社团又参加跳舞社团的6名同学中，有3名男同学，3名女同学，现从6名同学随机选3人，求恰好是2名男同学和1名女同学的概率.
20．某校为了增强学生的安全意识，为学生进行了安全知识讲座，讲座后从全校学生中随机抽取了300名学生进行笔试（试卷满分100分），并记录下他们的成绩，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图．
(1)求这部分学生成绩的众数与平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)为了更好的了解学生对安全知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第4、5组中用等比例分层抽样的方法抽取6名学生，进行第二轮比赛，最终从这6名学生中随机抽取2人参加市安全知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】列举出从6类场景中选2类场景进行拍摄的所有基本事件，再列举出汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的基本事件，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】记汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼这6类场景分别为A，B，C，D，E，F，
从6类场景中选2类场景进行拍摄的基本事件有
，，，，，，，，，
，，，，，，共15种，
设事件M为“汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中”，
则事件M包含的基本事件有，，，，，
，，，，共9种，
故所求概率，
故选：C．
2．C
【分析】利用古典概型计算公式先列举出所有基本事件数，再求出是孪生素数的事件数即可求得结果.
【详解】不超过10的正奇数有，共5个，从中随机抽取2个，
共有，10种情况，
其中孪生素数有，共2种情况，
由古典概型可得这2个奇数是孪生素数的概率为.
故选：C.
3．A
【分析】首先判断这是古典概型，因所求事件正面情况多，故考虑先求其对立事件概率，再运用对立事件概率公式即可求得.
【详解】因是随机取球，每个球被取到的可能性相同，故这是古典概型. 从中随机取出三个球的方法总数为种，
而“取出的三个球中至少有一个红球”的对立事件是“取出的三个球中全是白球”，其取法有种，
故“取出的三个球中至少有一个红球”的概率为.
故选：A.
4．B
【分析】
根据互斥事件定义、并事件概率公式直接求解即可.
【详解】
两两互斥，，
，，
.
故选：B.
5．A
【分析】
利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得.
【详解】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝种颜色的运动服中选择种有种不同的结果，
分别为（红，红），（红，黄），（红，白），（红，蓝），
（黄，红），（黄，黄），（黄，白），（黄，蓝），
（白，红），（白，黄），（白，白），（白，蓝），
（蓝，红），（蓝，黄），（蓝，白），（蓝，蓝）．
他们选择相同颜色运动服有种不同的结果，即（红，红），（黄，黄），（白，白），（蓝，蓝），
故他们选择相同颜色运动服的概率为，所以他们选择不同颜色运动服的概率为.
故选：A．
6．A
【分析】
列出所有情况，再根据古典概率计算公式即可.
【详解】
从袋中一次随机摸出2个球，共有6种基本事件，
其中摸出的2个球的编号之和大于4的事件为，四种基本事件数，因此概率为.
故选：A.
7．C
【分析】记6个模块分别为，求出总的基本事件数，然后求出甲、乙选择都不同的基本事件数，利用间接法求概率.
【详解】记6个模块分别为，
则甲从中选择2个共有共种不同的选择，
而甲每种的选择中乙与甲都不同有6种，
所以甲、乙各选2个共有种不同选择，而甲、乙选择都不同有种不同选择，
所以甲、乙选修的模块中至少有1个相同的概率．
故选：C.
8．A
【分析】计算出该班学生中既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动的人数，利用古典概型概率计算公式计算即可.
【详解】依题意，该班学生中既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动有：
（名），
故从该班随机抽取一名同学，
该同学既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动的概率为，
故选：A.
9．ABC
【分析】通过分析事件，从而判断事件的关系.
【详解】从中任意抽出3件产品，共有4种情况：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.
事件的可能情况有：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，
事件的可能情况有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.
与为对立事件，故A正确；
{2件次品1件正品，1件次品2件正品}，则与不是互斥事件，故B正确；
，，故C正确；
由上知，故D错误.
故选：ABC
10．ABD
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，结合题意，逐个判断即可.
【详解】对A：抛掷一枚骰子，所有基本事件为：，故，故A正确；
对B：，为互斥事件，选项B正确；
对C：，选项C错误；
对D：为对立事件，选项D正确．
故选：ABD．
11．AD
【分析】根据互斥事件，对立事件，事件的包含关系，事件相等的定义判断各命题即可.
【详解】根据题意，试验的样本空间，，，，.
对于选项A:因为，，所以A与B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确；
对于选项B:因为，，所以，故B错误；
对于选项C:因为，所以A与C不是互斥事件，故C错误；
对于选项D:因为，，所以，故D正确.
故选：AD.
12．AB
【分析】确定把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，共有多少个基本事件，然后分别计算每个选项中甲获胜的基本事件数，即可比较两人获胜的概率，即可得答案.
【详解】对于A，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，共有36个基本事件，
两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12的基本事件有：
，
，共19种，
则甲获胜的概率为，乙获胜概率小于，故此种情况对甲有利，A正确；
对于B，两次掷出的点数中最大的点数大于4，最大的点数为5或6，
最大的点数为5时，基本事件共有9个，最大的点数为6时，基本事件共有11个，
此时共有20个基本事件，则甲获胜的概率为，故此种情况对甲有利，B正确；
对于C，两次掷出的点数之和是偶数，共有，
，共18个基本事件，
则两次掷出的点数之和是奇数，也有18个基本事件，
此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利；
对于D，两次掷出的点数是一奇一偶，则基本事件有个，
两次掷出的点数均是奇数或者偶数，基本事件也是个，
此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利；
故选：AB
13．
【分析】根据集合意义即可求解.
【详解】区域，表示以圆心，半径为3的圆及其内部，
区域，表示以圆心，半径为1的圆，
结合图形可得所求概率.
故答案为：
14．
【分析】由可得答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
15．
【分析】
利用古典概型概率公式求解、、，即可求解.
【详解】
先后抛掷两颗质地均匀的骰子，所有可能的基本事件有种，
且每个基本事件都是等可能的。
点数之和为7的基本事件、、，、，，有6个，所以；
点数之和为8的基本事件，，，，，有5个，所以；
点数之和为9的基本事件，，，，有4个，所以；
所以，则最大的为.
故答案为：
16．(1)答案见解析，25
(2)
【分析】（1）用列举法列出样本空间，即可得解；
（2）记甲、乙二人“心有灵犀”的为事件，得到满足事件的样本点数，再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】（1）由题意得，
，共个样本点.
（2）记甲、乙二人“心有灵犀”的为事件，
则，共个样本点，
，故甲、乙二人“心有灵犀”的概率为.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）列举出符合条件的方法，利用古典概率计算即可；
（2）利用方差的意义求出即可.
【详解】（1）从两组中随机选取一人，共有种方法；其中甲的康复时间比乙的康复时间长的方法如下：，
共有种方法，所以概率为.
（2）把B组数据调整为：12，13，14，15，16，17，a，或a ，12，13，14，15，16，17，
根据方差的意义为反应样本波动性的大小可知，或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式计算即得.
（2）由（1）的结论，利用全概率公式列式计算求得，进而求得结果.
【详解】（1）,,,
（2），
.
该球是甲工厂生产的概率为.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意先算出该班总人数，按照正难则反原则，算出两个社团都未参加的概率，即得至少参加上述一个社团的概率；
（2）先根据题意列举出“从6名同学随机选3人”所含的基本事件（数），再判断事件“恰好是2名男同学和1名女同学”所包含的基本事件（数），利用古典概型概率公式即得；
【详解】（1）由调查数据分析易得全班总人数为，
因既未参加唱歌社团也未参加跳舞社团的同学有12个，
则从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为.
（2）记3名男同学为，3名女同学为，
从6名同学随机选3人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，共20个.
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.
而事件“恰好是2名男同学和1名女同学”所包含的基本事件有9个.
因此事件“恰好是2名男同学和1名女同学”的概率为.
20．(1)众数：75；平均数：
(2)
【分析】（1）众数与平均数直接由频率分布直方图即可得到.
（2）根据分层抽样抽取6名学生并分别编号，应用列举法及古典概型的概率公式计算即可.
【详解】（1）众数为：75
平均数为：.
（2）根据等比例分层抽样的方法抽取的名学生，有人，有人，
设四人编号为，两人编号为.
则所有抽取结果：，，共个结果.
其中“分（包括分）以上的同学恰有人”所包含结果有：
，共种结果.
所以“分（包括分）以上的同学恰有人”的概率为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页