12.4随机事件的独立性 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学必修第三册

12.4 随机事件的独立性同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立. 设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（ ）
A．M与Q相互独立 B．N与R相互独立
C．N与Q相互独立 D．Q与R相互独立
3．猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．对于事件，下列命题不正确的是（ ）
A．如果互斥，那么与也互斥
B．如果对立，那么与也对立
C．如果独立，那么与也独立
D．如果不独立，那么与也不独立
5．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（ ）
A．与相互独立 B．与对立
C．与相互独立 D．与相互独立
6．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋各摸出一个球，记事件A：2个球都是红球，事件B：2个球中恰有1个红球，事件C：2个球至少有1个红球，事件D：2个球不都是红球，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件互斥 B．
C．事件A与事件D对立 D．
7．现有张完全相同的卡片，分别写有字母、、、、，从中任取一张，看后再放回，再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则（ ）
A．乙与丁相互独立 B．甲与丙相互独立
C．丙与丁相互独立 D．甲与乙相互独立
8．连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是6”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（ ）
A． B．A与B互斥
C．A与C互斥 D．A 与C 相互独立
二、多选题
9．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法正确的有（ ）
A．与不互斥 B．与相互独立
C．与互斥 D．与相互独立
10．小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1～10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．（） D．小华一共前进2步的概率最大
11．袋中装有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．A表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则（ ）
A． B．
C．与相互独立 D．与相互独立
12．同时拋郑两个质地均匀的四面分别标有的正四面体一次，记事件第一个四面体向下的一面出现偶数；事件第二个四面体向下的一面出现奇数；事件两个四面体向下的一面或同时出现奇数，或者同时出现偶数，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为 .
14．已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则 .
15．三位好友进行乒乓球循环赛，先进行一局决胜负，负者下，由挑战 的胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者下一局再接受第三人的挑战，依此进行.假设三人水平接近，任意两人的对决获胜的概率都是且不受体力影响，已知三人共比赛了3局，那么这3局中三人各胜一局的概率为 .
四、解答题
16．年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．
(1)在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；
(2)分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．
17．冗余系统是指为增加系统的可靠性，而采取两套或两套以上相同 相对独立配置的设计.冗余系统因为前期投入巨大，后期的维护成本高，所以只有在高风险行业应用比较广泛，如：金融领域 核安全领域 航空领域 煤矿等领域.某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，升级后的设备控制系统由偶数个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于一半的元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行.记有个元件组成时设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由4个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由6个元件组成时设备正常运行的概率）.
(1)若，求；
(2)已知升级后的设备控制系统原有个元件，现再增加2个相同的元件，若对都有，求的取值范围.
18．在某项比赛中，7位专业评委和7位观众评委分别给选手打分.针对某位选手，下面是两组评委的打分：
组 42 45 48 53 52 47 49
组 48 52 70 66 77 49 51
(1)选择一个可以度量每一组评分相似性的量，据此判断哪一组分数更可能是专业评委打的分数；
(2)现从组评委所打分数中随机抽取2个分数，记为，，从组评委所打分数中随机抽取2个分数，记为，.记事件，中有一个数据为48，事件或，判断事件与事件是否相互独立
19．一枚质地均匀的小正方体，其中两个面标有数字1，两个面标有数字2，两个面标有数字3. 现将此正方体任意抛掷次，下落后均水平放置于桌面，记次上底面的数字之和为.
(1)当时，求的分布列与期望；
(2)设表示能被整除的概率，探索与的关系并求.
20．某校举办“复兴杯”围棋比赛活动，甲、乙两名选手进入最后的决赛，决赛采用五局三胜的赛制，决出最后的冠军．通过分析，若甲先下，则甲赢的概率为，若乙先下，则乙赢的概率为，每局没有和棋，不同局的结果互不影响．已知第一局甲先下，甲、乙两人依次轮流先下．
(1)求比赛四局乙赢的概率；
(2)已知前两局甲、乙各赢一局，求比赛五局结束的概率．
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参考答案：
1．B
【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可分类求解.
【详解】设甲第局胜，，2，3，且，
则甲恰好连胜两局的概率，
故选：B．
2．B
【分析】利用列举法结合古典概率求出各事件的概率，再结合相互独立事件的意义逐项分析即可.
【详解】有放回摸出两张卡片的样本空间：
，共25个结果，
事件，共10个结果，，
事件，共5个结果，，
事件，共3个结果，，
事件，共5个结果，，
对于A，，，，事件M与Q不相互独立，A错误；
对于B，，，，事件N与R相互独立，B正确；
对于C，，，，事件N与Q不相互独立，C错误；
，，，事件Q与R不相互独立，D错误.
故选：B
3．C
【分析】根据条件，利用古典概率、互斥事件和相互独立事件的概率公式，即可求出结果.
【详解】记事件：甲独自获胜，
因为每人随机选一个球（不放回），用表示甲、乙、丙选到谁写的灯谜，有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），
（乙，丙，甲），（乙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，甲，乙），共有6种选法，
又因为每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜，
当甲选到自己写的灯谜，乙、丙选到对方写的灯谜时，甲独自获胜的概率为，
当甲选到乙写的灯谜，乙选到丙写的灯谜，丙选到甲写的灯谜时，甲独自获胜的概率为，
当甲选到丙写的灯谜，乙选到甲写的灯谜，丙选到乙写的灯谜时，甲独自获胜的概率为，
所以，
故选：C.
4．A
【分析】选项A，利用互斥事件的定义判断；选项B，利用对立事件的定义判断；选项C，利用相互独立事件的定义判断；选项D，利用相互独立事件的定义判断.
【详解】对于选项A，如果互斥，与可以同时发生，由互斥事件的定义得与不一定互斥，所以选项A错误；
对于选项B，如果对立，由对立事件的定义得与也对立，所以选项B正确；
对于选项C，如果独立，由相互独立事件的定义得与也独立，所以选项C正确；
对于选项D，如果不独立，由相互独立事件的定义得与也不独立，所以选项D正确；
故选：A.
5．C
【分析】
用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得．
【详解】
依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个；
其中事件“ ”包含的样本点有：
，，，，，共个；
事件 “ ”，包含的样本点有：
， ， ， ，，，，，共个，
事件 “”，包含的样本点有：，，，，，，
，，，，，，
，，，，，共个，
所以与不能同时发生，但是能同时不发生，故不是对立事件，故 B 错误；
因为与不能同时发生，所以与是互斥事件，则，
又 ， ，所以，
所以与不相互独立，故A错误；
又事件包含的样本点有： ，，共个，
所以 ， ，则 ，
所以 与 相互独立，故C正确；
事件包含的样本点有：， ， ，，，共个，
因为，所以 与 不相互独立，故D 错误．
故选：C
6．C
【分析】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，根据互斥和对立事件的定义分析判断AC；根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法分析判断BD.
【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，
可知，相互独立，
于是：，
由此可得：可能同时发生，A错误；互为对立事件，C正确；
因为，所以，B错误；
因为，所以，D错误.
故选：C.
7．D
【分析】计算出事件甲、乙、丙、丁的概率，结合独立事件的定义逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】设事件甲、乙、丙、丁分别记为、、、，由题意可得，
有放回的抽取卡片两次的基本事件数为，
两次抽取卡片的字母相邻的基本事件为、、、、、、、，共个，
两次抽取卡片的字母不相邻的基本事件为个，则，，
显然丙与丁为对立事件，C错误；
对于A，乙与丁同时发生的基本事件为、、，有个，
则，所以乙与丁不相互独立，A错误；
对于B，甲与丙同时发生的基本事件、，有个，
则，所以甲与丙不相互独立，B错误；
对于D，甲与乙同时发生的基本事件为，只有个，
则，所以甲与乙相互独立，D正确.
故选：D.
8．D
【分析】根据古典概型概率公式、互斥事件及独立事件的定义可判断结果.
【详解】依题意得，故A错误．
因为与可能同时发生，如“第一次的点数为6，第二次的点数为2”，故B错误．
因为与可能同时发生，如“第一次的点数为6，第二次的点数为2”，故C错误．
因为，
因为，所以与相互独立，故D正确．
故选：D.
9．ABD
【分析】利用互斥事件与独立事件的定义与概率公式，对选项一一验证即可.
【详解】对于AB，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，
第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥，
第一次与第二次的结果互不影响，即与相互独立，故AB正确；
对于C，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，
若第一次的点数为2，第二次的点数3点，
则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即与不互斥，故C错误；
对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，其总的基本事件为件，
事件 “第一次出现2点”的基本事件有，故，
事件“两次点数之和为奇数” 的基本事件有，故，
事件“第一次出现2点，且两次点数之和为奇数” 的基本事件有，故，
所以，则与相互独立，故D正确.
故选：ABD.
10．ACD
【分析】综合应用概率和数列的知识即可解决.
【详解】对于A，前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，当时，其前进步是由两部分组成：第一部分先前进步，再前进1步，其概率为；第二部分先前进步，再前进2步，其概率为，所以，故C正确；
对于D，因为，可得，
即，因为，
所以，即，
可得，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，可得.
当为奇数时，为偶数，则，即，
此时数列单调递增，所以；
当为偶数时，为奇数，则，此时数列单调递减，
所以，
综上，当时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故D正确.
故选：ACD.
11．BC
【分析】根据相互独立事件的概率计算方法计算，从而得到答案.
【详解】根据题意可知第一次抽取和第二次抽取是相互独立的，故A与B相互独立，故C正确；
C事件结果有，其中也满足B事件，故B与C不是相互独立的，故D错误；
易知，，，
，故A错误；
，故B正确．
故选：BC．
12．AC
【分析】利用古典概率公式，互斥事件的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式，逐一判断即可求解.
【详解】依题意，，
，故选项A正确，B不正确；
因为，为相互独立事件，
所以，故选项C正确；
又因为事件、、不可能同时发生，
所以，故选项D不正确；
故选：AC.
13．/
【分析】借助独立事件与对立事件的概率公式计算即可得.
【详解】设该队员每次罚球的命中率为，则有，故.
故答案为：.
14．/
【分析】根据题意分别求得，，，结合独立事件的定义，可判定事件与相互独立，再结合对立事件的概念关系可运算得解.
【详解】由题意，，，，
，
所以事件与相互独立，则与也相互独立，
.
故答案为：.
15．/
【分析】根据相互独立事件和概率的加法公式进行计算可得答案.
【详解】设比赛A获胜为事件M，比赛C获胜为事件N，比赛B获胜为事件Q，
且相互独立，则，
设三人共比赛了3局，三人各胜一局的概率为D，
则
.
故答案为：.
16．(1)“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为；
(2)“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式分别求解即可；
（2）综合应用独立事件的乘法公式和互斥事件的概率加法公式分别求解即可.
【详解】（1）记“玲儿姐回答正确第个问题”，“关关姐回答正确第个问题”，“页楼哥回答正确第个问题”，.
根据题意得，所以；
，所以；
故在第一个问题中，“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为和.
（2）由题意知，
“玲儿姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
“关关姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为.
所以“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为.
17．(1)
(2)
【分析】(1)正常工作的元件个数X服从于二项分布，利用概率公式求；
(2)分情况讨论原系统中正常工作的元件个数，计算，由求的取值范围.
【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0，1，2，3，4，
因为各元件之间相互独立，且正常工作的概率均为，所以，
（2）若控制系统增加2个元件，则现在有个元件，至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作，
设原系统中正常工作的元件个数为，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为，
第二类：原系统中恰好有n个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为，
第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为，
所以
因为对，都有，所以对恒成立，
即对恒成立.
由，当时，所以，所以p的取值范围是.
18．(1)更可能是专业评委打的分数
(2)事件与事件不独立.
【分析】
（1）根据题意,比较两组评委的量,选择方差作为相似性的量,并计算度量值；
（2）根据相互独立事件的概率定义判断.
【详解】（1）可以用方差来度量每一组评委打分的相似性，方差越小，相似程度越高.
，
，
所以组数据的方差是
，
组数据的方差是
，
因为专业评委给分更符合专业规则，所以相似程度更高，因此组分数更可能是专业评委打的分数.
（2），
，
，各有两种，
所以，
事件：当时， 可以任意，有种，
当，中有一个数据为48，另一个不是52时，则，有种，
所以，
，则事件与事件不独立.
19．(1)分布列见解析，
(2)，
【分析】
（1）依题意可得的可能取值为、、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
（2）依题意可得且，即可得到，则是以为首项，为公比的等比数列，即可求出.
【详解】（1）依题意，正方体上底面出现数字、、的概率均为，
所以的可能取值为、、、、，
所以，，
，，
，
所以的分布列为：
所以.
（2）依题意可得，当时，次上底面的数字之和能被整除的概率为，
所以，
即，则，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
显然当时也成立，
所以.
20．(1)
(2)
【分析】（1）设乙先下乙赢为事件A，甲先下乙赢为事件B，分类考虑四局的胜负情况，根据互斥事件的概率加法公式，即可求得答案；
（2）由题意可知第三局和第四局甲、乙各赢一场，第5局甲、乙都有可能赢，由此可考虑第三局和第四局的胜负情况，即可求得答案.
【详解】（1）设乙先下乙赢为事件A，甲先下乙赢为事件B，
由题知，，，
设比赛四局乙赢为事件C，
则，
所以比赛四局乙赢的概率为；
（2）已知前两局甲、乙各赢一场，且比赛五局结束比赛，
则第三局和第四局甲、乙各赢一场，第5局甲、乙都有可能赢，
设前两局甲、乙各赢一场，比赛五局为事件D，
则，
所以前两局甲、乙各赢一场，比赛五局结束的概率为
答案第1页，共2页
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