2023-2024学年北师大版七年级数学下册-4.1 认识三角形 分层练习
一、单选题
1．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）下列各图中，正确画出边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查了三角形高的定义，从三角形的一个顶点作对边的垂线段，则这条垂线段叫作三角形的高，据此即可求解．
【详解】解：如图，画出边上的高是
故选：D．
2．（22-23九年级上·广东广州·期中）下列各组线段中，不能作为一个三角形三条边的是（ ）
A．8，7，13 B．6，6，12 C．5，5，2 D．10，15，17
【答案】B
【分析】
本题主要考查了三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，根据三角形的三边关系进行判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴8，7，13能作为一个三角形三条边，故A不符合题意；
B．∵，
∴6，6，12不能作为一个三角形三条边，故B符合题意；
C．∵，
∴5，5，2能作为一个三角形三条边，故C不符合题意；
D．∵，
∴10，15，17不能作为一个三角形三条边，故D不符合题意．
故选：B．
3．（2024·山东济南·一模）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了平行线的性质和三角形的外角定理，如图，，而，即可求解．
【详解】解：如图， ，
而，
，
故选：A．
4．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知中，其中有两边长是2和5，且的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．11或13
【答案】D
【分析】
本题主要考查了三角形三边的关系，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再由第三边长是偶数求出第三边的长，最后根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵中，其中有两边长是2和5，
∴第三边长，即第三边长，
又∵第三边唱为偶数，
∴第三边长为4或6，
∴该三角形的周长为或，
故选：D．
5．（2024·河南驻马店·一模）在“三角尺拼角”实验中，小聪把一副三角尺按如图所示的方式放置，则的度数为（ ）
A． B． C．° D．
【答案】C
【分析】
本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
二、填空题
6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，点，，点在同一条直线上，，，，则 度．
【答案】
【分析】
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，根据三角形的外角的性质及三角形的内角和定理可求得．
【详解】解：是的外角，
，
．
故答案为：．
7．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知三角形的三边长为、、，且为整数，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可以求出的取值范围，从而得出符合要求的整数．
【详解】解：∵三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，为最大边，
∴，
∴，
∴最大边（为整数）可取的值为：．
故答案为：．
8．（2023·浙江绍兴·模拟预测）两块三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与的直角三角板的直角边重合，则的度数为 ．
【答案】/75度
【分析】
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．由题意得到，再利用三角形的外角，即可求出的度数．
【详解】解：是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：．
9．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，点D、E、F分别在边，，上，E为的中点，，，交于一点G，，，，则的值是 ．
【答案】30
【分析】
此题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等．
【详解】解：∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵E为的中点，
∴，
故答案为：30．
10．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）在中，D是的中点，，．用剪刀从点D入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ．
【答案】4
【分析】
本题考查了三角形中线的性质，找出线段之间的数量关系是解题关键．由中点可知，再分别表示出两个三角形的周长，即可求出周长差．
【详解】解：如图，
D是的中点，
，
的周长，的周长，，
它们周长的差，
故答案为：4
一、填空题
1．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，中，，垂足为D，，点E 是边上一动点，过点E作，交折线于点F，连接，若与的面积相等，则线段的长度是 ．
【答案】2或
【分析】
本题考查了三角形的面积关系，三角形高的性质，三角形中线的性质，能分类讨论并根据三角形的面积公式表示出面积是解题的关键．根据题意，先计算出的面积，分两种情况讨论：①点F在边上时；②当点F在边上时；与的面积相等，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：，，，
，
如图，点F在边上时，
，
，
，
，
；
如图，当点F在边上时，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
综上，与的面积相等，则线段的长度是2或，
故答案为：2或．
2．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，D、E、F分别为的中点，若的面积为2，则的面积等于 ．
【答案】16
【分析】
本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形的中线将三角形分为面积相等的两份是解答本题的关键；
根据三角形中线的性质求得，即可解答．
【详解】解：解：F是的中点，的面积是2，
，
同理可得：，
故答案为：16．
3．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）图1 是一盏可折叠台灯，图 2，图 3 是其平面示意图，固定底座于点，支架与分别可绕点和旋转，台灯灯罩且可绕点旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，，此时，则 ．现继续调节图2中的支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图3），则此时 ．
【答案】 /68度 /95度
【分析】
本题考查平行线的判定和性质．三角形外角的性质，如图，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到；过点A作，过点作交于点，根据上述证明可得，再利用角平分线的性质和三角形外角定义，求得，再求得，即可解答，解题的关键是添加辅助线，构造平行线．
【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，过点A作，过点作交于点，
，
,
，平分，
，
,
，
，
角平分线与垂直，
，
，
，
故答案为：；．
二、解答题
4．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，表示某引水工程的一段设计路线，从到的走向是南偏东．在的南偏东方向上有一点，某测量员在上取一点，测得方向为南偏东，那么从点观测两处时的视角是多少度？
【答案】
【分析】本题考查了方位角、平行线的性质、三角形外角的性质，根据方位角得，进而可求得，再求得，，再根据三角形的外角的性质即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：如图，
从到的走向是南偏东，
．
．
点在的南偏东方向上，
．
方向为南偏东，
．
．
5．（22-23八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，．求：
(1)作出的边上的中线，并求出的面积；
(2)作出的边边上的高，当时，试求出的长．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
【分析】本题考查了直角三角形面积的计算方法，三角形的高、中线的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质．
（1）找的中点，连接，则是的边上的中线，根据三角形中线的性质可得，即可求解；
（2）过点作，先根据，求出，再根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图，找的中点，连接，则是的边上的中线，
在直角三角形中，，，，
，
是的中线，
；
（2）如图，过点作，则为的边边上的高，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
6．（22-23七年级下·四川巴中·期末）如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为点．
(1)，，求的度数；
(2)若的面积为，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的外角定理、三角形中线的性质以及三角形的面积计算．熟练掌握这些知识点是解决本题的关键．
（1）利用三角形的外角定理，可求出的度数．
（2）由中线可将三角形分成面积相等的两个三角形，以及三角形的面积计算公式可解决此题．
【详解】（1）是的一个外角，
．
，，
．
（2）连接，
为的中线，
．
同理．
，
，
．
，．
．
解得．
EF的长为．
1．（23-24八年级上·山东青岛·期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点．
【提出问题】
小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？
【分析问题】
已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究．
【解决问题】
探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由．
探究二：如图②，的数量关系为______；如图③，已知，，则______°．（不需要写解答过程）
【拓广提升】
利用探究一得到的结论解决下列问题：
如图④，射线分别平分和交直线于点与内部的一条射线交字点，若，求的度数．
【答案】解决问题：[探究一]；[探究二]，145；[拓广提升]
【分析】
本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由此结论来解决问题．
探究一：由平行线的性质推出，得到即可解决问题；
探究二：如图②，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到；
如图③，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到；
如图④，由探究一的结论得到而，推出又，得到．
【详解】
解：[探究一]：，理由如下：
如图①，
∵，
∴，
∴，
∴．
[探究二]如图②，
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
如图③，延长交于L，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
[拓广提升]∵射线分别平分和，
∴，
如图④，
由探究一的结论得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴．2023-2024学年北师大版七年级数学下册-4.1 认识三角形 分层练习
一、单选题
1．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）下列各图中，正确画出边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23九年级上·广东广州·期中）下列各组线段中，不能作为一个三角形三条边的是（ ）
A．8，7，13 B．6，6，12 C．5，5，2 D．10，15，17
3．（2024·山东济南·一模）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知中，其中有两边长是2和5，且的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．11或13
5．（2024·河南驻马店·一模）在“三角尺拼角”实验中，小聪把一副三角尺按如图所示的方式放置，则的度数为（ ）
A． B． C．° D．
二、填空题
6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，点，，点在同一条直线上，，，，则 度．
7．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知三角形的三边长为、、，且为整数，则的最大值为 ．
8．（2023·浙江绍兴·模拟预测）两块三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与的直角三角板的直角边重合，则的度数为 ．
9．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，点D、E、F分别在边，，上，E为的中点，，，交于一点G，，，，则的值是 ．
10．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）在中，D是的中点，，．用剪刀从点D入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ．
一、填空题
1．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，中，，垂足为D，，点E 是边上一动点，过点E作，交折线于点F，连接，若与的面积相等，则线段的长度是 ．
2．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，D、E、F分别为的中点，若的面积为2，则的面积等于 ．
3．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）图1 是一盏可折叠台灯，图 2，图 3 是其平面示意图，固定底座于点，支架与分别可绕点和旋转，台灯灯罩且可绕点旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，，此时，则 ．现继续调节图2中的支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图3），则此时 ．
二、解答题
4．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，表示某引水工程的一段设计路线，从到的走向是南偏东．在的南偏东方向上有一点，某测量员在上取一点，测得方向为南偏东，那么从点观测两处时的视角是多少度？
5．（22-23八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，．求：
(1)作出的边上的中线，并求出的面积；
(2)作出的边边上的高，当时，试求出的长．
6．（22-23七年级下·四川巴中·期末）如图，为的中线，为的中线，过点作，垂足为点．
(1)，，求的度数；
(2)若的面积为，且，求．
1．（23-24八年级上·山东青岛·期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点．
【提出问题】
小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？
【分析问题】
已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究．
【解决问题】
探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由．
探究二：如图②，的数量关系为______；如图③，已知，，则______°．（不需要写解答过程）
【拓广提升】
利用探究一得到的结论解决下列问题：
如图④，射线分别平分和交直线于点与内部的一条射线交字点，若，求的度数．
