23.1 图形的旋转
【知识梳理】
旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫作图形的旋转.点叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如图形上的点经过旋转变化点，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.
如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度.
【注意】
1.图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.
2.旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
旋转的特征：
对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前、后的图形全等.
旋转作图的步骤方法：
确定旋转中心、旋转方向、旋转角；
找出图形上的关键点；
连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点；
按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形.
平移、旋转、轴对称之间的联系：
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变化后不改变图形的大小和形状，对应线段相等、对应角相等。
平移、旋转、轴对称之间的区别：
变化方式不同：
平移：将一个图形沿某个方向移动一定距离。
旋转：将一个图形绕一个顶点沿某个方向转一定角度。
轴对称：将一个图形沿一条直线对折。
对应线段、对应角之间的关系不同
平移： 变化前后对应线段平行（或在一条直线上），对应点连线平行（或在一条直线上），对应角的两边平行（或在一条直线上）、方向一致。
旋转： 变化前后任意一对对应点与旋转中心的连线所称的角都是旋转角。
轴对称：对应线段或延长线如果相交，那么交点在对称轴上。
3）确定条件不同
平移：距离与方向
旋转：旋转的三要素。
轴对称：对称轴
【基础训练】
1．浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用.其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点.如图是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转 后能与原图案重合，则 可以取（ ）
A．60 B．90 C．120 D．180
2．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q
3.以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
5.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30° B．90° C．120° D．180°
6.下列运动形式属于旋转的是( )
A．在空中上升的氢气球 B．飞驰的火车
C．时钟上钟摆的摆动 D．运动员掷出的标枪
7.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
8.如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9.如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形那么下列图形中：①正三角形；②正方形；③正六边形是旋转对称图形，且有一个旋转角为的是______（填序号）．
10.如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C，A’B’交AC于点D，若∠A’DC=90°，则∠A= °.
11.如图，在矩形中，，．将矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形，若点的对应点落在边上，则的长为___________．
12.如图，已知点A，B的坐标分别为(0，0)，(4，0)，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）画出△AB′C′．
（2）写出点C′的坐标．
（3）求BB′的长．
【能力提升】
1.如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( )
A．(1，-1) B．(-1，-1) C．(，0) D．(0，-)
2.如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )
A．68° B．20° C．28° D．22°
3.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
4.如图，直线与轴、轴分别交于，两点，将绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是____________．
5.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____．
6.如图，将边长为4的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEGF，连接EF，BF，点M，N分别为EF，BF的中点，连接MN，则线段MN的长为___．
7.如图，在等边中，点为内的一点，且，，将绕点逆时针旋转得，连接．
（1）求证：；
（2）判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，求和的长．
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【知识梳理】
旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫作图形的旋转.点叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如图形上的点经过旋转变化点，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.
如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度.
【注意】
1.图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.
2.旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
旋转的特征：
对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前、后的图形全等.
旋转作图的步骤方法：
确定旋转中心、旋转方向、旋转角；
找出图形上的关键点；
连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点；
按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形.
平移、旋转、轴对称之间的联系：
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变化后不改变图形的大小和形状，对应线段相等、对应角相等。
平移、旋转、轴对称之间的区别：
变化方式不同：
平移：将一个图形沿某个方向移动一定距离。
旋转：将一个图形绕一个顶点沿某个方向转一定角度。
轴对称：将一个图形沿一条直线对折。
对应线段、对应角之间的关系不同
平移： 变化前后对应线段平行（或在一条直线上），对应点连线平行（或在一条直线上），对应角的两边平行（或在一条直线上）、方向一致。
旋转： 变化前后任意一对对应点与旋转中心的连线所称的角都是旋转角。
轴对称：对应线段或延长线如果相交，那么交点在对称轴上。
3）确定条件不同
平移：距离与方向
旋转：旋转的三要素。
轴对称：对称轴
【基础训练】
1．浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用.其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点.如图是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转 后能与原图案重合，则 可以取（ ）
A．60 B．90 C．120 D．180
【答案】C
【详解】解：由题意得 360°÷3=120°,
故选：C.
2．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q
【答案】B
【详解】
解：如图，连接N和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；
故选B．
3.以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】
解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，
得点Q所在的象限为第二象限．
故选：B．
4．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】D
【详解】
试题提示：根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．
故选D．
5.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30° B．90° C．120° D．180°
【答案】C
【详解】
解：∵360°÷3=120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选C．
6.下列运动形式属于旋转的是( )
A．在空中上升的氢气球 B．飞驰的火车
C．时钟上钟摆的摆动 D．运动员掷出的标枪
【答案】C
【详解】
在空气中上升的氢气球，飞驰的火车，运动员掷出标枪属于平移现象，时钟上钟摆的摆动属于旋转现象.
故答案选：C.
7.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【详解】
∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°，
故选B．
8.如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，
∴△ABC≌△AB'C'，∴∠BAC=∠B′AC′，∠C=∠C′，∵∠BAB'=40°，∴∠CAC′=40°，
∵∠C'DC=180°-∠DEC′-∠C′，∠CAC′=180°-C-∠AEC，∠DEC′=∠AEC，∠C′DC=∠CAC′=40°，
故选：B．
9.如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形那么下列图形中：①正三角形；②正方形；③正六边形是旋转对称图形，且有一个旋转角为的是______（填序号）．
【答案】②
【详解】①正三角形的最小旋转角是；②正方形的最小旋转角是；
③正六边形的最小旋转角是
故答案为：②．
10.如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C，A’B’交AC于点D，若∠A’DC=90°，则∠A= °.
【答案】55.
【详解】
试题提示：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C
∴∠ACA’=35°，∠A =∠A’，.
∵∠A’DC=90°，
∴∠A’ =55°.
∴∠A=55°.
11.如图，在矩形中，，．将矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形，若点的对应点落在边上，则的长为___________．
【答案】4
【详解】解：由旋转的性质得到，
在中，，，
故答案为：4．
12.如图，已知点A，B的坐标分别为(0，0)，(4，0)，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）画出△AB′C′．
（2）写出点C′的坐标．
（3）求BB′的长．
【答案】（1）见解析；（2）(-2，5)；（3）4
【详解】
（1）如图：△AB′C′就是所求的三角形．
（2）根据旋转的性质，得点C′的坐标为(-2，5)．
（3）BB′＝．
【能力提升】
1.如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( )
A．(1，-1) B．(-1，-1) C．(，0) D．(0，-)
【答案】B
【详解】
试题提示：根据已知条件O（0,0），B（2,2），可求得D（1,1），OB与x轴、y轴的交角为45°，当菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，时，8秒可旋转到原来的位置，因60÷8=7....4，所以第60秒时是第8循环的地上个位置，这时点D的坐标原来位置点D的坐标关于原点对称，所以为（-1，-1），
故答案选B.
2.如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )
A．68° B．20° C．28° D．22°
【答案】D
【详解】
试题解析：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，
∵∠2=∠1=112°，
而∠ABD=∠D′=90°，
∴∠3=180°-∠2=68°，
∴∠BAB′=90°-68°=22°，
即∠α=22°．
故选D．
3.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】C
【详解】解：∵旋转，∴，但是旋转角不一定是，
∴不一定是等边三角形，∴不一定成立，即①不一定正确；
∵旋转，∴，故③正确；∵旋转，∴，
∵等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶角相等，∴它们的底角也相等，即，故④正确；
∵不一定成立，∴不一定成立，
∴不一定成立，即②不一定正确．
故选：C．
4.如图，直线与轴、轴分别交于，两点，将绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是____________．
【答案】
【详解】解：中，令x=0得，y=4；令y=0得，，解得x=-3，
∴A（-3，0），B（0，4）．由旋转可得△AOB≌△AO′B′，∠=90°，
∴∠=90°，，∴∥x轴，
∴点的横坐标等于OA与OB的长度之和，而纵坐标等于OA的长
故点的坐标是（-7，3），
故答案为：（-7，3）．
5.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____．
【答案】(4，2)
【详解】
解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2），
故答案为：（4，2）．
6.如图，将边长为4的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEGF，连接EF，BF，点M，N分别为EF，BF的中点，连接MN，则线段MN的长为___．
【答案】2
【详解】解：连接BE
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°∴AB=AE，∠BAE=60°
∴△ABE为等边三角形∴AB=BE=4
∵在△EBF中，点M，N分别为EF，BF的中点，
∴MN是△EBF的中位线，∴MNBE=2，
故答案为：2．
7.如图，在等边中，点为内的一点，且，，将绕点逆时针旋转得，连接．
（1）求证：；
（2）判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，求和的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD∥CE，理由见解析；（3）AD=2，CD＝
【详解】解：（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，
∴△ABD≌△ACE，∠BAC=∠DAE，∴AD=AE，BD=CE，∠AEC=∠ADB=120°，
∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠DAE=60°，
∴△ADE为等边三角形，∴AD=DE；
（2）∠ADC=90°，∠AEC=120°，∠DAE=60°，
∴∠DCE=360°-∠ADC-∠AEC-∠DAE=90°，
∴∠ADC+∠DCE=180°，∴AD∥CE；
（3）∵△ADE为等边三角形，∴∠ADE=60°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°，
又∵∠DCE=90°，∴DE=2CE=2BD=2，∴AD=DE=2，
在Rt△DCE中，DC＝．
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