说课稿----二项分布随机变量的均值

“二项分布随机变量的均值”说课稿
海南中学 黄 波
一、说教材
1、教材的地位和作用
本节课是人教版高中数学选修2-3第二章第3节的第2课时，是在学生学习了离散型随机变量的均值定义和简单的线性性质，会计算两点分布随机变量的均值之后所进行的内容。它既是离散型随机变量均值定义的具体应用，也是前面二项分布内容的延伸。同时，它还为后面学习二项分布随机变量的方差做铺垫。由于二项分布是实际应用当中一种常见和重要的离散型随机变量分布模型，因此理解好二项分布随机变量均值的含义、掌握好其计算公式在解决市场预测，经济统计，风险与决策等领域的实际问题中有着重要的作用。
2、教学目标
2.1知识与技能目标
[1]通过对实际问题的背景分析，理解二项分布随机变量均值的含义；
[2]通过二项分布随机变量均值计算公式的推导与应用，掌握二项分布随机变量均值的计算公式。
2.2过程与方法目标
[1]通过对二项分布随机变量均值计算公式的探究、推导，提高学生抽象概括、推理论证的能力，体会数学建模、先猜后证、化归等数学基本思想；
[2]通过对实际问题的解答，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，增强应用意识。
2.3情感、态度与价值观目标
[1]通过对本课题中难点的解决，培养学生锲而不舍的钻研精神和科学态度；
[2]通过对问题的解决，增强学生对于“一般与特殊”，“主要矛盾与次要矛盾在一定条件下可以互相转化”等辩证唯物主义思想的领悟。
3、教学重点、难点
【教学重点】[1]二项分布随机变量均值计算公式的推导及应用；
[2]数学建模、先猜后证、化归等数学思想方法的渗透。
【教学难点】二项分布随机变量均值计算公式的推导。
二、说教学设计
【总的设计思想】以高中数学新课程基本理念和建构主义理论为指导，以问题为载体、以学生为中心进行教学设计。
【总的设计意图】第一环节的目的是导入新知；第二环节的目的是获取新知；第三环节的目的是迁移应用；第四环节的目的是认知提升；第五环节的目的是拓展创新。
1、创设情境，提出问题
【问题1】在NBA篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分。假设姚明罚球命中的概率为，
问题1.1：他罚球1次的得分的均值是多少？
问题1.2：他罚球2次和罚球3次的得分的均值分别是多少？
问题1.3：如果他在一场比赛中共罚球10次，那么他罚球得分的均值是多少？
问题1.4：如果他在一个赛季中共罚球439次，那么他罚球得分的均值是多少？
【设计意图】
[1]建构主义认为，学习环境中的情境必须有利于学习者对所学内容的意义建构。因此，我将问题情境设置为学生熟悉的NBA篮球比赛，有利于引起学生共鸣，激发学生对所学内容的学习兴趣。
[2]学生通过对问题1.1与问题1.2的亲身演算一方面回顾两点分布随机变量均值的计算公式以及利用定义求离散型随机变量均值的一般步骤。另一方面，由于问题1.1与问题1.2也是二项分布随机变量均值的特殊情形，这样做可以先让学生对于二项分布随机变量均值有一定的感性认识，为接下来升华到理性认识做好铺垫。
[3]问题1.3与问题1.4的目的是，若直接利用定义去求离散型随机变量均值，则计算过程比较繁琐，给学生设置障碍，引发认知冲突，从而有利于引导学生寻找新的解决方法。
2、师生合作，研探论证
2.1建立模型，将实际问题抽象成为数学问题
【问题2】以上这几个问题有何共同之处？是否能表述成同一个问题？
【问题3】如果把姚明罚球次的得分看作随机变量，那么它服从什么分布？能不能将上面的问题抽象成为一般的数学问题？
【设计意图】
[1]问题2的意图是找出实际问题的共性，将其一般化，即“在NBA篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分。假设姚明罚球命中的概率为0.9，那么他罚球次的得分的均值是多少？”。
[2]问题3的意图是找出实际问题的数学实质，将实际问题抽象成为数学问题，即“如果随机变量，那么均值等于多少？”。
[3]这一教学环节的设计可以提高学生的抽象概括能力，这体现了高中新课程注重提高学生的数学思维能力这一基本理念。
2.2先猜后证，利用数学方法得到相应数学问题的结果
【问题4】观察问题1.1、1.2的结果，看看能否从中找到规律？
【设计意图】从特殊的例子中归纳出结论，先猜后证。
【师生合作论证】我们由问题1.1、1.2的结果猜测。（问题1.3的结果（如果计算出来的话）可以作进一步的验证）
以上猜测的结论当然不一定是正确的，下面我们一起来探究，同学们快开动你们聪明的大脑机器。
因为，所以的分布列为
。
根据均值的定义，有。
联想到这个求和的结构与二项式定理的展开式类似，因此我们思考将其进行变形，然后利用二项式定理求和。
这里体现了化归思想。首先要联想到旧知识，然后再考虑如何将问题转化为可以使用旧知识的问题。下面的求和过程就是不断比较要求式通项与二项式定理展开式的结构差异，将要求式拼凑出某个二项式定理的展开式，再来求和。
观察要求式的通项与二项式定理展开式的通项，分析它们的差异，为转化作准备。
最主要的差异在于它们的系数，要求式的通项的系数为，我们希望它能转化为的形式，其中是与无关的值。
所以，
注意到以上式子要求，因此要求式中先将分离出来，从而有
（利用）
（作变量替换）
【设计意图】
[1]高中新课程的基本理念之一是倡导积极主动、勇于探索的学习方式。在这一教学环节中，学生通过对结论证明的探究，丰富了学习方式、改进了学习方法，也有助于学生形成勇于探索、锲而不舍钻研精神和科学态度。
[2]探究结论的论证过程是本节课的重点之一，同时也是难点。为了突出重点、化解难点，我采用黑板板书的方法展示思维过程。
[3]建构主义认为，“联系”与“思考”是意义构建的关键。要把当前学习内容所反映的事物尽量和自己已经知道的事物相联系，并对这种联系加以认真的思考。因此在化解难点的过程中，我先引导学生从均值的定义式的结构特征“联想”到二项式定理的展开式，再“思考”将其进行变形，然后利用二项式定理进行求和。
2.3返回实际，利用数学结果解决实际问题
【问题5】现在我们能不能回答之前提出的问题1.3、1.4了呢？即在NBA篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分。假设姚明罚球命中的概率为，
问题1.3：如果他在一场比赛中共罚球10次，那么他罚球得分的均值是多少？
问题1.4：如果他在一个赛季中共罚球439次，那么他罚球得分的均值是多少？
【设计意图】呼应情境，解决原先提出的实际问题。
3、巩固深化，反馈矫正
【例题】一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确。每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分。学生甲选对任意一题的概率为。学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个。分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。
【练习】
[1]同时抛掷5枚质地均匀的硬币，求出现正面向上的硬币数的均值。
[2]一名射手击中靶心的概率是，如果他在同样的条件下连续射击10次，求他击中靶心的次数的均值。
【设计意图】
[1]对新知进行巩固深化，教师通过学生的反馈信息进行必要的矫正。
[2]高中新课程提倡数学应用，因此利用二项分布随机变量广泛的实际背景来设计题目可以发展学生的数学应用意识。
【例题讲解】
[1]思路引导
考虑到学生可能会想到直接把学生甲和学生乙在这次测验中的成绩看成随机变量，然后通过随机变量均值的定义去计算其均值，这样做从计算量上看是有些复杂的。因此，教学中应先引导学生对例题的背景进行分析，解释为什么可以利用二项分布随机变量均值的计算公式来求平均成绩。
在本例的问题背景中，学生甲每做一道题，相当于进行了一次随机试验，该试验只有两个可能的结果，即“对”或“错”，且出现对的概率为。进一步，回答20道题相当于做了20次独立试验。这样，学生甲做对题目的个数就服从二项分布，从而他在考试中获得的分数为，进而可以经由二项分布随机变量的均值，以及均值的线性性质计算学生甲的成绩的均值。学生乙的成绩的均值也可类似地计算。
[2]解答过程
设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是和，则。所以
。
由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是和。这样，他们在测验中成绩的均值分别为
。
[3]题后思考
【问题6】学生甲在这次单元测验中的成绩一定会是90分吗？他的均值为90分的含义是什么？
【设计意图】增强学生对随机变量均值含义的理解。学生甲在这次单元测验中的成绩当然不一定会是90分，他的成绩是一个随机变量，可能取值为。这个随机变量的均值为90分，其含义是在多次类似的考试中，他的平均成绩大约是90分。
4、课堂小结，自我评价
【师生活动】学生梳理知识，体验过程与方法；进行自我评价，畅谈收益。教师进行必要的引导，帮助学生进行认知提升与思维升华。
【设计意图】
[1]艾宾浩斯遗忘曲线揭示了记忆的遗忘表现出先快后慢的规律，因此在课堂结束前进行小结有利于学生理解、记忆、掌握课堂教学内容。
[2]建构主义认为，“联系”与“思考”是意义建构的关键。课堂小结有利于学生把所学内容与前后左右的知识进行联系，更好地建构自己的知识体系。
5、课外任务，反思创新
【任务1】抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数的期望。
【设计意图】形成性训练。
【任务2】两点分布与二项分布有密切的关系，利用这种关系可以帮助我们记忆服从这两种分布的随机变量均值与成功概率之间的关系。
查找相关资料，看看同学们能不能利用两点分布随机变量均值的计算公式用不同于课堂的方法推导二项分布随机变量均值的计算公式？
【设计意图】拓展性训练。
意图1：培养学生建立知识之间的内在联系的意识。
意图2：自然地将课堂延伸至课外，为不同层次的学生提供选择和发展的空间。
【解答】
[1]更一般的线性性质：随机变量的线性组合的均值等于随机变量均值的线性组合，即。
[2]已知，设
，
则且。
所以。
6、板书设计
课题名称二项分布随机变量均值计算公式论证 例题（教师示范）练习（学生活动）
三、说教法
1、教学方法
依据教学内容及学生的实际特点，教学过程中我主要采用了问题驱动式教学和启发式教学两种方法。
问题驱动式教学法在整个教学设计上均有体现。首先在实际情境中提出问题，引发学生的认知冲突，激发学生的探索欲望（第一环节，即“创设情境，提出问题”）；接着又以问题引导学生将实际问题抽象成数学问题，再以问题启发学生联系旧知识去证明猜测结果（第二环节，即“师生合作，研探论证”）。还有，在进行例题讲解时，以问题引发学生题前思路探寻和题后思考（第三环节，即“巩固深化，反馈矫正”）。最后，再以问题引导学生进行拓展延伸（第五环节，“课外任务，反思创新”）。
启发式教学法主要体现在第二环节，即“师生合作，研探论证”环节中启发学生探究结论的证明过程。还有，在第三环节，即“巩固深化，反馈矫正”环节中启发学生探寻例题的解题思路。
2、教学手段
本节课使用的媒体主要有黑板和电脑多媒体。
黑板主要用于师生共同推演公式的证明过程以及例题的解答过程，这有利于展示思维的过程。
电脑多媒体主要是用演示文稿展示问题情境、例题和课外任务等，这有利于提高教学的效率。
3、教材的处理、裁剪与加工
[1]考虑到学生对于NBA篮球比赛比较感兴趣，因此将教材§2.3.1中的例1“在NBA篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分。如果某运动员罚球命中的概率为，那么他罚球1次的得分的均值是多少？”改编成创设情境中的问题，同时将其中的“某运动员”改成“姚明”，这有利于激发学生的兴趣。
[2]推导二项分布随机变量均值计算公式是本节课的难点，教材直接给出公式并应用，学生对于这一从天而降的公式感到比较意外和茫然。为了化解此难点，先引导学生联想到二项式定理，将问题化归为学生熟悉的内容来处理，这样一来公式的引入就显得自然了。
[3]本节课的例题是教材§2.3.1中的例2。具体教学时，考虑到学生可能会想到直接把学生甲和学生乙在这次测验中的成绩看成随机变量，然后通过随机变量均值的定义去计算其均值，这样做从计算量上看是有些复杂的。因此，教学中先引导学生对例题的背景进行分析，解释为什么可以利用二项分布随机变量均值的计算公式来求平均成绩。另外，增加了题后思考题，有利于对均值含义的理解。
四、说学法
在教学设计的第一环节“创设情境，提出问题”中，根据海南中学的学生对于体育运动的关注度较高的特点，教学中将问题的情境设置为他们熟悉的NBA比赛，这样做容易激发他们的学习热情。学生可以通过对情境的感悟进行定向思考，产生疑问，迅速进入到最佳的学习状态。
在第二环节“师生合作，研探论证”中，根据高二年级的学生具备一定的探究能力、思维能力和建模能力的特点，我在学法上采用“置疑—思考—引导—探究”的学习过程，让学生自主参与知识的发生、发展、形成过程。学生通过这一环节可以获取新知识，体验数学建模、先猜后证、化归等数学思想方法，同时也培养了锲而不舍、积极进取的钻研精神和科学态度。
在第三环节“巩固深化，反馈矫正”中，考虑到学生存在的应用能力偏弱和审题不仔细的情况，我将例题和练习均选为实际应用题，同时在讲解例题时增加了题前的思路分析及问题背景的数学解析。学生通过这一环节学习，不仅可以巩固新知、矫正错误，还可以提高数学知识的应用能力和增强解题时进行解法优化的意识。
在第四环节“课堂小结，自我评价”中，考虑到海南中学的学生语言表述能力较强，我在教学中设计了让学生对规律作进一步的总结，畅谈收益的活动。学生通过这一环节可以进行认知提升与思维升华。
在第五环节“课外任务，反思创新”中，根据海南中学学生个性较强的特点，我不仅设计了形成性训练，还设计了拓展性训练。学生可以根据自身情况进行选择，可以培养学生的学习主动性和保证学生的个性发展。
课外任务，反思创新
课堂小结，自我评价
巩固深化，反馈矫正
师生合作，研探论证
创设情境，提出问题
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