说课稿----曲边梯形的面积
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文档简介
（人教A版）高中数学课程标准实验教科书 数学（选修2-2）第一章第五节
《1.5.1 曲边梯形的面积》说课稿
海口实验中学 覃荣学
一、【教材地位、作用分析】：
《曲边梯形的面积》选自人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2第一章第五节第一课时的内容。教材借助于求曲边梯形的面积这一直观具体的实例来引入到定积分的学习中，为定积分概念构建认知基础，为理解定积分概念及几何意义起到了抛砖引玉的铺垫作用。同时也为今后大学进一步学习微积分打下基础。求曲边梯形面积的过程中蕴涵、渗透定积分的基本思想方法，贯穿于整个定积分学习的始终。作为定积分的前奏曲，《曲边梯形的面积》是定积分概念的引例和重要铺垫材料，故本节课显得至关重要。
二、【教学重点、难点分析】：
重点：直观体会定积分的基本思想方法：“以直代曲”、“无限逼近”的思想；
初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四步曲”
（即：分割、近似代替、求和、取极限）。
难点： “以直代曲”、“无限逼近” 思想的形成过程及理解。
三、【教学目标分析】：
1、知识与技能目标：
（1）从问题情境中了解定积分概念的实际背景；
（2）初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤：“分割、近似代替、求和、取极限”。
2、过程与方法目标：
（1）经历求曲边梯形面积的过程，借助几何直观体会“以直代曲”、及“无限逼近”的思想；
（2）体验从特殊到一般、从具体到抽象的探究过程。
3、情感、态度与价值观目标：
（1）认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点；
（2）感受数学的简单、简洁之美。
四、【教学设计分析】：
设计环节 教学内容 师生互动 设计意图
创设情境引入新课 问题一：我们在小学、初中主要学习求规则的平面图形面积的问题。但现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积？比如海南省的国土面积？ 问题二：该户型图有些边是曲线，有些边是直线，又如何测量该房屋的面积？ 引导学生认识到平面图形分成“直边图形”和“曲边图形”。引导、引出曲边梯形的定义。 带着问题走进课堂，诱发学生的好奇心，激发学生的学习兴趣和求知欲望。体现了数学来源于生活，数学又应用于生活。
定义：由直线x=a，x=b,（a≠b）x轴与曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。（如图） 揭示“直边图形”和“曲边图形”的本质联系，得出曲边梯形的定义 了解曲边梯形的结构特征。
初步探究合作学习 探究1：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的平面图形面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况） 教师引导学生回顾刘微的“割圆术”求圆的面积的“以直代曲”和无限“逼近”思想。体现化归的数学方法。在学生已有知识的基础上，提出解决方案。归纳学生的方案。 先考虑特殊的曲边梯形面积，符合学生的认知规律。由简单到复杂也有助于学生思维的构建和方法的形成。
探究2：能否直接对整条曲边进行“以直代曲”呢？为什么？ 学生讨论，交流得出结论：可能导致误差过大。 类比求圆面积方法，启发学生思维活动。让学生意识到该作法存在缺陷。
探究3：怎样才能尽量减小误差？怎样分割？分成怎样的形状？分割成多少个？ （分割） 学生提出自己的看法，同伴之间进行交流、合作。教师利用多媒体课件演示。探究解决途径：在局部小范围内“以直代曲”。 循序渐进，因势利导，引导学生寻求减小误差的方法途径。
探究4：对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？采用哪种好？（近似代替）不足近似 过剩近似 学生可能提出多种“以直代曲”的方案。教学中，组织学生讨论、分析各种方案的利弊及可操作性。（常见三种方案）分配学生任务，分组合作，尝试计算两种近似代替的结果。（求和）最后教师给出计算结果。（忽略计算过程，对于用到的计算公式加以简单说明。） 引导学生选用恰当的方法作近似代替：小曲边梯形面积（曲边图形）化归为小矩形面积（直边图形）。渗透数学的简单、简洁之美。
探究5：如何从曲边梯形面积的近似值求出曲边梯形的面积？ （取极限）不足近似：过剩近似： 学生观察几何画板演示，注意观察近似值的变化趋势：（1）在不足近似中，随着n的增大，近似值逐渐增大，并趋近实际面积。（2）在过剩近似中，随着n的增大，近似值逐渐减小，并也趋近实际面积。 从几何角度直观感知、体会“无限逼近”思想。并引导学生阅读教材中相关内容，结合两种计算结果，从代数角度进一步诠释“无限逼近”思想。体现数形结合的数学方法。通过两种近似代替的探究，形成左右夹逼，最后得到曲边梯形的面积。
循序渐进形成方法 探究6：前面分别以区间的左端点的函数值和以右端点的函数值为矩形的高来计算近似面积。若取任意的函数值为高，会有怎样的结果？ 学生发表自己的看法，类比书中的方法，进行思考，讨论，归纳、总结。 认识到近似代替的方式不惟一性，循序渐进，有助于发散学生思维空间。为定积分概念作初步铺垫。
探究7：求直线x=a，x=b,（a≠b）x轴，曲线y=f(x)所围成的曲边梯形面积。 由学生观察、交流，类比：为［０，１］等分后的小区间长度。从而得出： 通过类比，得到一般曲边梯形的面积表达，解决本课开始提出的问题，起到前后呼应的作用。体现由特殊上升到一般，由具体到抽象的认识提升。同时进一步为定积分概念作铺垫。
应用新知实战演练 练习：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。 教师巡视、实物展示、加以点评 培养学生自觉运用新知，方法的能力。
小结反思深化认识 小结：（1）求曲边梯形面积的思想方法是什么？（2）具体的步骤是什么？ 以学生叙述为主。不足之处，教师加以补充。 归纳总结本课所学的知识和思想方法。起到在认识上进一步深化，升华。
课后评价陶冶情操 作业：求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。 学生独立完成。 巩固提高，拓展延伸。培养学生的自学能力。
实习作业：查阅资料，收集牛顿和莱布尼茨的生平资料，以及在创立微积分时所做的开创性的工作？ 学生分工合作，共享成果。 体会微积分的建立在人类文明发展中的意义和价值。
板书设计
五、【教法、学法分析】：
本节课我遵循教学的启发性原则，循序渐进原则，直观性原则。
以学生为主体，以问题为主线，以老师为主导，通过环环相扣的问题链，层层深入，不断启发学生的思维活动，使探究活动贯穿整节课始终。从整条曲边到局部小范围内的“以直代曲”，再到近似代替方案讨论，都是在一个个问题的驱动和我的引导下，由学生探究来完成的。另外，我还重点布设了3次思维发散点，分别是在探究2、探究4以及探究6中，要求学生分组讨论，合作交流，为学生创设了充分的探究空间，学生在交流成果的过程中体验学习的乐趣，同时又在我的适度引导与不断肯定下顺利完成了探究活动，并有效的完成了本节课的学习任务。为了培养学生的理性思维，我分别在探究1和探究7中两次设计了从特殊到一般，从具体到抽象的学习思路，有助于培养学生类比、化归、归纳等数学思维和方法的形成。
同时在教材的处理上，努力挖掘教学资源，做到创造性地“用教材”，而不是简单的“教教材”。体现为以下几点：
（1）创设贴近日常生活的问题情境，吸引了学生的注意力。
（2）通过不足近似与过剩近似的左右夹逼讨论，更能让学生深刻体会“无限逼近”的思想。
（3）近似值的变式处理为“和式”形式，更加符合学生的认知水平。
在学习本课之前，虽然在导数学习中有极限思想的渗透，但学生在没有系统学习极限知识的情况下，我利用信息技术多媒体辅助教学，让学生直观地体会“无限逼近”的极限思想，达到了突出本课重点的同时，也突破了难点。
六、【教学评价分析】：
本节课主要采用过程性评价。教师点评、自我评价与学生互评三者相结合。
着重从以下两个方面对学生进行评价：
1、评价学生学习过程
本节课在情境创设中注重与实际生活相联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动当中，是否积极参与课堂探究，是否有积极的情感态度。
2、评价学生解决问题的能力
教学中通过学生回答问题，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用，根据反馈信息及时点评、适时点拨，通过考察学生是否掌握求曲边梯形的思想方法、步骤，并对教学内容作及时的调整和补充。比如：学生对为什么最后得到曲边梯形的面积是，还是存在很大疑惑，于是在第二个班上课时，我做出了及时的补充，加以从代数角度进一步诠释了“无限逼近”思想，达到了很好的教学效果。
同时鼓励学生发表自己的观点，并抓住学生在语言、思想等方面的闪光点给予表扬，树立学生自信心。
以上是我对本节课的理解和设计，不足之处敬请批评指正。
(2)
1.5.1 曲边梯形的面积
y=f(x)
y
x
b
a
o
（以直代曲）
（无限逼近）
取极限
近似代替
B
y
A
x
o
y=f(x)
y
x
b
a
o
(3)
(化归)
面 积 近 似 值
求和
n个小矩形的面积和
n个小曲边梯形的面积和
分割
曲边梯形的面积
5
3
《1.5.1 曲边梯形的面积》说课稿
海口实验中学 覃荣学
一、【教材地位、作用分析】：
《曲边梯形的面积》选自人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2第一章第五节第一课时的内容。教材借助于求曲边梯形的面积这一直观具体的实例来引入到定积分的学习中，为定积分概念构建认知基础，为理解定积分概念及几何意义起到了抛砖引玉的铺垫作用。同时也为今后大学进一步学习微积分打下基础。求曲边梯形面积的过程中蕴涵、渗透定积分的基本思想方法，贯穿于整个定积分学习的始终。作为定积分的前奏曲，《曲边梯形的面积》是定积分概念的引例和重要铺垫材料，故本节课显得至关重要。
二、【教学重点、难点分析】：
重点：直观体会定积分的基本思想方法：“以直代曲”、“无限逼近”的思想；
初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四步曲”
（即：分割、近似代替、求和、取极限）。
难点： “以直代曲”、“无限逼近” 思想的形成过程及理解。
三、【教学目标分析】：
1、知识与技能目标：
（1）从问题情境中了解定积分概念的实际背景；
（2）初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤：“分割、近似代替、求和、取极限”。
2、过程与方法目标：
（1）经历求曲边梯形面积的过程，借助几何直观体会“以直代曲”、及“无限逼近”的思想；
（2）体验从特殊到一般、从具体到抽象的探究过程。
3、情感、态度与价值观目标：
（1）认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点；
（2）感受数学的简单、简洁之美。
四、【教学设计分析】：
设计环节 教学内容 师生互动 设计意图
创设情境引入新课 问题一：我们在小学、初中主要学习求规则的平面图形面积的问题。但现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积？比如海南省的国土面积？ 问题二：该户型图有些边是曲线，有些边是直线，又如何测量该房屋的面积？ 引导学生认识到平面图形分成“直边图形”和“曲边图形”。引导、引出曲边梯形的定义。 带着问题走进课堂，诱发学生的好奇心，激发学生的学习兴趣和求知欲望。体现了数学来源于生活，数学又应用于生活。
定义：由直线x=a，x=b,（a≠b）x轴与曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。（如图） 揭示“直边图形”和“曲边图形”的本质联系，得出曲边梯形的定义 了解曲边梯形的结构特征。
初步探究合作学习 探究1：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的平面图形面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况） 教师引导学生回顾刘微的“割圆术”求圆的面积的“以直代曲”和无限“逼近”思想。体现化归的数学方法。在学生已有知识的基础上，提出解决方案。归纳学生的方案。 先考虑特殊的曲边梯形面积，符合学生的认知规律。由简单到复杂也有助于学生思维的构建和方法的形成。
探究2：能否直接对整条曲边进行“以直代曲”呢？为什么？ 学生讨论，交流得出结论：可能导致误差过大。 类比求圆面积方法，启发学生思维活动。让学生意识到该作法存在缺陷。
探究3：怎样才能尽量减小误差？怎样分割？分成怎样的形状？分割成多少个？ （分割） 学生提出自己的看法，同伴之间进行交流、合作。教师利用多媒体课件演示。探究解决途径：在局部小范围内“以直代曲”。 循序渐进，因势利导，引导学生寻求减小误差的方法途径。
探究4：对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？采用哪种好？（近似代替）不足近似 过剩近似 学生可能提出多种“以直代曲”的方案。教学中，组织学生讨论、分析各种方案的利弊及可操作性。（常见三种方案）分配学生任务，分组合作，尝试计算两种近似代替的结果。（求和）最后教师给出计算结果。（忽略计算过程，对于用到的计算公式加以简单说明。） 引导学生选用恰当的方法作近似代替：小曲边梯形面积（曲边图形）化归为小矩形面积（直边图形）。渗透数学的简单、简洁之美。
探究5：如何从曲边梯形面积的近似值求出曲边梯形的面积？ （取极限）不足近似：过剩近似： 学生观察几何画板演示，注意观察近似值的变化趋势：（1）在不足近似中，随着n的增大，近似值逐渐增大，并趋近实际面积。（2）在过剩近似中，随着n的增大，近似值逐渐减小，并也趋近实际面积。 从几何角度直观感知、体会“无限逼近”思想。并引导学生阅读教材中相关内容，结合两种计算结果，从代数角度进一步诠释“无限逼近”思想。体现数形结合的数学方法。通过两种近似代替的探究，形成左右夹逼，最后得到曲边梯形的面积。
循序渐进形成方法 探究6：前面分别以区间的左端点的函数值和以右端点的函数值为矩形的高来计算近似面积。若取任意的函数值为高，会有怎样的结果？ 学生发表自己的看法，类比书中的方法，进行思考，讨论，归纳、总结。 认识到近似代替的方式不惟一性，循序渐进，有助于发散学生思维空间。为定积分概念作初步铺垫。
探究7：求直线x=a，x=b,（a≠b）x轴，曲线y=f(x)所围成的曲边梯形面积。 由学生观察、交流，类比：为［０，１］等分后的小区间长度。从而得出： 通过类比，得到一般曲边梯形的面积表达，解决本课开始提出的问题，起到前后呼应的作用。体现由特殊上升到一般，由具体到抽象的认识提升。同时进一步为定积分概念作铺垫。
应用新知实战演练 练习：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。 教师巡视、实物展示、加以点评 培养学生自觉运用新知，方法的能力。
小结反思深化认识 小结：（1）求曲边梯形面积的思想方法是什么？（2）具体的步骤是什么？ 以学生叙述为主。不足之处，教师加以补充。 归纳总结本课所学的知识和思想方法。起到在认识上进一步深化，升华。
课后评价陶冶情操 作业：求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。 学生独立完成。 巩固提高，拓展延伸。培养学生的自学能力。
实习作业：查阅资料，收集牛顿和莱布尼茨的生平资料，以及在创立微积分时所做的开创性的工作？ 学生分工合作，共享成果。 体会微积分的建立在人类文明发展中的意义和价值。
板书设计
五、【教法、学法分析】：
本节课我遵循教学的启发性原则，循序渐进原则，直观性原则。
以学生为主体，以问题为主线，以老师为主导，通过环环相扣的问题链，层层深入，不断启发学生的思维活动，使探究活动贯穿整节课始终。从整条曲边到局部小范围内的“以直代曲”，再到近似代替方案讨论，都是在一个个问题的驱动和我的引导下，由学生探究来完成的。另外，我还重点布设了3次思维发散点，分别是在探究2、探究4以及探究6中，要求学生分组讨论，合作交流，为学生创设了充分的探究空间，学生在交流成果的过程中体验学习的乐趣，同时又在我的适度引导与不断肯定下顺利完成了探究活动，并有效的完成了本节课的学习任务。为了培养学生的理性思维，我分别在探究1和探究7中两次设计了从特殊到一般，从具体到抽象的学习思路，有助于培养学生类比、化归、归纳等数学思维和方法的形成。
同时在教材的处理上，努力挖掘教学资源，做到创造性地“用教材”，而不是简单的“教教材”。体现为以下几点：
（1）创设贴近日常生活的问题情境，吸引了学生的注意力。
（2）通过不足近似与过剩近似的左右夹逼讨论，更能让学生深刻体会“无限逼近”的思想。
（3）近似值的变式处理为“和式”形式，更加符合学生的认知水平。
在学习本课之前，虽然在导数学习中有极限思想的渗透，但学生在没有系统学习极限知识的情况下，我利用信息技术多媒体辅助教学，让学生直观地体会“无限逼近”的极限思想，达到了突出本课重点的同时，也突破了难点。
六、【教学评价分析】：
本节课主要采用过程性评价。教师点评、自我评价与学生互评三者相结合。
着重从以下两个方面对学生进行评价：
1、评价学生学习过程
本节课在情境创设中注重与实际生活相联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动当中，是否积极参与课堂探究，是否有积极的情感态度。
2、评价学生解决问题的能力
教学中通过学生回答问题，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用，根据反馈信息及时点评、适时点拨，通过考察学生是否掌握求曲边梯形的思想方法、步骤，并对教学内容作及时的调整和补充。比如：学生对为什么最后得到曲边梯形的面积是，还是存在很大疑惑，于是在第二个班上课时，我做出了及时的补充，加以从代数角度进一步诠释了“无限逼近”思想，达到了很好的教学效果。
同时鼓励学生发表自己的观点，并抓住学生在语言、思想等方面的闪光点给予表扬，树立学生自信心。
以上是我对本节课的理解和设计，不足之处敬请批评指正。
(2)
1.5.1 曲边梯形的面积
y=f(x)
y
x
b
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o
（以直代曲）
（无限逼近）
取极限
近似代替
B
y
A
x
o
y=f(x)
y
x
b
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(3)
(化归)
面 积 近 似 值
求和
n个小矩形的面积和
n个小曲边梯形的面积和
分割
曲边梯形的面积
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