四川省绵阳市2023年中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题要求．
1．（2023·绵阳）在实数0，，﹣π，中，最小的数是（ ）
A．﹣π B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：由题意得-π＜0＜＜，
∴最小的数为-π，
故答案为：A
【分析】根据题意比较有理数和无理数的大小，进而即可得到最小的数。
2．（2023·绵阳）在2023年“五一”期间，仙海旅游景区接待游客102200人次，将102200用科学记数法表示为（ ）
A．1.022×103 B．1.022×104 C．1.022×105 D．1.022×106
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得将102200用科学记数法表示为1.022×105
故答案为：C
【分析】根据题意运用科学记数法表示数据102200即可求解。
3．（2023·绵阳）下列几何体中三个视图完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A.三棱柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图是三角形，A不符合题意；
B.圆锥的主视图和左视图均为等腰三角形，俯视图是具有圆心的圆，B不符合题意；
C.圆柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图是圆，C不符合题意；
D.球的三视图都是圆，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意对选项逐一分析即可求解。
4．（2023九上·邵阳月考）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质结合题意即可求解。
5．（2023·绵阳）我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得可列方程组，
故答案为：A
【分析】设鸡x只，兔y只，进而结合“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足”即可列出方程组。
6．（2023·绵阳）蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．9条
【答案】C
【知识点】轴对称图形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
该正六边形有6条对称轴.
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的定义结合题意即可得到正六边形对称轴的数量。
7．（2023·绵阳）阅读可以丰富知识，拓展视野，在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（ ）
A．极差是6 B．中位数是5 C．众数是6 D．平均数是5
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：A.极差，A不符合题意；
A． 调查40名学生，中位数是第20和第21名的平均数是5，B符合题意；
B． 读书册数为5的学生人数最多，所以总数为5，C不符合题意；
C． 平均数为，D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据极差、中位数、众数、平均数的定义结合统计图的数据对选项逐一分析即可求解。
8．（2023·绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（ ）
A． B．6 C．8 D．
【答案】C
【知识点】角的运算；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：为等边三角形，
，，
是边上的中线，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
故答案为：C
【分析】先根据等边三角形的性质得到，，进而得到，，，再结合题意进行角的运算得到，，进而运用勾股定理即可求出AD，从而即可求解。
9．（2023·绵阳）关于x的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．11 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式得，
解不等式得，
不等式组有且只有两个整数解，
，
，
整数的取值为5，6，7，
所有整数的和．
故答案为：C
【分析】先分别解不等式，进而得到不等式组的解集，再结合不等式有且只有两个整数解求出m的取值即可求解。
10．（2023·绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4a，则AB＝（ ）
A．（﹣1）a B．（2﹣2）a C．（+1）a D．（2+2）a
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设，
四边形是正方形，
，
矩形是黄金矩形，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
，
故答案为：D
【分析】先设AB=x，再根据正方形的性质得到，接着结合题意中黄金矩形的定义得到，最后进行计算即可求解。
11．（2023·绵阳）若x＝3是关于x的一元二次方程的一个根，下面对a的值估计正确的是（ ）
A．＜a＜1 B．1＜a＜ C．＜a＜2 D．2＜a＜
【答案】B
【知识点】无理数的估值；一元二次方程的根；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将代入方程，得，
解得，
又，
∴，
又∵，
∴，
，
即．
故答案为：B.
【分析】先将x=3代入方程解一元二次方程即可得到a，进而对求解出的a进行估值即可求解。
12．（2023·绵阳）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG＝3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：四边形是正方形，，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，，
又，
，
又，，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】先根据正方形的性质结合题意即可得到，，，进而根据勾股定理求出AG，再运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，进而代入数值即可得到，，再根据平行线的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质得到，最后运用锐角三角函数的定义即可求解。
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．
13．（2023·绵阳）因式分解：x2﹣9x＝ ．
【答案】x（x﹣9）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：由题意得x2﹣9x＝x（x﹣9），
故答案为：x（x﹣9）
【分析】根据提公因式法因式分解提取公因式x即可求解。
14．（2023·绵阳）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点B（a，b），则a+b＝ ．
【答案】0
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由题意得将点A（﹣1，2）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到（0，0），
∴a=0，b=0，
∴a+b=0，
故答案为：0
【分析】根据点坐标的平移规律即可得到点A平移后的点的坐标为（0，0），进而得到a=0，b=0，从而即可求解。
15．（2023·绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得2x-1≥0，
∴，
∴x的最小值为，
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意即可得到2x-1≥0，进而解不等式，再结合题意即可求解。
16．（2023·绵阳）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC＝10m，∠B＝30°，则中柱AD（D为底边中点）的长为 m．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形
【解析】【解答】解：，，
，
在中，，，
，
，
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形及垂直平分线的性质可得，在中，结合三角函数可求出AD。
17．（2023·绵阳）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距180km的古镇旅行，原计划以速度v km/h匀速前行，因急事以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果就比原计划提前了0.5h到达，则原计划的速度v为 km/h．
【答案】60
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
原计划的速度为.
故答案为：60．
【分析】根据比原计划提前了的题目信息列出分式方程，进而解方程即可求解。
18．（2023九上·福田月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，满足A1B1∥AC，过点B作BE⊥A1C，垂足为E，连接AE，若S△ABE＝3S△ACE，则AB的长为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：记A1C交AB于D，如图：
∵A1B1//AC，
∴∠A1=∠A1CA，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，
∴∠A1=∠BAC，
∴∠A1CA=∠BAC，
∴CD=AD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠BAC=90°=∠A1CA+∠BCD，
∴∠CBD=∠BCD，
∴BD=CD，
∴BD=CD=AD，
∴，
∵S△ABE=3S△ACE，
即2S△ADE=3S△ACE，
∴S△ADE：S△ACE=DE：CE=3：2.
设CE=2x ，则DE=3x，BD=AD=CD=5x，
∴
，
∴ Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，
即
解得：，
∴.
故答案为：.
【分析】记A1C交AB于D，由平行的性质得到∠A1=∠A1CA，由旋转得到∠A1=∠BAC，于是可得∠A1CA=∠BAC，根据∠CBD+∠BAC=∠A1CA+∠BCD=90°，得到∠CBD=∠BCD，从而可得AD=CD=BD.根据2S△ADE= S△ABE＝3S△ACE可得DE：CE=3：2.设CE=2x，可表示出DE，BD，BC，AB的长，利用勾股定理即可求出x，从而可得AB的长.
三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2023·绵阳）（1）计算： ；
（2）先化简， 再求值： ， 其中
【答案】（1）解：原式＝2﹣4×+3﹣1
＝2﹣2+2
＝2
（2）解：原式＝
＝
当 时， 原式
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值结合题意运算即可求解；
（2）先运用分式的混合运算进行化简，进而代入数值即可求解。
20．（2023·绵阳）随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为 度；
（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．
【答案】（1）20；18；36
（2）解：设男生为A，女生为B，画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有6种情况，
∴恰好都是女性的概率＝．
【知识点】扇形统计图；折线统计图；列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：（1）（人，（人，在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为，
故答案为：20人，18人，36；
【分析】（1）根据扇形统计图和折线统计图的信息结合题意即可求解；
（2）设男生为A，女生为B，进而画树状图，从而即可得到共有20种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有6种情况，再根据等可能事件的概率即可求解。
21．（2023·绵阳）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
时间 第一天 第二天 第三天 第四天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额﹣成本）
【答案】（1）解：依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b，
得，
解得，
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40；
（2）解：依题意，设利润为w元，
得w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400，
配方，得w＝﹣（x﹣25）2+225，
∵﹣1＜0
∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为225，
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先根据表格即可设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b，进而代入两组数据即可求出一次函数的解析式；
（2）设利润为w元，根据利润=总售价-进价结合题意进行计算即可得到w＝﹣（x﹣25）2+225，进而根据二次函数的性质结合题意即可求解。
22．（2023·绵阳）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求证：BE∥DF；
（2）过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF；
（2）解：由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DO＝BO，
∵OM⊥BD，
∴DM＝BM，
∵△BFM的周长为12，
∴BM+MF+BF＝DM+MF+BF＝DF+BF＝12，
∴四边形BEDF的周长为24．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到AB＝DC，∠BAE＝∠DCF，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ABE≌△CDF（SAS）即可得到∠AEB＝∠CFD，从而根据平行线的判定即可求解；
（2）由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，进而根据三角形全等的性质即可得到BE＝DF，从而运用平行四边形的判定与性质得到DO＝BO，再结合题意根据BM+MF+BF＝DM+MF+BF＝DF+BF即可求解。
23．（2023·绵阳）如图，过原点O的直线与反比例函数（k≠0）的图象交于A（1，2），B两点，一次函数y2＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式；当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围；
（2）在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：x的取值范围是：0＜x＜1或x＞2．
（2）解：将x＝2代入反比例函数解析式得，
y＝1，
所以点C的坐标为（2，1）．
则OC＝．
当OC＝OM时，
OM＝，
所以点M坐标为（0，）或（0，﹣）．
当CM＝CO时，
点C在OM的垂直平分线上，
又因为点C坐标为（2，1），
所以点M坐标为（0，2）．
当MO＝MC时，
点M在OC的垂直平分线上，
过点C作CN⊥y轴于点N，
令MO＝m，则MC＝m，MN＝m﹣1，
在Rt△CMN中，
CN2+MN2＝MC2，
即22+（m﹣1）2＝m2，
解得m＝．
所以点M的坐标为（0，）．
综上所述：点M的坐标为（0，）或（0，-）或（0，2）或（0，）．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据一次函数与反比例函数的交点坐标，观察图像即可求解；
（2）先根据反比例函数图象上的点求出点C的坐标，进而运用勾股定理求出OC，再结合等腰三角形的判定与性质分析讨论：当OC＝OM时，当CM＝CO时，当MO＝MC时，从而结合题意运用勾股定理即可求解。
24．（2023·绵阳）如图，在⊙O中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，AE为切线，连接ED．并延长交⊙O于点F，连接BF交AC于点G．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）求证：△ADE≌△ABG；
（3）若AE＝3，AG＝3GC，求cos∠CBF的值．
【答案】（1）证明：∵点A，B，C，D为圆周的四等分点，
∴，AC为直径，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝45°，
∵AE为切线，
∴AC⊥AE，
∴∠CAE＝90°，
∴∠DAE＝45°，
∴AD平分∠CAE；
（2）证明：∵∠ABF+∠ADF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，
∴∠ADE＝∠ABF，
在△ADE和△ABG中，
，
∴△ADE≌△ABG（ASA）；
（3）解：过G点GH⊥BC于H点，如图，
∵△ADE≌△ABG，
∴AG＝AE＝3，
∴AG＝3CG，
∴CG＝1，AC＝4，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AC＝2，
在Rt△CGH中，CH＝GH＝CG＝，
∴BH＝BC﹣CH＝
在Rt△BGH中，BG＝
∴cos∠HBG＝
即cos∠CBF的值为．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆的综合题；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先根据四等分点得到，AC为直径，进而根据圆周角定理即可得到∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝45°，再根据切线的性质得到AC⊥AE，再结合题意运用角平分线的判定即可求解；
（2）先根据题意得到∠ADE＝∠ABF，进而运用三角形全等的判定证明△ADE≌△ABG（ASA）即可求解；
（3）过G点GH⊥BC于H点，先根据三角形全等的性质得到AG＝AE＝3，进而根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，再结合题意根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到BH、BG，再根据锐角三角函数的定义即可求解。
25．（2023·绵阳）如图，抛物线经过△AOD的三个顶点，其中O为原点，A（2，4），D（6，0），点F在线段AD上运动，点G在直线AD上方的抛物线上，GF∥AO，GE⊥DO于点E，交AD于点I，AH平分∠OAD，C（﹣2，﹣4），AH⊥CH于点H，连接FH．
（1）求抛物线的解析式及△AOD的面积；
（2）当点F运动至抛物线的对称轴上时，求△AFH的面积；
（3）试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx（a≠0）．
将A（2，4），D（6，0）代入，得，
解得：，
∴y＝﹣x2+3x．
设点O到AD的距离为d，点A的纵坐标为yA，
∴S△AOD＝AD d＝OD yA＝×6×4＝12．
（2）解：∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3．
当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3，
则
即AF＝AD．
如图，连接OC、OH，
由点C（﹣2，4），得点A与点C关于原点O对称，
∴点A、O、C三点共线，且O为AC的中点．
∵AH⊥CH，
∴OH＝AC＝OA，
∴∠OAH＝∠AHO．
∵AH平分∠CAD，
∴∠OAH＝∠DAH，
∴∠AHO＝∠DAH，
∴HO∥AD，
∴HO与AD间的距离为d，
∴点H到AD的距离为d．
∵S△AFH＝×AF×d，S△AOD＝×AD×d＝12，
∴S△AFH＝×AF×d＝×AD×d＝×（×AD×d）＝×12＝3．
∴当点F运动至抛物线的对称轴上时，△AFH的面积为3；
（3）解：如图，过点A作AL⊥OD于点L，过点F作FK⊥GE于点K．
由题意得AL＝4，OL＝2，
∴OA＝
∴DL＝OD﹣OL＝6﹣2＝4，
在Rt△ADL中，AL＝DL，
∴∠ADL＝45°，
∵GE⊥DO，
∴∠FIK＝45°，即△FIK为等腰直角三角形．
设FK＝m，则KI＝m，
在Rt△AOL和Rt△GFK中，
∵GF∥AO，
∴∠AOL＝∠GFK，
∴tan∠AOL＝tan∠GFK，
∴
即
∴GK＝2m，
∴GI＝GK+KI＝2m+m＝3m．
又∵sin∠AOL＝sin∠GFK，
∴
即
∴FG＝m，
∴
∴的值是定值，定值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；解直角三角形；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先运用待定系数法求出二次函数的解析式，进而设点O到AD的距离为d，点A的纵坐标为yA，根据三角形的面积结合题意即可求解；
（2）先根据二次函数的对称轴公式即可得到抛物线的对称轴为直线x＝3，当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3，进而得到AF＝AD，连接OC、OH，由点C（﹣2，4），得点A与点C关于原点O对称，进而根据角平分线的性质结合平行线的判定即可得到HO∥AD，从而得到HO与AD间的距离为d，再结合三角形的面积即可求解；
（3）过点作于点，过点作于点，先根据勾股定理得到OA的长度，再证得为等腰直角三角形，设，则，再根据解直角三角形的知识得到，，进而即可求解。
1 / 1四川省绵阳市2023年中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题要求．
1．（2023·绵阳）在实数0，，﹣π，中，最小的数是（ ）
A．﹣π B．0 C． D．
2．（2023·绵阳）在2023年“五一”期间，仙海旅游景区接待游客102200人次，将102200用科学记数法表示为（ ）
A．1.022×103 B．1.022×104 C．1.022×105 D．1.022×106
3．（2023·绵阳）下列几何体中三个视图完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·邵阳月考）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·绵阳）我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·绵阳）蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．9条
7．（2023·绵阳）阅读可以丰富知识，拓展视野，在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（ ）
A．极差是6 B．中位数是5 C．众数是6 D．平均数是5
8．（2023·绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（ ）
A． B．6 C．8 D．
9．（2023·绵阳）关于x的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．11 B．15 C．18 D．21
10．（2023·绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4a，则AB＝（ ）
A．（﹣1）a B．（2﹣2）a C．（+1）a D．（2+2）a
11．（2023·绵阳）若x＝3是关于x的一元二次方程的一个根，下面对a的值估计正确的是（ ）
A．＜a＜1 B．1＜a＜ C．＜a＜2 D．2＜a＜
12．（2023·绵阳）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG＝3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．
13．（2023·绵阳）因式分解：x2﹣9x＝ ．
14．（2023·绵阳）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点B（a，b），则a+b＝ ．
15．（2023·绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为 ．
16．（2023·绵阳）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC＝10m，∠B＝30°，则中柱AD（D为底边中点）的长为 m．
17．（2023·绵阳）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距180km的古镇旅行，原计划以速度v km/h匀速前行，因急事以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果就比原计划提前了0.5h到达，则原计划的速度v为 km/h．
18．（2023九上·福田月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，满足A1B1∥AC，过点B作BE⊥A1C，垂足为E，连接AE，若S△ABE＝3S△ACE，则AB的长为 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2023·绵阳）（1）计算： ；
（2）先化简， 再求值： ， 其中
20．（2023·绵阳）随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为 度；
（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．
21．（2023·绵阳）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
时间 第一天 第二天 第三天 第四天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额﹣成本）
22．（2023·绵阳）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求证：BE∥DF；
（2）过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长．
23．（2023·绵阳）如图，过原点O的直线与反比例函数（k≠0）的图象交于A（1，2），B两点，一次函数y2＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式；当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围；
（2）在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2023·绵阳）如图，在⊙O中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，AE为切线，连接ED．并延长交⊙O于点F，连接BF交AC于点G．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）求证：△ADE≌△ABG；
（3）若AE＝3，AG＝3GC，求cos∠CBF的值．
25．（2023·绵阳）如图，抛物线经过△AOD的三个顶点，其中O为原点，A（2，4），D（6，0），点F在线段AD上运动，点G在直线AD上方的抛物线上，GF∥AO，GE⊥DO于点E，交AD于点I，AH平分∠OAD，C（﹣2，﹣4），AH⊥CH于点H，连接FH．
（1）求抛物线的解析式及△AOD的面积；
（2）当点F运动至抛物线的对称轴上时，求△AFH的面积；
（3）试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：由题意得-π＜0＜＜，
∴最小的数为-π，
故答案为：A
【分析】根据题意比较有理数和无理数的大小，进而即可得到最小的数。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得将102200用科学记数法表示为1.022×105
故答案为：C
【分析】根据题意运用科学记数法表示数据102200即可求解。
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A.三棱柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图是三角形，A不符合题意；
B.圆锥的主视图和左视图均为等腰三角形，俯视图是具有圆心的圆，B不符合题意；
C.圆柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图是圆，C不符合题意；
D.球的三视图都是圆，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意对选项逐一分析即可求解。
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质结合题意即可求解。
5．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得可列方程组，
故答案为：A
【分析】设鸡x只，兔y只，进而结合“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足”即可列出方程组。
6．【答案】C
【知识点】轴对称图形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
该正六边形有6条对称轴.
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的定义结合题意即可得到正六边形对称轴的数量。
7．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：A.极差，A不符合题意；
A． 调查40名学生，中位数是第20和第21名的平均数是5，B符合题意；
B． 读书册数为5的学生人数最多，所以总数为5，C不符合题意；
C． 平均数为，D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据极差、中位数、众数、平均数的定义结合统计图的数据对选项逐一分析即可求解。
8．【答案】C
【知识点】角的运算；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：为等边三角形，
，，
是边上的中线，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
故答案为：C
【分析】先根据等边三角形的性质得到，，进而得到，，，再结合题意进行角的运算得到，，进而运用勾股定理即可求出AD，从而即可求解。
9．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式得，
解不等式得，
不等式组有且只有两个整数解，
，
，
整数的取值为5，6，7，
所有整数的和．
故答案为：C
【分析】先分别解不等式，进而得到不等式组的解集，再结合不等式有且只有两个整数解求出m的取值即可求解。
10．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设，
四边形是正方形，
，
矩形是黄金矩形，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
，
故答案为：D
【分析】先设AB=x，再根据正方形的性质得到，接着结合题意中黄金矩形的定义得到，最后进行计算即可求解。
11．【答案】B
【知识点】无理数的估值；一元二次方程的根；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将代入方程，得，
解得，
又，
∴，
又∵，
∴，
，
即．
故答案为：B.
【分析】先将x=3代入方程解一元二次方程即可得到a，进而对求解出的a进行估值即可求解。
12．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：四边形是正方形，，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，，
又，
，
又，，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】先根据正方形的性质结合题意即可得到，，，进而根据勾股定理求出AG，再运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，进而代入数值即可得到，，再根据平行线的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质得到，最后运用锐角三角函数的定义即可求解。
13．【答案】x（x﹣9）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：由题意得x2﹣9x＝x（x﹣9），
故答案为：x（x﹣9）
【分析】根据提公因式法因式分解提取公因式x即可求解。
14．【答案】0
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由题意得将点A（﹣1，2）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到（0，0），
∴a=0，b=0，
∴a+b=0，
故答案为：0
【分析】根据点坐标的平移规律即可得到点A平移后的点的坐标为（0，0），进而得到a=0，b=0，从而即可求解。
15．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得2x-1≥0，
∴，
∴x的最小值为，
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意即可得到2x-1≥0，进而解不等式，再结合题意即可求解。
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形
【解析】【解答】解：，，
，
在中，，，
，
，
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形及垂直平分线的性质可得，在中，结合三角函数可求出AD。
17．【答案】60
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
原计划的速度为.
故答案为：60．
【分析】根据比原计划提前了的题目信息列出分式方程，进而解方程即可求解。
18．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：记A1C交AB于D，如图：
∵A1B1//AC，
∴∠A1=∠A1CA，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，
∴∠A1=∠BAC，
∴∠A1CA=∠BAC，
∴CD=AD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠BAC=90°=∠A1CA+∠BCD，
∴∠CBD=∠BCD，
∴BD=CD，
∴BD=CD=AD，
∴，
∵S△ABE=3S△ACE，
即2S△ADE=3S△ACE，
∴S△ADE：S△ACE=DE：CE=3：2.
设CE=2x ，则DE=3x，BD=AD=CD=5x，
∴
，
∴ Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，
即
解得：，
∴.
故答案为：.
【分析】记A1C交AB于D，由平行的性质得到∠A1=∠A1CA，由旋转得到∠A1=∠BAC，于是可得∠A1CA=∠BAC，根据∠CBD+∠BAC=∠A1CA+∠BCD=90°，得到∠CBD=∠BCD，从而可得AD=CD=BD.根据2S△ADE= S△ABE＝3S△ACE可得DE：CE=3：2.设CE=2x，可表示出DE，BD，BC，AB的长，利用勾股定理即可求出x，从而可得AB的长.
19．【答案】（1）解：原式＝2﹣4×+3﹣1
＝2﹣2+2
＝2
（2）解：原式＝
＝
当 时， 原式
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值结合题意运算即可求解；
（2）先运用分式的混合运算进行化简，进而代入数值即可求解。
20．【答案】（1）20；18；36
（2）解：设男生为A，女生为B，画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有6种情况，
∴恰好都是女性的概率＝．
【知识点】扇形统计图；折线统计图；列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：（1）（人，（人，在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为，
故答案为：20人，18人，36；
【分析】（1）根据扇形统计图和折线统计图的信息结合题意即可求解；
（2）设男生为A，女生为B，进而画树状图，从而即可得到共有20种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有6种情况，再根据等可能事件的概率即可求解。
21．【答案】（1）解：依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b，
得，
解得，
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40；
（2）解：依题意，设利润为w元，
得w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400，
配方，得w＝﹣（x﹣25）2+225，
∵﹣1＜0
∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为225，
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先根据表格即可设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b，进而代入两组数据即可求出一次函数的解析式；
（2）设利润为w元，根据利润=总售价-进价结合题意进行计算即可得到w＝﹣（x﹣25）2+225，进而根据二次函数的性质结合题意即可求解。
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF；
（2）解：由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，
∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DO＝BO，
∵OM⊥BD，
∴DM＝BM，
∵△BFM的周长为12，
∴BM+MF+BF＝DM+MF+BF＝DF+BF＝12，
∴四边形BEDF的周长为24．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到AB＝DC，∠BAE＝∠DCF，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ABE≌△CDF（SAS）即可得到∠AEB＝∠CFD，从而根据平行线的判定即可求解；
（2）由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，进而根据三角形全等的性质即可得到BE＝DF，从而运用平行四边形的判定与性质得到DO＝BO，再结合题意根据BM+MF+BF＝DM+MF+BF＝DF+BF即可求解。
23．【答案】（1）解：x的取值范围是：0＜x＜1或x＞2．
（2）解：将x＝2代入反比例函数解析式得，
y＝1，
所以点C的坐标为（2，1）．
则OC＝．
当OC＝OM时，
OM＝，
所以点M坐标为（0，）或（0，﹣）．
当CM＝CO时，
点C在OM的垂直平分线上，
又因为点C坐标为（2，1），
所以点M坐标为（0，2）．
当MO＝MC时，
点M在OC的垂直平分线上，
过点C作CN⊥y轴于点N，
令MO＝m，则MC＝m，MN＝m﹣1，
在Rt△CMN中，
CN2+MN2＝MC2，
即22+（m﹣1）2＝m2，
解得m＝．
所以点M的坐标为（0，）．
综上所述：点M的坐标为（0，）或（0，-）或（0，2）或（0，）．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据一次函数与反比例函数的交点坐标，观察图像即可求解；
（2）先根据反比例函数图象上的点求出点C的坐标，进而运用勾股定理求出OC，再结合等腰三角形的判定与性质分析讨论：当OC＝OM时，当CM＝CO时，当MO＝MC时，从而结合题意运用勾股定理即可求解。
24．【答案】（1）证明：∵点A，B，C，D为圆周的四等分点，
∴，AC为直径，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝45°，
∵AE为切线，
∴AC⊥AE，
∴∠CAE＝90°，
∴∠DAE＝45°，
∴AD平分∠CAE；
（2）证明：∵∠ABF+∠ADF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，
∴∠ADE＝∠ABF，
在△ADE和△ABG中，
，
∴△ADE≌△ABG（ASA）；
（3）解：过G点GH⊥BC于H点，如图，
∵△ADE≌△ABG，
∴AG＝AE＝3，
∴AG＝3CG，
∴CG＝1，AC＝4，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AC＝2，
在Rt△CGH中，CH＝GH＝CG＝，
∴BH＝BC﹣CH＝
在Rt△BGH中，BG＝
∴cos∠HBG＝
即cos∠CBF的值为．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆的综合题；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先根据四等分点得到，AC为直径，进而根据圆周角定理即可得到∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝45°，再根据切线的性质得到AC⊥AE，再结合题意运用角平分线的判定即可求解；
（2）先根据题意得到∠ADE＝∠ABF，进而运用三角形全等的判定证明△ADE≌△ABG（ASA）即可求解；
（3）过G点GH⊥BC于H点，先根据三角形全等的性质得到AG＝AE＝3，进而根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，再结合题意根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到BH、BG，再根据锐角三角函数的定义即可求解。
25．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx（a≠0）．
将A（2，4），D（6，0）代入，得，
解得：，
∴y＝﹣x2+3x．
设点O到AD的距离为d，点A的纵坐标为yA，
∴S△AOD＝AD d＝OD yA＝×6×4＝12．
（2）解：∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3．
当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3，
则
即AF＝AD．
如图，连接OC、OH，
由点C（﹣2，4），得点A与点C关于原点O对称，
∴点A、O、C三点共线，且O为AC的中点．
∵AH⊥CH，
∴OH＝AC＝OA，
∴∠OAH＝∠AHO．
∵AH平分∠CAD，
∴∠OAH＝∠DAH，
∴∠AHO＝∠DAH，
∴HO∥AD，
∴HO与AD间的距离为d，
∴点H到AD的距离为d．
∵S△AFH＝×AF×d，S△AOD＝×AD×d＝12，
∴S△AFH＝×AF×d＝×AD×d＝×（×AD×d）＝×12＝3．
∴当点F运动至抛物线的对称轴上时，△AFH的面积为3；
（3）解：如图，过点A作AL⊥OD于点L，过点F作FK⊥GE于点K．
由题意得AL＝4，OL＝2，
∴OA＝
∴DL＝OD﹣OL＝6﹣2＝4，
在Rt△ADL中，AL＝DL，
∴∠ADL＝45°，
∵GE⊥DO，
∴∠FIK＝45°，即△FIK为等腰直角三角形．
设FK＝m，则KI＝m，
在Rt△AOL和Rt△GFK中，
∵GF∥AO，
∴∠AOL＝∠GFK，
∴tan∠AOL＝tan∠GFK，
∴
即
∴GK＝2m，
∴GI＝GK+KI＝2m+m＝3m．
又∵sin∠AOL＝sin∠GFK，
∴
即
∴FG＝m，
∴
∴的值是定值，定值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；解直角三角形；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先运用待定系数法求出二次函数的解析式，进而设点O到AD的距离为d，点A的纵坐标为yA，根据三角形的面积结合题意即可求解；
（2）先根据二次函数的对称轴公式即可得到抛物线的对称轴为直线x＝3，当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3，进而得到AF＝AD，连接OC、OH，由点C（﹣2，4），得点A与点C关于原点O对称，进而根据角平分线的性质结合平行线的判定即可得到HO∥AD，从而得到HO与AD间的距离为d，再结合三角形的面积即可求解；
（3）过点作于点，过点作于点，先根据勾股定理得到OA的长度，再证得为等腰直角三角形，设，则，再根据解直角三角形的知识得到，，进而即可求解。
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