四川省广元市重点中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题共40分）
1．（2024高二下·广元开学考）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·广元开学考）设是一个随机试验中的两个事件，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
3．（2024高二下·广元开学考）等差数列中，，则的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
4．（2024高二下·广元开学考）已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·广元开学考）随机抛掷两枚均匀骰子，则得到的两个股子的点数之和是4的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·广元开学考）如图，空间四边形的对角线分别为的中点，并且异面直线与所成的角为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2024高二下·广元开学考）我国古代著作《庄子 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2024高二下·广元开学考）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．已知某“鞠”的表面上有四个点、，其中平面，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9．（2024高二下·广元开学考）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．平面平面 D．
10．（2023高三上·衡水模拟）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
11．（2024高二下·广元开学考）已知圆，直线，则（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆可能相离
C．圆被轴截得的弦长为
D．圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为
12．（2024高二下·广元开学考）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线．直线与曲线交于两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为 B．曲线的离心率为
C．直线的方程为 D．的周长为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
13．（2024高二下·广元开学考）已知向量，若，则 ．
14．（2024高二下·广元开学考）若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则 ．
15．（2024高二下·广元开学考）记为等差数列的前项和，公差不为0，若，则 ．
16．（2024高二下·广元开学考）过抛物线的焦点作圆的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题、共计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
17．（2024高二下·广元开学考）设等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18．（2024高二下·广元开学考）为参加广元市第八届“学宪法讲宪法”演讲比赛，某校组织选拔活动，通过两轮比赛最终决定参加市级比赛人选，已知甲同学晋级第二轮的概率为，乙同学晋级第二轮的概率为．若甲、乙能进入第二轮，在第二轮比赛中甲、乙两人能胜出的概率均为．假设甲、乙第一轮是否晋级和在第二轮中能否胜出互不影响．
（1）若甲、乙有且只有一人能晋级第二轮的概率为，求的值：
（2）在（1）的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加市级比赛的概率．
19．（2024高二下·广元开学考）三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，
（1）试用表示向量；
（2）若，求的长．
20．（2022·江门模拟）已知数列中，满足.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
21．（2024高二下·广元开学考）如图为直三棱柱，，设为的中点．
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值．
22．（2024高二下·广元开学考）已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为为椭圆的右焦点，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积；
（3）设是椭圆上不同于的一点，直线与直线分别交于点．证明：以线段为直径的圆过定点，并求出定点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：直线的方程为，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
则，即.
故答案为：.
【分析】求出直线的斜率，根据倾斜角的范围即可求解.
2．【答案】D
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意知，A，B是一个随机试验中的两个事件，
对于A选项：，故A错误；
对于B：因为A，B是一个随机试验中的两个事件，
若，则，故B错误；
对于C：当A、B独立时，，
当A、B不独立时，则不成立，故C错误；
对于D：若，则，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据随机试验中的事件概率定义以及概率的性质，对各个选项判断既可.
3．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：等差数列中，，，
所以，解得，
所以，
所以.
故答案为：C
【分析】利用等差数列的基本量计算可求得通项公式，从而可得解.
4．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得：双曲线的焦距为，
所以，，又因为，
解得：，
所以双曲线的方程为，
所以的渐近线方程是.
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的性质，利用待定系数法解得，的值，即可解得，从而求得答案.
5．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：设抛掷两枚骰子得到的点数的基本事件总数为，所得点数之和是4的倍数为事件B，
则，
而事件B的所有结果分别为共9种，
所求的概率为.
故答案为：C
【分析】分别计算基本事件总数以及事件B的个数，由古典概型即可求解.
6．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角；异面直线的判定
【解析】【解答】解：分别为的中点，
取的中点，连接，，如图，
则，，
（或其补角）即异面直线与所成的角，
又异面直线与所成的角为，
，，，
.
故答案为：C.
【分析】如图作出辅助线，取的中点，连接，，则，，再解三角形即可.
7．【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可设数列是首项为、公比为的等比数列，
∴，，
由可得：，
即，解得：，
∵，
∴正整数的最小值为 6，
故选：B．
【分析】理解题意，可知数列是等比数列，通过首项和公比可求得到及公式，再解不等式即可.
8．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，平面，平面，
所以，
又，即，
所以两两垂直，如图，将三棱锥补全为以为长，宽，高的长方体，
所以三棱锥的外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，
即该球的直径为长方体体对角线的长，
因为，
所以，
所以该球的半径为2，体积为.
故答案为：C
【分析】根据线面垂直的性质定理可得，将三棱锥补全为以为长，宽，高的长方体，进而得到三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，求出长方体体对角线的长，得到该球的半径和体积.
9．【答案】A,B,C
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于选项A，
因为底面，平面，则，
因为，且平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，故A正确；
根据A选项的分析可知，平面，且平面，
所以平面⊥平面，故C正确；
对于B，由选项A知，
，又，且平面，平面
所以平面，
且平面，所以，故B正确；
对于D，若，
则垂直于在平面内的射影，显然不成立，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用线面垂直和面面垂直的判定定理与性质定理对各个选项分别分析判断即可得出结论.
10．【答案】C,D
【知识点】数列的函数特性；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解： 解：当时，，
又，
所以，则是递减数列，A错误；
因为，B错误；
当n>4时，，C正确；
因为的对称轴为，开口向下，
而，且n=3或4距离对称轴一样远，所以当
n=3或4时，取得最大值，D正确.
故答案为：CD.
【分析】 利用与的关系，求出数列通项公式，即可判断A、B、C，再结合二次函数的性质即可求解.
11．【答案】A,C
【知识点】恒过定点的直线；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：直线可化简为，
由，得，即l恒过定点，故A正确；
圆，可知圆心，半径为5，
点与圆心的距离，故直线l与圆C恒相交，故B错误；
圆被轴截得的弦长为，
可令，则，可得，，
故圆C被y轴截得的弦长为，故C正确；
要使直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，
所以直线l的斜率，可得，故直线l为，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】先将直线方程进行化简合并，根据含参数的直线方程过定点的方法判断A即可；由点与圆心距离判断直线与圆位置关系，即可判断B；令，求出圆与y轴交点纵坐标，可得弦长从而判断C；将与圆心连线垂直于直线，求出直线的方程即可判断D．
12．【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图：
设圆的半径为，
由图可知，线段的垂直平分线交于点，
所以，
所以点到点与点的距离之和始终为定值，且，
故点的轨迹为：以点与点为焦点的椭圆，可设其方程为，
故，，所以，，
所以椭圆的方程为：，故A正确；
椭圆的离心率为：，故B错误；
直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，
设，，则，.
由点差法得：，所以，
所以，即，
所以直线的方程为：，即，故C正确；
由于直线：过椭圆的上焦点，
所以的周长为，故D正确。
故答案为：ACD.
【分析】作出图分析，求出椭圆的方程判断选项A与B，利用点差法求出直线的斜率，从而可判断C，由直线过椭圆的上焦点，所以的周长为，可判定D.
13．【答案】-1
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
若，则，
即，
解得.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直的坐标表示公式求解即可.
14．【答案】2
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：抛物线，，
抛物线上的点到其焦点的距离为3，
由抛物线定义可知：，解得.
故答案为：
【分析】根据抛物线方程可得，再由抛物线定义求参数即可.
15．【答案】1
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意知为等差数列，
因为，而，
所以，
所以，
整理得，
所以.
故答案为：1
【分析】根据等差数列的通项公式以及前项和公式列式计算即得.
16．【答案】4
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图：
圆的圆心，半径，
因为过抛物线的焦点作圆的两条切线，切点分别为，
所以切圆于点，得，且平分，
而为等边三角形，即，
于是，，则点，
又抛物线的焦点，
所以，即.
故答案为：4
【分析】画出图形，根据圆、抛物线的对称性并结合已知条件，再结合图形求出的长即可得解.
17．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
依题意得，解得.
故数列的通项公式是
（2）解：由（1）知，.
所以
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，结合等差数列的通项公式及前项和公式即可求解；
（2）根据（1）的结论，再利用裂项相消法即可求解.
18．【答案】（1）解：设事件表示“甲在初赛中晋级”，事件表示“乙在初赛中晋级”，
由题意可知，，
解得.
（2）解：设事件为“甲 乙两人中有且只有一人能参加市级比赛”，为“甲能参加市级比赛”，为“乙能参加市级比赛”，
则，
，
所以.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式可得到结论；
（2）根据独立事件概率公式可求得结果.
19．【答案】（1）解：三棱柱中，为中点，点在线段上，，
则，，
因此
.
（2）解：，，
则，同理得，
所以
.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）数形结合，利用空间向量的线性运算求解即得.
（2）由（1）的结论，利用空间向量的数量积运算即可得出结论.
20．【答案】（1）证明：
于是
因为，
即数列是以为首项，2为公比的等比数列．
因为，所以
（2）解：由（1）知，
所以
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【分析】(1)由已知可证
为等比数列，即可求解；
（2）直接利用等比、等差数列求和公式即可。
21．【答案】（1）证明：在直三棱柱中，平面，平面，则，
又，且，平面，因此平面，又平面，
所以.
（2）解：由（1）知，直线两两垂直，令，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，则，，，
设平面的一个法向量，则，取，得，
设平面的一个法向量，则，取，得，
则，令二面角的大小为，
因此，
所以二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及性质定理即可证明.
（2）如图建立坐标系，分别求出的坐标，从而可求出平面的一个法向量，利用空间向量法求解即可.
22．【答案】（1）解：由题意知，，则，
又离心率，所以，
则，
所以椭圆的方程为.
（2）解：
由题知，，
则过且斜率为1的直线方程为，即，
联立，消去得，
设，
则，
则
，
又点到直线的距离
，
所以的面积.
（3）解：由（1）得，
设，则，即；
直线，直线，
点纵坐标点纵坐标，
即，
以为直径的圆的方程为：，
由对称性可知：以为直径的圆所过定点位于轴上，
设
，
，解得或，
以为直径的圆过点.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质即可求得椭圆方程；
（2）先求出直线方程，并与椭圆联立方程组，利用韦达定理求得，的值，从而求得弦的长，利用点的直线的距离公式，求得点到直线的距离，再利用面积公式计算即可；
（3）设点，分别表示出直线的方程，令，求得，的坐标，表示出圆的方程即可证明.
1 / 1四川省广元市重点中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题共40分）
1．（2024高二下·广元开学考）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：直线的方程为，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
则，即.
故答案为：.
【分析】求出直线的斜率，根据倾斜角的范围即可求解.
2．（2024高二下·广元开学考）设是一个随机试验中的两个事件，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】D
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意知，A，B是一个随机试验中的两个事件，
对于A选项：，故A错误；
对于B：因为A，B是一个随机试验中的两个事件，
若，则，故B错误；
对于C：当A、B独立时，，
当A、B不独立时，则不成立，故C错误；
对于D：若，则，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据随机试验中的事件概率定义以及概率的性质，对各个选项判断既可.
3．（2024高二下·广元开学考）等差数列中，，则的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：等差数列中，，，
所以，解得，
所以，
所以.
故答案为：C
【分析】利用等差数列的基本量计算可求得通项公式，从而可得解.
4．（2024高二下·广元开学考）已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得：双曲线的焦距为，
所以，，又因为，
解得：，
所以双曲线的方程为，
所以的渐近线方程是.
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的性质，利用待定系数法解得，的值，即可解得，从而求得答案.
5．（2024高二下·广元开学考）随机抛掷两枚均匀骰子，则得到的两个股子的点数之和是4的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：设抛掷两枚骰子得到的点数的基本事件总数为，所得点数之和是4的倍数为事件B，
则，
而事件B的所有结果分别为共9种，
所求的概率为.
故答案为：C
【分析】分别计算基本事件总数以及事件B的个数，由古典概型即可求解.
6．（2024高二下·广元开学考）如图，空间四边形的对角线分别为的中点，并且异面直线与所成的角为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角；异面直线的判定
【解析】【解答】解：分别为的中点，
取的中点，连接，，如图，
则，，
（或其补角）即异面直线与所成的角，
又异面直线与所成的角为，
，，，
.
故答案为：C.
【分析】如图作出辅助线，取的中点，连接，，则，，再解三角形即可.
7．（2024高二下·广元开学考）我国古代著作《庄子 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可设数列是首项为、公比为的等比数列，
∴，，
由可得：，
即，解得：，
∵，
∴正整数的最小值为 6，
故选：B．
【分析】理解题意，可知数列是等比数列，通过首项和公比可求得到及公式，再解不等式即可.
8．（2024高二下·广元开学考）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．已知某“鞠”的表面上有四个点、，其中平面，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，平面，平面，
所以，
又，即，
所以两两垂直，如图，将三棱锥补全为以为长，宽，高的长方体，
所以三棱锥的外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，
即该球的直径为长方体体对角线的长，
因为，
所以，
所以该球的半径为2，体积为.
故答案为：C
【分析】根据线面垂直的性质定理可得，将三棱锥补全为以为长，宽，高的长方体，进而得到三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，求出长方体体对角线的长，得到该球的半径和体积.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9．（2024高二下·广元开学考）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．平面平面 D．
【答案】A,B,C
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于选项A，
因为底面，平面，则，
因为，且平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，故A正确；
根据A选项的分析可知，平面，且平面，
所以平面⊥平面，故C正确；
对于B，由选项A知，
，又，且平面，平面
所以平面，
且平面，所以，故B正确；
对于D，若，
则垂直于在平面内的射影，显然不成立，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用线面垂直和面面垂直的判定定理与性质定理对各个选项分别分析判断即可得出结论.
10．（2023高三上·衡水模拟）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
【答案】C,D
【知识点】数列的函数特性；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解： 解：当时，，
又，
所以，则是递减数列，A错误；
因为，B错误；
当n>4时，，C正确；
因为的对称轴为，开口向下，
而，且n=3或4距离对称轴一样远，所以当
n=3或4时，取得最大值，D正确.
故答案为：CD.
【分析】 利用与的关系，求出数列通项公式，即可判断A、B、C，再结合二次函数的性质即可求解.
11．（2024高二下·广元开学考）已知圆，直线，则（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆可能相离
C．圆被轴截得的弦长为
D．圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为
【答案】A,C
【知识点】恒过定点的直线；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：直线可化简为，
由，得，即l恒过定点，故A正确；
圆，可知圆心，半径为5，
点与圆心的距离，故直线l与圆C恒相交，故B错误；
圆被轴截得的弦长为，
可令，则，可得，，
故圆C被y轴截得的弦长为，故C正确；
要使直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，
所以直线l的斜率，可得，故直线l为，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】先将直线方程进行化简合并，根据含参数的直线方程过定点的方法判断A即可；由点与圆心距离判断直线与圆位置关系，即可判断B；令，求出圆与y轴交点纵坐标，可得弦长从而判断C；将与圆心连线垂直于直线，求出直线的方程即可判断D．
12．（2024高二下·广元开学考）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线．直线与曲线交于两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为 B．曲线的离心率为
C．直线的方程为 D．的周长为
【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图：
设圆的半径为，
由图可知，线段的垂直平分线交于点，
所以，
所以点到点与点的距离之和始终为定值，且，
故点的轨迹为：以点与点为焦点的椭圆，可设其方程为，
故，，所以，，
所以椭圆的方程为：，故A正确；
椭圆的离心率为：，故B错误；
直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，
设，，则，.
由点差法得：，所以，
所以，即，
所以直线的方程为：，即，故C正确；
由于直线：过椭圆的上焦点，
所以的周长为，故D正确。
故答案为：ACD.
【分析】作出图分析，求出椭圆的方程判断选项A与B，利用点差法求出直线的斜率，从而可判断C，由直线过椭圆的上焦点，所以的周长为，可判定D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
13．（2024高二下·广元开学考）已知向量，若，则 ．
【答案】-1
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
若，则，
即，
解得.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直的坐标表示公式求解即可.
14．（2024高二下·广元开学考）若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则 ．
【答案】2
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：抛物线，，
抛物线上的点到其焦点的距离为3，
由抛物线定义可知：，解得.
故答案为：
【分析】根据抛物线方程可得，再由抛物线定义求参数即可.
15．（2024高二下·广元开学考）记为等差数列的前项和，公差不为0，若，则 ．
【答案】1
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意知为等差数列，
因为，而，
所以，
所以，
整理得，
所以.
故答案为：1
【分析】根据等差数列的通项公式以及前项和公式列式计算即得.
16．（2024高二下·广元开学考）过抛物线的焦点作圆的两条切线，切点分别为，若为等边三角形，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图：
圆的圆心，半径，
因为过抛物线的焦点作圆的两条切线，切点分别为，
所以切圆于点，得，且平分，
而为等边三角形，即，
于是，，则点，
又抛物线的焦点，
所以，即.
故答案为：4
【分析】画出图形，根据圆、抛物线的对称性并结合已知条件，再结合图形求出的长即可得解.
四、解答题（本大题共6小题、共计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
17．（2024高二下·广元开学考）设等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
依题意得，解得.
故数列的通项公式是
（2）解：由（1）知，.
所以
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，结合等差数列的通项公式及前项和公式即可求解；
（2）根据（1）的结论，再利用裂项相消法即可求解.
18．（2024高二下·广元开学考）为参加广元市第八届“学宪法讲宪法”演讲比赛，某校组织选拔活动，通过两轮比赛最终决定参加市级比赛人选，已知甲同学晋级第二轮的概率为，乙同学晋级第二轮的概率为．若甲、乙能进入第二轮，在第二轮比赛中甲、乙两人能胜出的概率均为．假设甲、乙第一轮是否晋级和在第二轮中能否胜出互不影响．
（1）若甲、乙有且只有一人能晋级第二轮的概率为，求的值：
（2）在（1）的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加市级比赛的概率．
【答案】（1）解：设事件表示“甲在初赛中晋级”，事件表示“乙在初赛中晋级”，
由题意可知，，
解得.
（2）解：设事件为“甲 乙两人中有且只有一人能参加市级比赛”，为“甲能参加市级比赛”，为“乙能参加市级比赛”，
则，
，
所以.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式可得到结论；
（2）根据独立事件概率公式可求得结果.
19．（2024高二下·广元开学考）三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，
（1）试用表示向量；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：三棱柱中，为中点，点在线段上，，
则，，
因此
.
（2）解：，，
则，同理得，
所以
.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）数形结合，利用空间向量的线性运算求解即得.
（2）由（1）的结论，利用空间向量的数量积运算即可得出结论.
20．（2022·江门模拟）已知数列中，满足.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明：
于是
因为，
即数列是以为首项，2为公比的等比数列．
因为，所以
（2）解：由（1）知，
所以
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【分析】(1)由已知可证
为等比数列，即可求解；
（2）直接利用等比、等差数列求和公式即可。
21．（2024高二下·广元开学考）如图为直三棱柱，，设为的中点．
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：在直三棱柱中，平面，平面，则，
又，且，平面，因此平面，又平面，
所以.
（2）解：由（1）知，直线两两垂直，令，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，则，，，
设平面的一个法向量，则，取，得，
设平面的一个法向量，则，取，得，
则，令二面角的大小为，
因此，
所以二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及性质定理即可证明.
（2）如图建立坐标系，分别求出的坐标，从而可求出平面的一个法向量，利用空间向量法求解即可.
22．（2024高二下·广元开学考）已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为为椭圆的右焦点，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积；
（3）设是椭圆上不同于的一点，直线与直线分别交于点．证明：以线段为直径的圆过定点，并求出定点的坐标．
【答案】（1）解：由题意知，，则，
又离心率，所以，
则，
所以椭圆的方程为.
（2）解：
由题知，，
则过且斜率为1的直线方程为，即，
联立，消去得，
设，
则，
则
，
又点到直线的距离
，
所以的面积.
（3）解：由（1）得，
设，则，即；
直线，直线，
点纵坐标点纵坐标，
即，
以为直径的圆的方程为：，
由对称性可知：以为直径的圆所过定点位于轴上，
设
，
，解得或，
以为直径的圆过点.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质即可求得椭圆方程；
（2）先求出直线方程，并与椭圆联立方程组，利用韦达定理求得，的值，从而求得弦的长，利用点的直线的距离公式，求得点到直线的距离，再利用面积公式计算即可；
（3）设点，分别表示出直线的方程，令，求得，的坐标，表示出圆的方程即可证明.
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