2023-2024学年高一下册数学-8.3简单几何体的表面积和体积（人教A版2019必修第二册）
知识点一：多面体的表面积、侧面积
（1）多面体的表面积、侧面积定义：因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
（2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
①棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长；
②棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成；
③棱台的侧面张开图由若干个梯形组成.
（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积
①棱柱的表面积：；
②棱锥的表面积：；
③棱台的表面积：
知识点二：棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）棱柱的高和体积
①棱柱的高：两底面之间的距离，即从一个底面上任意一点，向另外一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，也就是垂线段的长.
②棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积和高的乘积，即.
（2）棱锥的高和体积
①棱锥的高：棱锥的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点到垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，即垂线段的长.
②棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积和高的乘积的，即
（3）棱台的体积：V＝(S上＋S下＋)h
知识点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
（2）圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤;
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
①得到空间几何体的平面展开图．
②依次求出各个平面图形的面积．
③将各平面图形的面积相加．
知识点四：圆柱、圆锥、圆台的体积
（1）圆柱、圆锥、圆台的体积公式：
①圆柱的体积公式：
②圆锥的体积公式：
③圆台的体积公式：V＝(S上＋S下＋)h
（2）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
题型一：求多面体的表面积、侧面积
解题思路：（1）多面体的表面积、侧面积定义：因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
（2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
①棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长；
②棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成；
③棱台的侧面张开图由若干个梯形组成.
（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积
①棱柱的表面积：；
②棱锥的表面积：；
③棱台的表面积：
例1．某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①；②24；③；④．则该几何体的表面积可能是其中的（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
根据题意，由多面体的表面积公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】
当该几何体为正四面体时，其表面积为．
当该几何体为正四棱锥时，其表面积为．
当该几何体为正三棱柱时，其表面积为．
当该几何体为正方体时，其表面积为．
故选：D．
例2．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】
作出正四棱台的图形，设，利用该四棱台侧面的面积求得，进而利用勾股定理即可得解.
【详解】设，则.
因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形，
在四边形中，过点作于点，
则，所以，
所以，解得，
在平面中，过点作于点，
易知为正四棱台的高，则，
所以.
故选：C.
例3．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖 三角攒尖 四角攒尖 六角攒尖等，多见于亭闷式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由侧面为等边三角形，结合面积公式求解即可.
【详解】设底面棱长为，
因为正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，所以侧面为等边三角形，
则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为.
故选：B
例4．正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设正方体的棱长为，可求出正四面体的棱长，继而求得两种几何体的表面积即可.
【详解】正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为，
则正方体的表面积为，
正四面体的表面积为，
两者之比为，
故选：B.
变式训练
5．正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，该梭台的表面积为148，则侧棱长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先求得侧面的高，进而求得侧棱长.
【详解】设正四棱台侧面的高为，则，
所以侧棱长为.
故选：C
6．在长方体中，.该长方体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
画出几何体，分别计算的长，从而可计算即可得出结论.
【详解】如图，在长方体中，连接,
，
，
该长方体的表面积为.
故选：D.
7．一个正三棱锥的每一个面都是边长是1的正三角形，则此正三棱锥的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出底面积和侧面积，即可求出正三棱锥的表面积.
【详解】一个正三棱锥的每一个面都是边长是1的正三角形，
所以一个面为，
故三棱锥的表面积为.
故选：D
8．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有 个面；若被截正方体的棱长是60cm，那么该几何体的表面积是 cm2.
【答案】 14
【分析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；再根据面积公式即可求出表面积.
【详解】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，
再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；
如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是
.
故答案为：14，.
9．在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的对角线长分别为9，15，高是5，则该直四棱柱的表面积是
【答案】
【分析】
根据题意设底面对角线，，再列式求解菱形的边长，进而求得直四棱柱的表面积即可.
【详解】如图所示，设底面对角线，，交点为O，
对角线，，，
所以，即，故，
由，即，故，
因为底面是菱形，
所以，
即，
所以该直四棱柱的侧面积为，
表面积为.
故答案为：
10．各棱长为1的四面体的表面积为 .
【答案】
【分析】利用正四面体的结构特征进行求解．
【详解】各棱长为1的四面体为正四面体，其4个面均为边长为1的等边三角形，
所以它的表面积为.
故答案为：．
11．一个正六棱柱的底面边长为3，高为4，则它的侧面积为 .
【答案】72
【分析】根据题意结合正棱柱的侧面积公式直接求解
【详解】因为正六棱柱的底面边长为3，高为4，
所以此棱柱的侧面积为，
故答案为：72
12．已知正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为，则表面积为 .
【答案】144
【分析】利用正四棱锥的性质，再根据条件，求出斜高，即可求出结果.
【详解】如图所示，正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为，所以，高，
过作交于，连接，
因为是正四棱锥，易知，且，
所以正四棱锥的侧面积为，又底面积为，
故正四棱锥的表面积为144.
故答案为：144.
题型二：求棱柱、棱锥、棱台的体积
解题思虑：（1）棱柱的高和体积
①棱柱的高：两底面之间的距离，即从一个底面上任意一点，向另外一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，也就是垂线段的长.
②棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积和高的乘积，即.
（2）棱锥的高和体积
①棱锥的高：棱锥的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点到垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，即垂线段的长.
②棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积和高的乘积的，即
（3）棱台的体积：V＝(S上＋S下＋)h
例1．在正四棱台中，，且三棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．14 B．21 C．24 D．36
【答案】B
【分析】
设正四棱台的高为，结合棱锥体积公式可求得，根据面积比可表示出上下底面面积，代入棱台体积公式
可求得结果.
【详解】设正四棱台的高为，则，，
，
又，，
正四棱台的体积
.
故选：B.
例2．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为和的矩形，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】分类讨论侧面展开图矩形的长、宽为和、4和6两种情况，结合柱体的体积公式计算即可求解.
【详解】如图，正三棱柱，其侧面展开图为一个矩形，
当矩形长、宽分别为和时，正三棱柱的高为4，底面的边长为2，
此时；
当矩形长、宽分别为4和6时，正三棱柱的高为6，底面的边长为，
此时.
所以正三棱柱的体积为或.
故选：D
例3．如图，在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为（ ）．
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】利用棱柱和棱锥公式结合整体减部分的方法即可.
【详解】因为正三棱柱，
所以，
则
，
故选：A.
例4．如图，已知正四棱锥中，底面是正方形，与交于点M，是棱锥的高，若，则正四棱锥的体积为 .
【答案】24
【分析】
由题意先根据底面正方形对角线长度求得底面积，然后解直角三角形得四棱锥的高的长度，结合棱锥体积公式即可求解.
【详解】
因为四棱锥中，底面是正方形，且对角线，
所以，且，
所以，
因为是棱锥的高，且，
所以在中，，
所以正四棱锥的体积为.
故答案为：24.
变式训练
5．已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据三棱棱柱体积的计算公式直接计算，判断选项.
【详解】,
故选:A
6．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，体积为3，则该正四棱台的高为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
设该正四棱台的高为，由棱台体积公式计算即可.
【详解】设该正四棱台的高为，
又其上、下底面边长分别为1，2，体积为3，
则，
所以,
故选：D.
7．《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个阳马的体积是2，则原长方体的体积是 .
【答案】6
【分析】
根据柱体和锥体体积公式求得正确答案.
【详解】
如图所示，原长方体，
设矩形的面积为，，
阳马的体积为2，
即，所以，即原长方体的体积是6.
故答案为：6.
8．已知正四棱柱的侧棱长为2，体积为6，则该正四棱柱的表面积为 ．
【答案】
【分析】先求出正四棱柱的底面边长，再根据多面体的表面积公式即可得解.
【详解】设正四棱柱的的底面边长为，
则，解得，
所以该正四棱柱的表面积为.
故答案为：.
9．已知一个三棱柱与一个四棱锥的底面面积和体积均相等，若三棱柱的高为1，则四棱锥的高为 ．
【答案】3
【分析】记四棱锥的底面积和高分别为S，h，然后根据棱锥、棱柱体积公式可得.
【详解】记四棱锥的底面积和高分别为S，h，
由题意知，，得，
即四棱锥的高为3.
故答案为：3
10．已知一个正六棱柱的底面边长是，高为4，则这个正六棱柱的体积是 ．
【答案】
【分析】应用棱柱的体积公式求正六棱柱的体积即可.
【详解】正六棱柱底面为正六边形，且底面边长是，高为4，
所以底面面积为，则这个正六棱柱的体积是.
故答案为：
11．已知长方体的体积为72，则三棱锥的体积为
【答案】
【分析】设长方体的长、宽、高分别为，根据题意，得到，结合三棱锥的体积公式，即可求解.
【详解】如图所示，设长方体的长、宽、高分别为，
因为长方体的体积为，可得，
又由三棱锥的体积为.
故答案为：.
题型三：求圆柱、圆锥、圆台的表面积和侧面积
解题思路：（1）侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
（2）圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤;
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
①得到空间几何体的平面展开图．
②依次求出各个平面图形的面积．
③将各平面图形的面积相加．
例1．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】B
【分析】
根据圆柱体积公式可求得，代入圆柱侧面积公式即可求得结果.
【详解】
设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，侧面积为；
设体积扩大倍后的底面半径为，则，，
其侧面积变为，，即侧面积扩大为原来的倍.
故选：B.
例2．已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出底面半径，由题意可得高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，即可得解.
【详解】设这个圆柱和圆锥的底面半径为，
由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高，
则圆柱的侧面积，
圆锥的侧面积，
则.
故选：B.
例3．已知一个圆柱底面半径为2，高为3，上底面的同心圆半径为1，以这个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去，剩余的几何体表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意剩余几何体表面积等于圆环的面积加上圆台的侧面积再加上圆柱的侧面积，将代入相应的面积公式并求和即可得解.
【详解】剩余几何体表面积等于圆环的面积加上圆台的侧面积再加上圆柱的侧面积，
由题意，
所以圆环的面积为，
圆台母线，
所以圆台侧面积为，
圆柱侧面积为，
所以剩余的几何体表面积等于.
故选：D.
例4．已知一个圆柱的底面半径和高相等，且体积为，那么此圆柱的侧面积S等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设圆柱的底面半径为，则高也是，然后根据题意列方程可求出，再利用侧面积公式可求得答案.
【详解】设圆柱的底面半径为，则高也是，
所以圆柱的体积为，解得，
所以圆柱的侧面积，
故选：B.
变式训练
5．已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由圆柱的侧面积公式直接可得.
【详解】由题意设底面半径为，母线为，
圆柱的侧面积为.
故选：C.
6．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 .
【答案】
【分析】
借助球体体积公式及圆柱表面积公式计算即可得.
【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，母线长为，
则球的体积为，所以，
所以圆柱表面积为.
故答案为：.
7．已知球与正方体的各个面都相切，当球内接圆柱的轴截面为正方形时，圆柱的侧面积为，则该正方体的棱长为 .
【答案】
【分析】设正方体的棱长为，则球的半径，设圆柱的高为，圆柱底面圆的半径，根据侧面积得到，，根据计算，得到答案.
【详解】设正方体的棱长为，则球的半径.
设圆柱的高为，底面半径为，圆柱的轴截面为正方形，故圆柱底面圆的半径，
，所以，即，则，
故，所以.
故答案为：.
8．某圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，则该圆柱底面的半径为 ．
【答案】1
【分析】
根据圆柱的侧面展开图可知底面圆的周长等于正方形的边长，即可求出底面圆的半径.
【详解】
因为圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，所以正方形的变长为，
设底面圆的半径为，则底面圆的周长，得.
故答案为:1.
9．若圆柱的底面半径为，侧面积为，则圆柱的母线长为 .
【答案】8
【分析】由圆柱的侧面积公式求解.
【详解】设圆柱的母线长为，则，，
故答案为：8.
10．已知圆锥的高为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
借助圆锥的高、底面半径与母线长的关系及底面周长与侧面展开图的弧长间的关系，结合圆锥体积计算公式计算即可得.
【详解】设底面半径为，母线长为，
则有，解得，
则.
故选：B.
11．已知圆锥的底面圆的面积为，侧面展开图为一个扇形，其面积为，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据圆锥的特征，结合底面圆的面积以及扇形面积公式，即可求解.
【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆锥母线长为，
由题意可知，解得：，，
所以该圆锥母线长为.
故选：C
12．如图，为圆锥底面圆的一条直径，点为线段的中点，现沿将圆锥的侧面展开，所得的平面图形中为直角三角形，若，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到，由，求得，结合圆锥的侧面积公式和圆的面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，作出展开图，可得为锐角，故，
由，可得，即为等边三角形，所以，
则圆锥的侧面积为，底面积，
所以圆锥的表面积为.
故选：B．
题型四：求圆柱、圆锥、圆台的体积
解题思路：（1）圆柱、圆锥、圆台的体积公式：
①圆柱的体积公式：
②圆锥的体积公式：
③圆台的体积公式：V＝(S上＋S下＋)h
例1．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则 ．
【答案】/
【分析】
设母线长为，甲，乙圆锥底面半径分别为，，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，利用勾股定理分别求出两圆锥的高，根据圆锥的体积公式即可得解．
【详解】
设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，
又，则，所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以．
故答案为：
例2．某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意得到求解.
【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，即侧面展开图的半径为，侧面展开图的弧长为.
又圆锥的底面周长为，所以，即圆锥的母线长.
所以圆锥的侧面积为，
解得.
故选：C.
例3．某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，求得圆锥的底面圆的半径和母线长，结合侧面积公式，即可求解.
【详解】
设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，
因为圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，可得，
所以该圆锥的侧面积为.
故选：B．
例4．已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用圆锥侧面积公式求出底面圆半径，进而求出高即可计算得解.
【详解】设圆锥PO的底面圆半径为，由母线长为2，侧面积等于，得，
解得，因此圆锥的高，
所以该圆锥的体积为.
故选：C
变式训练
5．已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设圆锥的底面半径，确定母线长，求出侧面积和表面积即可求得答案.
【详解】由题意可得轴截面是等腰直角三角形，设该圆锥的底面圆的半径为，则其母线长为，从而该圆锥的侧面积.
表面积，
故.
故选：A.
6．若一个圆锥的母线长为，且其侧面积与其轴截面面积的比为，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设出圆锥底面圆半径，利用圆锥侧面积公式及三角形面积公式列式计算即得.
【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，依题意，，解得，
所以该圆锥的高为.
故选：A
7．已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为 ．
【答案】
【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，根据已知得，，可解出，再由表面积公式求解.
【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
由题意，由扇形弧长得 ， ①
又圆锥的高为，
则，②
由①②可得 ，
所以圆锥的表面积.
故答案为：.
8．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）
A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为
【答案】BCD
【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由台体的侧面积公式可判断C选项；由圆台的体积公式即可判断D选项.
【详解】
如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；
圆台的轴截面面积为，B正确；
圆台的侧面积为，故C正确；
圆台的体积为，D正确.
故选：BCD
9．已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据圆台侧面积的计算公式，结合已知条件，直接求解即可.
【详解】设上下底面圆半径分别为，母线长为，
则圆台侧面积.
故选：C.
10．一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为，则它的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用圆台的体积公式求得高，再利用圆台的表面积公式即可得解.
【详解】依题意，设圆台的高为，则，解得，
所以圆台的母线长为，
则圆台的表面积为.
故选：B．
11．已知圆锥的母线为6，底面半径为1，把该圆锥截成圆台，使圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆锥、圆台的轴截面，求出圆台母线长，利用公式求圆台的侧面积.
【详解】作出圆锥、圆台的轴截面，如图所示，
圆锥的母线为，底面半径，圆台上底面半径，
由三角形相似可得，解得，
则圆台母线长，
圆台的侧面积为.
故选：C
12．如图所示，某圆台型木桶（厚度不计）上下底面的面积分别为和，且木桶的体积为，则该木桶的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由台体的体积公式求出圆台的高，作出图象求出台体的母线长，再根据体积公式求解即可.
【详解】设上下底面的的半径分别为，高为，
所以，故，
因为木桶的体积为，所以，
所以，解得：，
设圆台的母线长为，如下图，
所以，
所以该木桶的侧面积为.
故选：D.
13．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用圆台的表面积公式求得母线长，进而求得圆台的高，从而利用圆台的体积公式即可得解.
【详解】设圆台的母线长为．高为．
所以，解得，
所以．
所以该圆台的体积．
故选：D．
14．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据扇环的面积公式求出母线长，利用勾股定理求高，在根据圆台体积公式计算即可.
【详解】解：圆台的侧面展开图是个扇环，，
所以圆台的高，
则，
故选：B.
15．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则这个圆台的侧面积为 .
【答案】
【分析】根据题意计算母线长，再利用圆台的侧面积公式计算得到答案.
【详解】因为圆台的上底面圆半径2，下底面圆半径4，它的侧面展开图扇环的圆心角为，
设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，如图，由题意可得：
，解得，
所以圆台的侧面积,
故答案为：.
16．如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为上、下两个部分，其侧面积的比为，则 ．
【答案】25
【分析】中截面把圆台分为上、下两个圆台，则两个圆台的侧高相等，且中截面半径等于两底面半径和的一半，根据中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积的比为，我们易构造出关于的方程，解方程即可求出的值．
【详解】设中截面的半径为，则①，
记中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积分别为、，母线长均为，
，
又，
②，
将①代入②整理得：.
故答案为：25
17．已知圆台的上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则这个圆台的体积是 .
【答案】
【分析】设圆台的高为，母线长为，由侧面积公式求出，即可求出，再根据圆台的体积公式计算可得.
【详解】因为圆台的上、下底面的面积分别为，，所以上底面半径，下底面半径，
设圆台的高为，母线长为，由侧面积为，由圆台侧面积公式可得，所以，
所以，
圆台的体积.
故答案为：
1．若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设甲圆柱底面圆半径为，高为，乙圆柱底面圆半径为，高为，由等面积之比得到，再由体积相同得到，最后由侧面积公式计算可得.
【详解】设甲圆柱底面圆半径为，高为，乙圆柱底面圆半径为，高为，
则，∴.
又，则，
∴.
故选：B.
2．已知圆锥的底面圆的面积为，侧面展开图为一个扇形，其面积为，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆锥的特征，结合底面圆的面积以及扇形面积公式，即可求解.
【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆锥母线长为，
由题意可知，解得：，，
所以该圆锥母线长为.
故选：C
3．四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为，高为），则四羊方尊的容积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据台体的体积公式运算求解.
【详解】由题意可得：四羊方尊的容积约为.
故选：A.
4．蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐 毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（ ）
A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
【答案】A
【分析】由题意可求出底面圆的半径，即可求出圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式以及圆柱的侧面积公式结合圆的面积公式，即可求得答案.
【详解】由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，
设底面圆的半径为r，则，
则圆锥的母线长为（米），
故该蒙古包（含底面）的表面积为（平方米），
故选：A
5．如图所示，该图形由一个矩形和一个扇形组合而成，其中矩形和扇形分别是一个圆柱的轴截面和一个圆锥的侧面展开图，且矩形的长为2，宽为3，扇形的圆心角为，半径等于矩形的宽，若圆柱高为3，则圆柱和圆锥的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出圆柱的体积，再得到扇形的弧长，再求得圆锥的体积，最后求出体积比.
【详解】因为矩形的长为2，宽为3，所以圆柱的底面半径为1，高为3，
所以圆柱的体积为，
因为扇形的圆心角为，半径等于矩形的宽，所以半径为3，
根据弧长公式可以得到扇形的弧长为，
又扇形的弧长等于底面圆的周长，所以圆锥底面圆的半径为，
所以根据圆锥的体积公式得到圆锥的高为，
所以圆锥的体积为，
所以圆柱和圆锥的体积之比为，
故选：D.
6．已知圆锥的高为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
借助圆锥的高、底面半径与母线长的关系及底面周长与侧面展开图的弧长间的关系，结合圆锥体积计算公式计算即可得.
【详解】设底面半径为，母线长为，
则有，解得，
则.
故选：B.
7．已知某圆锥的底面半径为2，体积为，则该圆锥的母线长为（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】
根据圆锥的体积求出圆锥的高，根据勾股定理即可求得答案.
【详解】设圆锥的高为h，则由圆锥的底面半径为2，体积为，
可得，
故该圆锥的母线长为，
故选：C
8．已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据圆台侧面积的计算公式，结合已知条件，直接求解即可.
【详解】设上下底面圆半径分别为，母线长为，
则圆台侧面积.
故选：C.
9．底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体积公式求解．
【详解】
设圆锥的母线长为，高为，半径为，
则且，故
，
圆锥的体积为．
故选：D．
二、填空题
10．已知圆台上底面半径为2，下底面半径为5，圆台的体积为，则圆台的侧面积为 .
【答案】
【分析】根据圆台的体积公式求出高即可求出圆台的侧面积.
【详解】因为圆台上底面半径为2，下底面半径为5，圆台的体积为，
所以，
所以，所以圆台的侧面积为.
故答案为：.
11．已知圆锥的底面半径为2，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为 ．
【答案】
【分析】
利用圆锥的结构特点，结合圆锥的表面积公式求解.
【详解】已知圆锥的底面半径，圆锥母线与底面所成的角为，
所以圆锥的母线长为，
所以该圆锥的表面积为.
故答案为：
12．如图，已知正四棱锥中，底面是正方形，与交于点M，是棱锥的高，若，则正四棱锥的体积为 .
【答案】24
【分析】
由题意先根据底面正方形对角线长度求得底面积，然后解直角三角形得四棱锥的高的长度，结合棱锥体积公式即可
求解.
【详解】
因为四棱锥中，底面是正方形，且对角线，
所以，且，
所以，
因为是棱锥的高，且，
所以在中，，
所以正四棱锥的体积为.
故答案为：24.
13．圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是 ．
【答案】
【分析】借助扇形弧长公可计算出圆锥母线长，结合扇形面积公式即可得圆锥侧面积.
【详解】设圆锥母线长为l，扇形圆心角为，则，故，
则.
故答案为：.2023-2024学年高一下册数学-8.3简单几何体的表面积和体积（人教A版2019必修第二册）
知识点一：多面体的表面积、侧面积
（1）多面体的表面积、侧面积定义：因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
（2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
①棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长；
②棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成；
③棱台的侧面张开图由若干个梯形组成.
（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积
①棱柱的表面积：；
②棱锥的表面积：；
③棱台的表面积：
知识点二：棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）棱柱的高和体积
①棱柱的高：两底面之间的距离，即从一个底面上任意一点，向另外一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面之
间的交点）之间的距离，也就是垂线段的长.
②棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积和高的乘积，即.
（2）棱锥的高和体积
①棱锥的高：棱锥的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点到垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，即垂线段的长.
②棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积和高的乘积的，即
（3）棱台的体积：V＝(S上＋S下＋)h
知识点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
（2）圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤;
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
①得到空间几何体的平面展开图．
②依次求出各个平面图形的面积．
③将各平面图形的面积相加．
知识点四：圆柱、圆锥、圆台的体积
（1）圆柱、圆锥、圆台的体积公式：
①圆柱的体积公式：
②圆锥的体积公式：
③圆台的体积公式：V＝(S上＋S下＋)h
（2）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
题型一：求多面体的表面积、侧面积
解题思路：（1）多面体的表面积、侧面积定义：因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
（2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
①棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长；
②棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成；
③棱台的侧面张开图由若干个梯形组成.
（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积
①棱柱的表面积：；
②棱锥的表面积：；
③棱台的表面积：
例1．某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①；②24；③；④．则该几何体的表面积可能是其中的（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
例2．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（ ）
A． B．1 C． D．3
例3．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖 三角攒尖 四角攒尖 六角攒尖等，多见于亭闷式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为（ ）
A． B． C． D．
例4．正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（ ）．
A． B． C． D．
变式训练
5．正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，该梭台的表面积为148，则侧棱长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．在长方体中，.该长方体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．一个正三棱锥的每一个面都是边长是1的正三角形，则此正三棱锥的表面积是（ ）
A． B． C． D．
8．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有 个面；若被截正方体的棱长是60cm，那么该几何体的表面积是 cm2.
9．在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的对角线长分别为9，15，高是5，则该直四棱柱的表面积是
10．各棱长为1的四面体的表面积为 .
11．一个正六棱柱的底面边长为3，高为4，则它的侧面积为 .
12．已知正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为，则表面积为 .
题型二：求棱柱、棱锥、棱台的体积
解题思虑：（1）棱柱的高和体积
①棱柱的高：两底面之间的距离，即从一个底面上任意一点，向另外一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，也就是垂线段的长.
②棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积和高的乘积，即.
（2）棱锥的高和体积
①棱锥的高：棱锥的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点到垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，即垂线段的长.
②棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积和高的乘积的，即
（3）棱台的体积：V＝(S上＋S下＋)h
例1．在正四棱台中，，且三棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．14 B．21 C．24 D．36
例2．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为和的矩形，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．或
例3．如图，在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为（ ）．
A． B．3 C． D．6
例4．如图，已知正四棱锥中，底面是正方形，与交于点M，是棱锥的高，若，则正四棱锥的体积为 .
变式训练
5．已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（ ）
A． B．4 C． D．
6．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，体积为3，则该正四棱台的高为（ ）
A．1 B． C． D．
7．《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个阳马的体积是2，则原长方体的体积是 .
8．已知正四棱柱的侧棱长为2，体积为6，则该正四棱柱的表面积为 ．
9．已知一个三棱柱与一个四棱锥的底面面积和体积均相等，若三棱柱的高为1，则四棱锥的高为 ．
10．已知一个正六棱柱的底面边长是，高为4，则这个正六棱柱的体积是 ．
11．已知长方体的体积为72，则三棱锥的体积为
题型三：求圆柱、圆锥、圆台的表面积和侧面积
解题思路：（1）侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
（2）圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤;
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
①得到空间几何体的平面展开图．
②依次求出各个平面图形的面积．
③将各平面图形的面积相加．
例1．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
例2．已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
例3．已知一个圆柱底面半径为2，高为3，上底面的同心圆半径为1，以这个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去，剩余的几何体表面积等于（ ）
A． B． C． D．
例4．已知一个圆柱的底面半径和高相等，且体积为，那么此圆柱的侧面积S等于（ ）
A． B． C． D．
变式训练
5．已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
6．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 .
7．已知球与正方体的各个面都相切，当球内接圆柱的轴截面为正方形时，圆柱的侧面积为，则该正方体的棱长为 .
8．某圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，则该圆柱底面的半径为 ．
9．若圆柱的底面半径为，侧面积为，则圆柱的母线长为 .
10．已知圆锥的高为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆锥的底面圆的面积为，侧面展开图为一个扇形，其面积为，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，为圆锥底面圆的一条直径，点为线段的中点，现沿将圆锥的侧面展开，所得的平面图形中为直角三角形，若，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型四：求圆柱、圆锥、圆台的体积
解题思路：（1）圆柱、圆锥、圆台的体积公式：
①圆柱的体积公式：
②圆锥的体积公式：
③圆台的体积公式：V＝(S上＋S下＋)h
例1．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则 ．
例2．某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
例3．某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
例4．已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式训练
5．已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
6．若一个圆锥的母线长为，且其侧面积与其轴截面面积的比为，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
7．已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为 ．
8．（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）
A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为
9．已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
10．一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为，则它的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆锥的母线为6，底面半径为1，把该圆锥截成圆台，使圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，某圆台型木桶（厚度不计）上下底面的面积分别为和，且木桶的体积为，则该木桶的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
13．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
14．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
45．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则这个圆台的侧面积为 .
16．如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为上、下两个部分，其侧面积的比为，则 ．
17．已知圆台的上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则这个圆台的体积是 .
1．若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆锥的底面圆的面积为，侧面展开图为一个扇形，其面积为，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
3．四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为，高为），则四羊方尊的容积约为（ ）
A． B． C． D．
4．蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐 毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（ ）
A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
5．如图所示，该图形由一个矩形和一个扇形组合而成，其中矩形和扇形分别是一个圆柱的轴截面和一个圆锥的侧面展开图，且矩形的长为2，宽为3，扇形的圆心角为，半径等于矩形的宽，若圆柱高为3，则圆柱和圆锥的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆锥的高为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知某圆锥的底面半径为2，体积为，则该圆锥的母线长为（ ）
A．1 B．2 C． D．5
8．已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
9．底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．已知圆台上底面半径为2，下底面半径为5，圆台的体积为，则圆台的侧面积为 .
11．已知圆锥的底面半径为2，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为 ．
12．如图，已知正四棱锥中，底面是正方形，与交于点M，是棱锥的高，若，则正四棱锥的体积为 .
13．圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是 ．
