数学人教A版(2019)必修第二册6.4平面向量的应用 课件（共24张ppt）

(共24张PPT)
6.4平面向量的应用
第六章 平面向量及其应用
课时1 平面几何中的向量方法
课时2 向量在物理中的应用举例
探究一：平面向量在几何中的应用
如图所示，已知平行四边形，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB与AD的长度之间的关系吗
情境设置
【解析】建立平面与向量的联系，用向量表示问题中的元素，将平面几何问题转化为向量问题.
取为基底，设，则
所以, ，将上式相加得，所以
新知生成
知识点一 平面向量在几何中的应用
用向量法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几
何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
一、向量在平面几何证明中的应用
例题1 如图所示，在正方形 中， ， 分别是 ， 的中点，求证： ⊥ .
【解析】如图所示，以为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系.设正方形的边长为2，则 ， ， ， ，则 ， .
因为 ，所以 ，即 .
(法二)基底法
反思感悟
方法总结
用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤
(1)利用线性运算证明的四个步骤
①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应
关系；④把几何问题转化为向量问题.
(2)利用坐标运算证明的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出
相应关系；④把几何问题转化为向量问题.
新知运用
跟踪训练1 已知，，是平面上不共线的三点，直线上有一点 ，满足 .
(1) 用 ， 表示；
(2) 若是的中点，证明四边形是梯形.
【解析】(1) 因为 ，所以 ，
即 ，所以 .
(2) 如图，
故 ，即 ，且 ，故四边形为梯形.
二、利用向量解决平面几何求值问题
例题2 如图所示，分别是梯形对角线与的中点.
(1)试用向量证明： .
(2) 若 ，求的值.
【解析】( 为 的中点， .又 为 的中点， ，.又向量 与 共线， ， ， . ①在梯形 中， ， ， ，即 .
( 向量 与 方向相反， ， ， .
由（1）可知， ，代入①式，得 ，
.
反思感悟
方法总结
用向量方法解决平行问题的步骤：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素；
(2)将平面几何问题转化为向量问题；
(3)通过向量运算，研究几何元素间的关系；
(4)用运算结果判断几何问题中的关系.
新知运用
跟踪训练2 已知四边形 的四个顶点分别为 (1,0)， (7,3)， (4,4)， (2,3).
(1)求向量 与 夹角的余弦值；
(2)证明：四边形 是等腰梯形.
【解析】(1) 因为 ， ，所以 , ,所以 .
(2) 因为 ， ，所以 ，所以 ，且 .又 ， ，
所以 ， ，所以 .
综上，四边形 是等腰梯形.
三、平面几何中的长度、角度问题
例题3 已知在平面四边形 中，，，， ，求的值.
【解析】 如图，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，则 , .设 , 则 , .又 ， ，
，解得 ， ，
， .
反思感悟
方法总结
建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、角度等问题转化为代数运算.
新知运用
跟踪训练3 在中， ，， ， ， ，与交于点 ，求的值.
【解析】如图,以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，则 , , , ,得 , ,所以
.
探究二：向量在物理中的应用
这是小明拍他叔叔在拉单杠时的图片.
情境设置
问题：小明的叔叔感觉两臂的夹角越大,拉起来越费力,这是为什么
【解析】 是 的增函数，如图,可知 故夹角越大越费力.
新知生成
知识点一 平面向量在物理中的应用
向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等.
(2)向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移等的合成与分解.
(3)动量 是向量的数乘运算.
(4)功是力 与所产生的位移 的数量积.
四、向量的线性运算在物理中的应用
例题4 已知帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东 ，速度大小为20km/h ，此时水的流向是正东，流速为20km/h .若不考虑其他因素，求帆船的速度大小与方向.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东，速度大小为，水流的方向为正东，速度大小为，设帆船行驶的速度为，则 .由题意，可得
，，
则 ，所以帆船行驶的速度大小.
因为 为 和 的夹角，且为锐角 ，
所以 .所以帆船向北偏东的方向行驶，速度大小为 .
反思感悟
方法总结
利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，即选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算；第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.
新知运用
跟踪训练4 (多选题)在水流速度为10km/h 的自西向东的河中,如果要使船以 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸,则船出发时行驶速度的方向和大小为( ) .
A.北偏西 B.北偏西 C. D.
【解析】如图, 如图,设船从 点出发,沿 方向行驶,才能垂直到达河的
对岸,由题意知 , ,则 .因为 ,所以 .
即船行驶的速度大小为 ,方向为北偏西 .故选 .
五、向量的数量积在物理中的应用
例题4 已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到
点.求：
(1)力分别对质点所做的功(单位： )；
(2)力 ，的合力对质点所做的功(单位：).
【解析】(1) ，
，
.
力 ， 对质点所做的功分别为 和 .
(2) . 合力 对质点所做的功为 .
反思感悟
方法总结
物理上的功实质上就是力与位移两个矢量的数量积.
新知运用
跟踪训练5 已知 =(2,3)作用于一物体，使物体从点 (2,0)移动到点 ( 2,3) ，求 对物体所做的功(单位：J ).
【解析】由题意知， ， .
力 对物体所做的功为 .
随堂检测
1. 已知平面内四边形 和点 ,若 , , , ,且
,则四边形 为( ) .
A.菱形 B.梯形 C.矩形 D.平行四边形
2. 已知 中, , ,且 ,则 的形状为( ) .
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
3. 在平行四边形 中， , , ，则 ( ) .
A.1 B. C.2 D.3
D
A
B
随堂检测
4.已知 △ 是直角三角形, = , 是 的中点, 是 上的一点,且 =2 .
求证: ⊥ .
【解析】 以 为原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴,建立平面直角坐标系设 ,则 , , , , ,所以 ,
,因为 ,所以 ,即 .
随堂检测
5.已知两个力 , 的夹角为 ,它们的合力大小为 ,合力与 的夹角为 ,那么 的大小为( ) .
A. B. C. D.
6.一只鹰正从与水平方向成 角的方向向下直扑猎物，太阳光直射地面，鹰在地面
上的影子的速度为 60m/s ，则鹰的飞行速度为( ) .
A. B. C. D.
7. 已知三个力，，同时作用于某物体上一点，
为使该物体保持平衡，再加上一个力 ，则 等于( ) .
A. B. C. D.
B
B
D
课堂小结
1.知识清单：
(1)平面几何中的向量方法.
(2)向量在物理中的应用.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：要注意选择恰当的基底.