沪教版八年级数学下册试题 第22章 四边形单元基础练习（含答案）

第22章 四边形（单元基础练习）
一．选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
2．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（　　）
A．∠BDC＝∠BCD B．∠ABC＝∠DAB C．∠ADB＝∠DAC D．∠AOB＝∠BOC
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　）
A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
4．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
5．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　　）
A． B． C． D．
6．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
二．填空题
7．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件　 　，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．
8．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+．
其中正确的序号是　 　（把你认为正确的都填上）．
9．如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝　 　．
10．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为　 　．
11．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是　 　．学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6m和8m，则这个花园的面积为　 　．
12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，则下底BC的长为　 　．
13．如图， ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件　 　（只添一个即可），使 ABCD是矩形．
14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　 　．
15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为　 　．
16．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝　 　度．
17．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是　 　（只填一个）．
三．解答题
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB＝∠CDB；
（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．
（1）求证：△AEF≌△BED．
（2）若BD＝CD，求证：四边形AFBD是矩形．
20．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE＝CE．
（2）求∠BEC的度数．
21.正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG＝α，其中0°≤α≤180°，连接DF，BF，如图．
（1）若α＝0°，则DF＝BF，请加以证明；
（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；
（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．
22．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE．
求证：四边形BCDE是矩形．
23．已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）求矩形ADBE的面积．
24．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF＝BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．
答案
一．选择题
1．
【分析】对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，对角线相等的梯形是等腰梯形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，根据以上内容判断即可．
【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项错误；
B、对角线相等的梯形是等腰梯形，故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本选项正确；
故选：D．
2．
【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．
【解答】解：A、∵∠BDC＝∠BCD，
∴BD＝BC，
根据已知AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
B、根据∠ABC＝∠DAB和AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
C、∵∠ADB＝∠DAC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DAC＝∠DBC＝∠ACB，
∴OA＝OD，OB＝OC，
∴AC＝BD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；
D、根据∠AOB＝∠BOC，只能推出AC⊥BD，
再根据AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．
故选：C．
3．
【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．
【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴BE＝EC，BF＝CF，
∵BF＝BE，
∴BE＝EC＝CF＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
当BC＝AC时，
∵∠ACB＝90°，
则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠EBC＝45°
∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°
∴菱形BECF是正方形．
故选项A正确，但不符合题意；
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；
当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；
当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
4．
【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选：B．
5．
【分析】利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DE＝DG，可以求出DE，进而得到DG的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，M为边DA的中点，
∴DM＝AD＝DC＝1，
∴CM＝＝，
∴ME＝MC＝，
∵ED＝EM﹣DM＝﹣1，
∵四边形EDGF是正方形，
∴DG＝DE＝﹣1．
故选：D．
6．
【分析】本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断．
【解答】解：A、对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质；
B、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；
C、对角线相等是矩形和正方形具有的性质；
D、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质．
故选：A．
二．填空题
7．
【分析】根据有一个直角的菱形为正方形添加条件．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴当∠BAD＝90°时，四边形ABCD为正方形．
故答案为∠BAD＝90°．
8．
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝DC，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴CE＝CF，
∴①说法正确；
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠AEB＝75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF＝2，
∴CE＝CF＝，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2＝AF2，即a2+（a﹣）2＝4，
解得a＝，
则a2＝2+，
S正方形ABCD＝2+，
④说法正确，
故答案为：①②④．
9．．
10．
【分析】根据正方形性质得出AD＝BC＝CD＝AB，根据面积求出EM，得出BC＝4，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：
过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝CD＝AB，
∴EM＝AD，BM＝CE，
∵△ABE的面积为8，
∴×AB×EM＝8，
解得：EM＝4，
即AD＝DC＝BC＝AB＝4，
∵CE＝3，
由勾股定理得：BE＝＝＝5，
故答案为：5．
11．
【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH＝HD，AE＝EB
∴EH＝BD，
同理FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，
又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，
∴EH＝HG＝GF＝FE，
∴四边形EFGH为菱形；
这个花园的面积是×6m×8m＝24m2，
故答案为：菱形，24m2．
12．
【分析】分别过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，分别利用解直角三角形的知识得出BE、CF的长，继而可得出答案．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB＝4，∠B＝60°，
∴BE＝2；
同理可得CF＝2，
故BC的长＝BE+EF+FC＝4+AD＝7．
故答案为：7
13．
【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．
【解答】解：添加的条件是AC＝BD，
理由是：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC＝BD．
14．
【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠AED＝60°．
∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°，
AB＝AE，
∠AEB＝∠ABE＝（180°﹣∠BAE）÷2＝15°，
∠BED＝∠DEA﹣∠AEB＝60°﹣15°＝45°．
故答案为：45°．
15．
【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，
∴AC2＝12+12，AC＝；
同理可求：AE＝（）2，HE＝（）3…，
∴第n个正方形的边长an＝（）n﹣1．
故答案为（）n﹣1．
16．
【分析】根据正方形的性质可得∠DAC＝45°，再由AD＝AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．
【解答】解：如图，
在Rt△AEF和Rt△ADF中，
∴Rt△AEF≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠EAF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD＝45°，
∴∠FAD＝22.5°．
故答案为：22.5．
17．
【分析】根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．
【解答】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
故添加条件：∠ABC＝90°或AC＝BD．
故答案为：∠ABC＝90°或AC＝BD．
三．解答题
18.证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADB＝45°
∴PM＝MD，
∴矩形MPND是正方形．
19.证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠EDB，
∵E为AB的中点，
∴EA＝EB，
在△AEF和△BED中，
，
∴△AEF≌△BED（ASA）；
（2）∵△AEF≌△BED，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BD，
∴四边形AFBD是矩形．
20.（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°
∵三角形ADE为正三角形
∴AE＝AD＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°
∴∠BAE＝∠CDE＝150°
在△BAE和△CDE中，
∴△BAE≌△CDE
∴BE＝CE；
（2）∵AB＝AD，AD＝AE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
又∵∠BAE＝150°，
∴∠ABE＝∠AEB＝15°，
同理：∠CED＝15°
∴∠BEC＝60°﹣15°×2＝30°．
21.（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，
∴AG＝AE，AD＝AB，GF＝EF，∠DGF＝∠BEF＝90°，
∴DG＝BE，
在△DGF和△BEF中，
，
∴△DGF≌△BEF（SAS），
∴DF＝BF；
（2）解：图形（即反例）如图2，
（3）解：补充一个条件为：点F在正方形ABCD内；
即：若点F在正方形ABCD内，DF＝BF，则旋转角α＝0°．
22.证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD﹣∠BAC＝∠CAE﹣∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵在△BAE和△CAD中
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠BEA＝∠CDA，BE＝CD，
∵DE＝CB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴BE∥CD，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠BEA＝∠CDA，
∴∠BED＝∠CDE，
∵BE∥CD，
∴∠CDE+∠BED＝180°，
∴∠BED＝∠CDE＝90°，
∴四边形BCDE是矩形．
23.解：（1）∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵四边形ADBE是平行四边形．
∴平行四边形ADBE是矩形；
（2）∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC的中线，
∴BD＝DC＝6×＝3，
在直角△ACD中，
AD＝＝＝4，
∴S矩形ADBE＝BD AD＝3×4＝12．
24.（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，
∴∠DAF+∠BAF＝90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AF＝BE；
（2）解：MP与NQ相等．
理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMPF与四边形BNQE是平行四边形，
∴AF＝PM，BE＝NQ，
∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，
∴∠DAF+∠BAF＝90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AF＝BE；
∴MP＝NQ．