2023-2024学年安徽省六安市青山中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省六安市青山中学高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
2.函数在区间内的大致图象是如图所示的( )
A. B.
C. D.
3.已知函数，，如果，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.设，都是非零向量，那么命题“与共线”是命题“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
5.在等腰三角形中，，，若为边上的动点，则( )
A. B. C. D.
6.与向量平行的单位向量是( )
A. B.
C. 或 D. 或
7.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾，如图所示的是一个圆形，圆心为，，是圆上的两点，若，则( )
A. B. C. D.
8.正方形中，，分别是，的中点，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，要得到函数的图象可由函数的图象( )
A. 先将横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
B. 先将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
C. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变
D. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变
11.对任意平面向量，，，下列命题中真命题是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. D.
12.已知向量，，则( )
A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为
C. 若，则 D. 若，则与的夹角为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数在区间上的最小值是______．
14.已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则，夹角的余弦值为______， ______．
15.若，，与的夹角为，若，则的值为
16.点是线段上的任意一点不包括端点，，对任意点都有，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，集合．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，求的值；
求值：．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ化简；
Ⅱ若，求的值．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，已知，，，求：
的模；
．
21.本小题分
已知点为中边上一点，．
设，求的值．
设，求的值．
22.本小题分
等腰梯形中，，，，是的中点，与交于点．
设，试用表示和；
求与夹角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：角的终边经过点，，
则，
故选：．
由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用二倍角的余弦公式，求得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：；
作函数的图象如下，
故选：．
化简，从而作函数的图象即可．
本题考查了函数的化简与函数的图象的作法，属于中档题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数的奇偶性与单调性解不等式，属于中档题．
根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得为奇函数，对其求导分析可得函数在上为增函数，进而可以将原不等式转化为，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数，，
有，即函数为奇函数，
又由，则函数在上为增函数，
，
解可得，
即实数的取值范围是，
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件、必要条件的定义，两个向量共线的性质，属于基础题．
由“与共线”可得与方向相同或方向相反，不能推出但由“”，可得与方向相同，与共线．由此得出结论．
【解答】
解：由命题“与共线”可得与方向相同或方向相反，
若与方向相同，则有，
若与方向相反，则有，故充分性不成立．
由，可得与方向相同，即与共线，故必要性成立．
故命题“与共线”是命题“”的必要不充分条件，
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性运算及数量积的综合应用，属于中档题．
作图，并取边上的中点，从而利用向量的线性运算及数量积求解．
【解答】
解：如图，设是边上的中点，
在等腰三角形中，，，
，且，
，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了单位向量的计算方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
与向量平行的单位向量．
【解答】
解：．
与向量平行的单位向量为．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：依题意，，则．
故选：．
根据题意，利用数量积公式直接计算即可．
本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的基本定理，坐标运算和几何应用，属于中档题．
建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出，．
【解答】
解：以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
设正方形边长为，
则，，，，，
所以，
，．
，
，解得．
，
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
由题意，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得以及的值，从而得出结论．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
【解答】
解：，，，
故A错误，B正确；
，故C错误，且D正确，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：先将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到，
再向右平移个单位长度得到函数的图象，A错误，B正确；
先向右平移个单位长度，得到，
再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，C正确，D错误．
故选：．
根据函数图像缩放平移即可求解．
本题主要考查了函数图象的平移，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：若则，反例，则与，具有任意性，所以不正确；
若，，则，向量向量相等的充要条件，正确；
如果，则不等式不成立，所以不正确；
正确；
故选：．
利用反例判断的正误；向量相等关系判断的正误；向量的模的运算法则判断的正误；利用向量的数量积的性质判断的正误．
本题考查向量的数量积以及向量相等等基本知识的应用，命题的真假的判断，是基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
根据向量垂直、共线以及模长与夹角的计算公式，逐个计算判断即可．
本题考查平面向量的数量积运算，以及向量的垂直、共线以及夹角等的判断和计算方法，属于基础题．
【解答】
解：对于：，解得，故A错；
对于：，故，
故，故B正确；
对于：得，故，故C正确；
对于：得，故，故D错．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
根据题意，求出相位的范围，结合正弦函数的图象与性质可得，函数的最小值．
本题给出三角函数表达式，求函数在上的最小值．着重考查了三角函数的图象与性质、函数的值域与最值等知识，属于基础题．
【解答】
解：
，可得
因此，当时，函数的最小值为，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：，，且在上的投影向量为，
，即，
．
故答案为：；．
根据在上的投影向量为，求出，再求出夹角的余弦值，即可得出答案．
本题考查平面向量数量积的性质，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的计算公式，两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为．
由条件可求得，根据两向量垂直，则两向量的数量积为，从而会得到关于的方程，解方程即可求出．
【解答】
解：，，与的夹角为，
，
；
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：因为点是线段上的任意一点不包括端点，，对任意点都有，
则、、三点共线，
所以，，且，
所以．
故答案为：．
由点是线段上一点及向量共线的推论得，由基本不等式“”的妙用求最值即可．
本题考查平面向量基本定理以及基本不等式相关知识，属于中档题．
17.【答案】解：集合，集合．
当时，，
；
若，则，
，解得．
实数的取值范围是．
【解析】求出集合，，利用并集定义能求出；
若，则，列出不等式组，能求出实数的取值范围．
本题考查集合的运算，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：，，
则；
原式．
【解析】本题考查同角三角函数间的基本关系，对数的性质、运算法则及换底公式，属于基础题．
利用同角三角函数间的基本关系求解即可．
利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．
19.【答案】解：．
，
，
，
，
因为，
，

【解析】由已知结合诱导公式进行化简即可；
由已知结合两角和的正切公式即可求解．
本题主要考查了诱导公式，和差角公式在三角求值中的应用，属于基础试题．
20.【答案】解：；
故；
故；
．
【解析】本题考查了平面向量的应用，同时考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
可得，；；求模即可；
，代入计算即可．
21.【答案】解：已知点为中边上一点，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以；
已知，
则
．
【解析】根据平面向量的线性运算求得，，由此求得；
根据向量数量积运算求得的值．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了向量数量积的运算，属基础题．
22.【答案】解：如图所示，作，，垂足分别为，，
在中，，，
，同理，，
，
；
因为与夹角的余弦值也就是与夹角的余弦值，
所以只需求与夹角的余弦值即可．
先求出，
．
【解析】由平面向量的线性运算计算可得；
由平面向量数量积与夹角公式直接计算即可求得．
本题考查平面向量的线性运算和数量积与夹角，属于中档题．
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