2023-2024学年海南省文昌市文昌中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年海南省文昌中学高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，若与共线，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.，是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值是( )
A. B. C. D.
5.已知偶函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
( )
A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减
7.扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等．扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融人到建筑等艺术审美之中．图为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径图，圆心角为，且为的中点，则该扇形窗子的面积为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，正方形的边长为，点、，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 对任意向量，，都有
B. 对任意非零向量，，都有
C. 若向量，满足，则
D. 若非零向量，满足，则
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 函数的周期为
B. 是函数的一个对称中心
C. 是函数的一个周期
D. 不等式的解集为
11.下列命题为真命题的是( )
A. 在中，若，则为锐角三角形
B. 若为 的垂心，，则
C. 是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为
D. 为内部一点，，则，，的面积比为：：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.已知向量，则在上的投影向量的坐标为______．
14.如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若其中，分别是轴，轴正方向的单位向量，则点的斜坐标为，向量的斜坐标为，，，则的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的夹角为．
求的值；
当为何值时，．
16.本小题分
己知向量，．
若，求的值；
若，，求的值．
17.本小题分
已知在中，是边的中点，且，设与交于点记，．
用，表示向量，；
若，且，求的余弦值．
18.本小题分
已知向量，，函数图象相邻两条对称轴之间的距离为．
求的解析式；
若且，求的值．
19.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象．
当时，求函数的值域；
若方程在上有三个不相等的实数根，，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的运算，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．
先求出集合，再由集合交集的定义求解即可．
【解答】
解：因为集合，，
则．
故答案选：．
2.【答案】
【解析】解：因为与共线，
所以，解得．
故选：．
根据平面向量共线的坐标表示即可求解．
本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，可为，等等，当时，，，
所以“”是“”的不充分条件；
反之，当时，可为，等等，当时，，
所以“”是“”的不必要条件．
故选：．
已知三角函数值求角，注意角的取值不唯一，从而可判断两个条件之间的关系．
本题考查三角函数值，既不充分也不必要条件，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量共线的条件，属于中档题．
由，，三点共线，可构造两个向量共线，再利用两个向量共线的定理求解即可．
【解答】
解：，，三点共线，与共线，
存在实数，使得；
，
，
是平面内不共线的两向量，
解得．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：函数为偶函数，，
函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，，，，，
．
故选：．
根据为偶函数求得的值，再根据图象的相邻两条对称轴间的距离为，求得的值，可得函数的解析式，从而求得
本题主要考查诱导公式、三角函数的奇偶性、单调性，以及图象的对称性，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数平移等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：，增区间为，，减区间为，，由此能求出结果．
【解答】
解：将函数的图象向右平移个单位长度，
得到的函数为：，
增区间满足：，，
减区间满足：，，
增区间为，，
减区间为，，
将函数的图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数在区间上单调递增．
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查扇形面积的求法，牢记扇形面积公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
根据扇形面积，并结合割补法，即可得解．
【解答】
解：因为，且为的中点，
所以，
所以该扇形窗子的面积
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：取中点为，连接，，，
此时
，
要求的最小值，
即求的最小值，
易知
，
又，
此时，
解得，
所以．
故选：．
由题意，取中点为，连接，，，根据向量的线性运算将求的最小值，转化成求的最小值，利用梯形面积公式和三角形面积公式得到的面积，结合三角形面积公式列出等式，即可求出的值，进而即可求解．
由题意，本题考查平面向量数量积的应用以及线性运算，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
9.【答案】
【解析】解：对于：设，则，
所以，故A正确；
对于：当向量，同向时，，故B错误；
对于：若，则，
所以，
所以，故C正确；
对于：若非零向量，满足，则，即，
所以，
又，
所以，即，D错误．
故选：．
根据数量积定义和三角函数有界性可判断；由向量三角不等式等号成立条件可判断；根据向量垂直的充要条件推导可判断；根据已知比较可判断．
本题考查向量的运算，解题中需要熟练掌握向量的概念和运算，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：，
，A正确；
又，
不是函数的一个对称中心，B错误；
令，则，
是函数的一个周期，C正确；
由，得，
，
解得，
不等式的解集为D正确．
故选：．
利用正切函数的周期性、对称性、单调性等性质对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查正切函数的周期性、单调性与对称性的应用，考查运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由，可得，
所以，所以角为锐角，而角，不能确定，
所以不一定为锐角三角形，所以A错误；
对于，因为为的垂心，所以，因为，
所以，所以B正确；
对于，如图建立平面直角坐标系，
则，设，
则，
所以
，
所以当且时，取得最小值，所以C正确；
对于，在中，因为，
所以，即，
所以，即，
取边上的中点，连接，
则，所以，
所以，，三点共线，且为的中点，
所以，
所以：：：：，所以D正确．
故选：．
对于，由可判断角为锐角，不能判断角，是否为锐角；对于，由题意可得，再结合数量积的运算律和向量的加法运算化简变形即可；对于，建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出点的坐标，化简计算可得结果；对于，由已知得，从而得
，进而可求得，，的面积比．
本题考查平面向量与解三角形的综合应用，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，则，，
又因为，则，
且，
解得或舍去，
所以．
故答案为：．
根据同角三角关系求，进而可得结果．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，
则在上的投影向量的坐标为．
故答案为：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设与轴方向相同的单位向量为，与轴方向相同的单位向量为，
则，，，，
所以，所以，
又因为，所以；，所以；
故．
故答案为：．
设平面内一组不共线的基底，则根据题意可以将 ，用，表示，即可求得三角形的三边长，进而可以求得三角形的面积．
本题考查平面向量基本定理，属于中档题．
15.【答案】解：由，，与的夹角是为，
则，
所以
；
由，
则，
即，
即有，
解得．
即有当为时，
【解析】本题考查利用向量的数量积求向量的模，主要考查向量垂直的应用，属于基础题．
运用向量的数量积的定义和向量的模的计算即可得到；
运用向量垂直的条件：数量积为，化简整理，解方程即可得到．
16.【答案】解：，，，
，，
，，
，
，
，
，，
或，
或．
【解析】由共线定理结合齐次式弦化切可求；
由数量积运算性质结合三角函数的恒等变换得，再结合三角函数的性质可得到结果．
本题考查了平面向量的共线定理、数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：，
，
；
，，三点共线，又，
，
，即，
，
，的余弦值为．
【解析】根据平面向量的基底与三角形法则即可用，表示向量，；
由得，代入向量数量积公式即可求得的余弦值．
本题考查向量的线性运算，向量数量积的运算，属中档题．
18.【答案】解：．
，
，，即．
，．
，，
．
，．
．
【解析】本题主要考查三角函数恒等变换，三角函数的图像与性质，平面向量数量积，考查了运算求解能力，属于基础题．
由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式，由题意可知其周期为，利用周期公式可求，即可得解函数解析式．
由，可得结合，得由计算即可．
19.【答案】解：由图示得：，
，
又，
，，
，又因为过点，，，
，，解得，，又，，
．
由已知可得，当时，，
．
，函数的值域为；
当时，，令，，
则函数的图象如下图所示，
且，，
，
由图象得有三个不同的实数根，，，则，，
所以，即，
所以，所以，
故．
【解析】本题考查利用图象求函数的解析式，三角函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的平移与伸缩变换法则，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力．
由图象得，，，再代入点，求解可得函数的解析式，
由已知可得，由求得，继而求得的值域；
令，，做出函数的图象，设有三个不同的实数根，，，，继而求得由此可得答案．
第1页，共1页