2023-2024学年广东省广州市荔湾区真光中学高二（下）质检数学试卷（3月份）(含解析）

2023-2024学年广东省广州市荔湾区真光中学高二（下）质检数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线其中是自然对数的底数在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
2.已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
3.函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，阶导数的导数叫做阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数若，则( )
A. B. C. D.
4.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.若函数有两个极值点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.某莲藕种植塘每年的固定成本是万元，每年最大规模的种植量是万斤，每种植斤藕，成本增加元．销售额单位：万元与莲藕种植量单位：万斤满足为常数，若种植万斤，利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕( )
A. 万斤 B. 万斤 C. 万斤 D. 万斤
7.已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数图象上存在关于轴对称的两点，则正数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 已知函数在上可导，若，则
B. 已知函数，若，则
C. 若函数，则的极大值为
D. 设函数的导函数为，且，则
10.函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，下列选项正确的是( )
A. 有最大值
B.
C. 若时，恒成立，则
D. 设，为两个不相等的正数，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递减区间为______．
13.设函数，则满足的取值范围是______．
14.已知函数在处有极小值，则等于______；若曲线有条过点的切线，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
求函数的解析式；
当时，求函数的最值．
16.本小题分
已知函数．
若函数在上单调递增，求的最小值；
若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
17.本小题分
某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为万元，可获得的加工费为万元，其中．
若，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额单位：万元应在什么范围内？
若该企业加工产品订单的金额为万元时共需要的生产成本为万元，已知该企业加工生产能力为其中为产品订单的金额，试问在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．
18.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若函数有两个不同的零点，，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
当时，令，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的导数为，
，又，
曲线在点处的切线方程是，
即，
故选：．
求得的导数，由导数的几何意义，代入可得切线的斜率，求得切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程．
本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由的图象可知在上单调递增，，，
所以，满足题意，
在上单调递减，，，
所以，满足题意，
在上单调递增，，，
所以，不满足题意，
所以不等式的解集为．
故选：．
由的图象可知单调性，进而可得，符号，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故选：．
可通过求一阶导数和二阶导数找规律，从而得出的阶导数，然后即可得出答案．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，是中档题．
4.【答案】
【解析】解：设，则，
当时，总有成立，
即当时，恒小于，
当时，函数为减函数，
又，
函数为定义域上的偶函数，
又，
函数的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式
或或．
故选：．
由已知：当时，总有成立，可判断函数为减函数，由已知是定义在上的奇函数，可证明为上的偶函数，根据函数在上的单调性和奇偶性，模拟的图象，而不等式等价于，数形结合解不等式组即可．
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．
5.【答案】
【解析】解：，因为有两个极值点，
故有两个根，即和的图像有两个交点，画出图像，
若，显然个交点，不合题意；若，设直线和相切于点，
则
故选：．
先求导，将有两个极值点转化为和的图像有两个交点，画出图像，通过切线解决即可．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：设销售利润为，则，
，，解得，
，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
当时，销售利润最大．
故选：．
设销售利润为，根据利润销售额成本，列出关系式，由，解得的值，从而得函数的解析式，求导后判断其在上的单调性，即可得解．
本题考查利用导数解决实际生活中的最优问题、导数的运算法则，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为对任意两个不等的正数，，都有恒成立，
设，则，
即恒成立，
令函数，
问题等价于在上为增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，
即实数的取值范围是．
故选：．
问题等价于在上为增函数，求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，求出的范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
又的图象上存在关于轴对称的两点，
所以这两个对称点分别位于与的图象上；
设在的图象上，则在函数的图象上，且，
故有，即，
进而；
设，则，
又恒成立，故在上单调递增，
所以，即，
令，，则在上恒成立，
故在上单调递减，
故，则，于是．
故选：．
先分析的单调性，可得对称点分别位于与的图象上，从而得到，进而利用同构法，构造函数得到，再构造函数，，由此得解．
本题主要考查了分段函数的性质，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项A，，，故选项A正确．
选项B，因为，令，则，故选项B错误．
选项C，函数，则，
令，得或，令，解得，令，解得或．
所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．
所以当时，函数有极大值为，故选项C错误．
选项D，由已知可得，
所以，则，故选项D正确．
故选：．
根据导数的运算性质对各个选项逐个求解即可判断．
本题考查导数的综合应用，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，对于，
分种情况讨论：
当时，，是指数函数，与选项A的图象对应，
当时，若，解可得：，
在区间上，，有，
在区间上，，有，
在区间上，，有，与选项A的图象对应，
当时，，有，即函数的图象在轴的上方，
其导数，
对于，
其中当时，有，此时恒成立，
此时恒成立，函数有在上递增，没有选项的图象与之对应，
当时，，方程有两个负根，
此时函数有两个极值点，且都在轴左侧，与选项C的图象对应，
同时选项D的图象不可能成立．
故选：．
根据题意，分，和三种情况讨论函数的图象，由此分析选项即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的导数与单调性的关系，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，故选项A正确；
对于选项B：因为，，
所以，
则，故选项B错误；
对于选项C：不妨设，函数定义域为，
可得，
因为，
若时，恒成立，
可得当时，恒成立，
此时，
解得，
若，
此时恒成立，
所以在上单调递减，
则，符合题意，
综上，满足条件的的取值范围为，故选项C正确；
对于选项D：因为，为两个不相等的正数，且，
所以，
即，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
当时，，
不妨设，
不妨设，函数定义域为，
可得恒成立，
所以函数在上单调递增，
此时，
所以当时，，
即当时，，
整理得，
因为函数在上单调递增，且，，
所以，
即，故选项D正确．
故选：．
由题意，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而可判断选项A；将和代入函数的解析式中，利用作差法进行求解即可判断选项B；构造函数，对函数进行求导，结合定点即可判断选项C；将转化成，结合选项A中所得信息，设，构造函数，对进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可判断选项D．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
12.【答案】
【解析】解：由题意得函数定义域为，，
由得，由得，
在上单调递减．
故答案为：．
由题意得函数定义域为，，求出，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：构造函数，，
，所以是奇函数，
，当且仅当时取等号，所以在上单调递增，
由，得，
，，
则，，所以的取值范围是．
故答案为：．
通过构造奇函数，结合函数的单调性来求得不等式的解集．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了单调性与奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：因为，则，
由可得或，且与同号，
因为函数在处有极小值，
即函数的极小值点为正数，则必有，此时，，列表如下：
增 极大值 减 极小值 减
所以，函数的极小值点为，故，则，
设切点为，因为，
则，所以，切线方程为，
将点的坐标代入切线方程可得，
令，则，令，可得或，列表如下：
减 极小值 增 极大值 减
由题意可知，函数与函数的图象有三个公共点，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个公共点，
因此，实数的取值范围是
故答案为：；
利用导数分析函数的单调性，分析可知，根据函数的极小值点可求得的值；设切点为，利用导数写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可知方程有三个不等的实根，设，利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知函数与函数的图象有三个公共点，数形结合可得出实数的取值范围．
本题考查导数的综合应用，考查函数的极值，考查方程与函数的关系，属于中档题．
15.【答案】解：因为，
所以，
由题意可知，，，，
所以，解得，，，
所以函数的解析式为，经检验适合题意，
所以；
由知，
令，则，解得，或，
当时，；当时，；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，取的极大值为，
当时，取得极小值为，
又，，
所以，．
【解析】利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解；
利用导数法求函数的最值的步骤即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的最值与极值，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】解：，，
因函数在上单调递增，
所以在恒成立，即，
的最小值为；
与有且只有一个交点，
即只有一个根，
只有一个根，
令，所以的图象与的图象只有一个交点，
，令，解得或，
令，解得，
所以在，上单调递增，上单调递减，的图象如下所示：
，，
又的图象与的图象只有一个交点，
．
【解析】将函数在上单调递增转化为在恒成立，即，然后求最值即可；
将函数与有且只有一个交点转化为只有一个根，再转化为的图象与的图象只有一个交点，然后根据图象求的范围即可．
本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
17.【答案】解：设加工费用为，则，
，
若企业获得的加工费随加工产品订单的金额的增长而增长，则，
，
，
，
即该企业加工产品订单的金额单位：万元应在范围内；
令，该企业加工生产将不会出现亏损，即，
，
，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，且，
在上恒成立，故，
，
，
所以当时，该企业加工生产将不会出现亏损．
【解析】利用导函数的几何意义，即可解出；
根据题意列出不等式，构造函数，即可解出．
本题考查了导函数的简单应用，学生的数学运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：，
因为，，
故当时，，此时在上单调递增，
当时，时，，时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间，此时函数最多一个零点，不符合题意；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
又时，，且时，，
若使有个零点，则，
即，
令，则在时单调递增且，
所以，
故的取值范围为．
【解析】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对进行分类讨论，进而可求函数的单调区间；
结合中单调性的讨论及函数零点存在条件可建立关于的不等式，结合函数的性质解不等式可求的范围．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，函数性质的综合应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：，
，
当时，，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
当时，令得或，
若，即时，
在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
若，即时，
在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
若，即时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在单调递增．
证明：要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
令，，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，
又，
所以，得证．
【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，进而可得的单调性．
要证，即证，即证，令，，只需证明，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
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