2023-2024学年广东省佛山二中高二（下）第一次月考数学试卷(含解析）

2023-2024学年广东省佛山二中高二（下）第一次月考数学试卷
1.函数的导数( )
A. B. C. D.
2.在数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的导函数，满足关系式，则的值为( )
A. B. C. D.
4.若函数在处的导数等于，则的值为( )
A. B. C. D.
5.函数在区间上的( )
A. 最小值为，最大值为 B. 最小值为，最大值为
C. 最小值为，最大值为 D. 最小值为，最大值为
6.已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，七七数之剩二除以余，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若，则( )
A. B. C. D.
9.下列求函数的导数正确的是( )
A. B.
C. D.
10.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A. 有两个极值点
B. 有两个极小值
C. 为函数的极小值
D. 为的极小值
11.已知数列的前项和为，且满足，，，则下面说法正确的是( )
A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列
C. D.
12.在等比数列中，，，则与的等比中项为______．
13.已知数列，且，则的通项公式 ______．
14.若函数的极大值为，则的极小值为____．
15.已知函数．
求函数在点处的切线方程；
求函数的单调区间．
16.已知数列的前项和为，．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.已知数列的首项，且满足．
判断数列是否为等比数列；
若，记数列的前项和为，求．
18.已知数列的前项和，且．
求数列的通项公式；
设数列的通项公式，若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前项的和．
19.已知函数．
讨论的单调性；
若直线与曲线相切，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
2.【答案】
【解析】解：，，
，，，
是以为周期的周期数列，
．
故选：．
根据递推公式计算出的前几项即可发现是周期数列，从而即可求出的值．
本题考查周期数列，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
则，
当时，，解得．
故选：．
将函数求导，将代入，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：函数在处的导数等于，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查极限及其运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
所以在区间上单调递增，
因此的最小值为，最大值为．
故选：．
先求得函数的导数，进而得到在区间上单调性，即可求得在区间上的最小值和最大值．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
设切点坐标，求得曲线过切点的切线方程，代入原点坐标，结合判别式法求实数的取值范围．
【解答】
解：设切点坐标为，
由，得，
过切点的切线方程为，
又切线过坐标原点，，
又曲线存在过坐标原点的切线，该方程有实根，
即有实数根，
，解得．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由题意，可知，，
故数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，取得最小值为．
故选：．
先根据题意推导出数列的通项公式，并判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，再计算出前项和的表达式，代入进行化简，然后根据均值不等式即可推导出的最小值．
本题主要考查等差数列的运用，以及数列与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，等差数列的定义及求和公式的运用，均值不等式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
构造函数，，则，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，即．
故选：．
构造函数，，利用导数判断单调性，结合单调性判断即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较大小，考查了转化思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：，故A正确；
对于选项：，故B正确；
对于选项：利用复合函数的求导公式得，故C正确；
对于选项：利用复合函数的求导公式得：，故D不正确．
故选：．
分析函数的构成，利用基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导公式逐一判断即可．
本题主要考查了函数的求导公式及复合函数的求导法则的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由函数的图象，
可得当时，，
所以，单调递减；
当时，，
所以，单调递增；
当时，，
所以，单调递减；
当时，，
所以，单调递增，
综上，当时，函数取得极小值；
当时，函数取得极大值；
当时，函数取得极小值，
故选项ABC错误，选项B正确．
故选：．
根据题意，根据的图象，分别讨论的取值范围，得到函数的单调性，利用极值点定义对选项进行分析即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力．
11.【答案】
【解析】解：因为，所以或，
又，，所以，，
所以数列为公比为的等比数列，故A不正确；
数列为常数列，即为公比为的等比数列，故B正确；
由为等比数列可得：，且，所以，故C不正确；
从而得
，故D正确．
故选：．
由已知递推关系式可得或，从而得出数列为等比数列，数列为常数列，从而可求出，，进而可分析判断得出结论．
本题考查等比数列、等差数列、分组求和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：在等比数列中，，，
则与的等比中项为．
故答案为：．
由已知直接利用等比中项的定义求解．
本题考查等比中项的定义及求法，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：且，
，即当时，，，，，
由累乘法得，即，
又符合上式，
．
故答案为：．
由题意得，即当时，，，，，利用累乘法，即可得出答案．
本题考查数列的递推式和累乘法求数列的通项公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查计算能力，属于基础题．利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键．
先对函数进行求导并研究单调性，可得函数的极大值，从而得到参数的值，进而求得极小值．
【解答】
解：函数的定义域为，，
令，解得或，
列表：
极大值 极小值
当时，函数有极大值，
由题意得：，解得：，
当时，函数有极小值．
故答案为．
15.【答案】解：因为，所以，，
，
切点为，
，
所求切线的斜率为，
所求切线的点斜式方程是，即；
因为，
当时，解得或，
当时，得，
当时，得或，
所以函数的单调递减区间为和，单调递增区间为．
【解析】根据导数的几何意义结合条件即得；
根据导数与函数的单调性的关系即得．
本题主要考查了导数的几何意义及导数与单调性关系的应用，属于基础题．
16.【答案】解：且，有，
当，时，有，
两式相减得．
当时，由适合，
所以；
由知，，
所以．
【解析】由数列的通项与前项和的关系，化简可得所求；
由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查数列的通项与前项和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：，解得，
则数列不是等比数列；
，即，
，，
，
所以，当时，数列不是等比数列；
当时，数列是以为首项，为公比的等比数列．
由知，，
，
则．
则，
令，
令，
所以，
得：
，
得．
．
【解析】由数列的递推式和等比数列的定义，可得结论；
由数列的分组求和与错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的分组求和与错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：，
，
得，，
即，
又，，
数列是首项为，公比为的等比数列，
；
与之间插入项中的项，且，，
而与之间插入项中的项，
数列的前项中有数列的前项，
数列的前项中有数列的前项，
数列的前项的和．
【解析】由可得，两式相减可得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式求解即可；
由题意可知数列的前项中有数列的前项和数列的前项，再结合等差数列和等比数列的前项和公式求解．
本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列和等比数列的性质，属于中档题．
19.【答案】解：函数的定义域为，且，
当时，恒成立，所以在上单调递减，
当时，令，解得，
所以当时，，当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
综上可得：当时在上单调递减，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
由，设切点为，
令，易知，
所以，又，即，即，
设，则，
所以当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以，所以，则，
令，则，
令，则，
令，则，
所以当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
又，，当时，，
所以当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以，所以方程无实根，
所以函数与的图象无交点．
【解析】求出导函数，再分，两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
设切点为，利用导数的几何意义求出，即可得到解析式，再令，即，令，利用导数说明函数的零点，即可判断．
本题考查了导数的几何意义和导数与函数的单调性的关系，属于中档题．
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