2022-2023学年云南省昆明市官渡区高一（下）期中数学试卷 (含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年云南省昆明市官渡区高一（下）期中数学试卷 (含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 100.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-12 09:39:06 | ||
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文档简介
2022-2023学年云南省昆明市官渡区高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若则( )
A. B. C. D.
3.设是实数，““是“的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 即不充分也不必要条件
4.在中，已知为上一点，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，为单位向量与的夹角等于，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.若三角形的三边长分别是，，，则这个三角形中最大角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.把截面半径为的圆形木头锯成面积为的矩形木料，如图，点为圆心，，设，把面积表示为的表达式，则有( )
A.
B.
C.
D.
8.黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：，已知，，，则下列结论正确的是( )
注：公因数只有的两个非零自然数叫做互质数；
，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数．
A. B.
C. D. 的值域为
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数，为虚数单位，则下列结论正确的为( )
A. B. 的虚部是
C. 对应的点位于第一象限 D.
10.下列各式中，其中运算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
11.下列选项中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则与的夹角的余弦值为
C. 若单位向量，的夹角为，则的值为
D. 设向量，，若，则
12.已知二次函数，若对任意，则( )
A. 当时，恒成立
B. 当时，恒成立
C. 对，均有恒成立
D. 使得成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知角的始边与轴非负半轴重合，角的终边过点，则 ______．
14.已知向量，且与共线，那么 ______．
15.如图，在中，为边上一靠近点的三等分点，，则 ______， ______．
16.欧拉是世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一欧拉在年发表的三角形的几何学一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理设中，点、、分别是外心、垂心和重心，下列四个选项中结论正确的序号是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设集合，，．
若，求；
若，且，求实数的取值集合．
18.本小题分
在中，内角、、的对边分别为、、，
在条件：；；
，从上述三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是，并解答下面问题：
求角的大小；
若，求的面积．
19.本小题分
已知函数的对称轴与相邻的对称中心之间的距离为．
求的解析式和对称轴方程；
若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围．
20.本小题分
某环保组织自年元旦开始监测某水域水葫芦生长的面积变化情况，此后每隔一个月每月月底测量一次，通过近一年的观察发现，自年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快水葫芦生长的面积单位：与时间单位：月的关系满足最初测得该水域水葫芦生长的面积为单位：，二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，记年元旦最初测量时间的值为．
请求出关于的函数解析式；
该水域中水葫芦的生长面积在几月份起是元旦开始研究时其生长面积的倍以上？
参考数据：，
21.本小题分
如图，在矩形中，点是的中点，点在上．
若点是上靠近的三等分点，设，求的值；
若，，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数，当点在函数的图象上运动时，对应的点在的图象上运动，则称是的相关函数．
解关于的不等式；
若对任意的，的图象总在其相关函数图象的下方，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
利用列举法表示集合，再由补集定义得答案．
本题考查补集及其运算，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意，．
故选：．
根据复数的模长的性质求解．
本题考查复数的模长，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了充分条件，必要条件的判断，不等式求解，属于基础题．
将化简为：或，再根据充分条件和必要条件的定义即可得正确答案，
【解答】
解：，
，
即，
即，
解得或，
“”是“”的充分不必要条件，
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
利用平面向量的三角形法则，将用表示即可．
本题考查了平面向量的三角形法则，属于基础题．
【解答】
解：因为，则；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，为单位向量与的夹角等于，
则向量在向量上的投影向量为．
故选：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：三角形的三边长分别是，，，
则边长对应的角最大，不符设为角，
故．
故选：．
根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得矩形的长为，
矩形的宽为，
矩形的面积．
故选：．
由三角函数可表示矩形的长和宽，由三角函数公式化简可得．
本题考查函数解析式的求解，涉及三角函数化简，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：，互质，且，，选项错误；
解：设，，且，为互质的正整数，或，或是的无理数，
由题意可知，的值域为，是大于等于的正整数，故选项D错误；
当，时，则，，
当，时，则，，
当，时，则，，
当，时，则，，
综上所述，以上四种均有，故选项C正确，B错误，
故选：．
设，，且，为互质的正整数，或，或是的无理数，然后根据题意分类讨论即可得解．
本题考查了抽象函数的应用，考查了学生的推理能力与理解能力，需要较强的综合知识，属于难题．
9.【答案】
【解析】解：对于，复数，，故A正确；
对于，，的虚部是，故B错误；
对于，复数，，
，对应的点的坐标为，位于第一象限，故C正确；
对于，复数，，
，
，故D错误．
故选：．
根据共轭复数的概念可判断，根据虚部的定义可判断，根据复数的几何意义可判断，根据复数的模长公式可判断．
本题主要考查了复数的运算，考查了复数的几何意义，以及复数的模长公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合指数、对数的运算性质，即可求解．
本题主要考查指数、对数的运算性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项A，当时，满足条件，但不一定有，故A错误；
选项B，若，，
则，故B正确；
选项C，若单位向量，的夹角为，
则，故C正确；
选项D，由，可得，解得，故D错误．
故选：．
利用向量平行的定义可判断；由向量夹角公式进行计算可判断；由数量积的性质进行计算可判断；由向量垂直的坐标关系可判断．
本题考查向量平行、垂直的性质，考查向量的坐标运算，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，二次函数，其开口向上，对称轴为，
依次分析选项：
对于，当，即时，有，，
由于，必有恒成立，A正确；
对于，当，时，有时，，B错误；
对于，，必有恒成立，C正确；
对于，当时，，易得，D正确．
故选：．
根据题意，将函数的解析式变形可得，由二次函数的性质分析、，举出反例可得、D错误，综合可得答案．
本题考查二次函数的性质，涉及函数的恒成立问题，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：角的始边与轴非负半轴重合，角的终边过点，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查三角函数的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，且与共线，
，即．
，则．
故答案为：．
由平面向量共线的坐标运算列式求解，再由向量模的计算公式求解．
本题考查平面向量共线的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：为边上一近点的三等分点，
，
即，
故，
，
，
又，
，
，
．
故答案为：，．
由得出，由正弦定理的得出，进而得出，最后由得出的值．
本题考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图：对于，由图可知显然不正确，故不正确；
对于，
，故正确；
对于，是重心，则延长与的交点为中点，且，
则，故正确；
根据欧拉线定理可知，点、、共线，且．
，故正确．
故答案为：．
根据向量相等的定义可直接判断；根据题意可判断；利用向量数乘和加减法法则可判断；根据重心的性质可判断；．
本题考查了平面向量基本定理，考查了向量的线性运算，考查了数形结合思想，属于中档题．
17.【答案】解：集合，
时，，
；
时，，
，且，
时，，
时，，
可得或，解得或；
实数的取值集合为
【解析】先求出集合，，进而求解结论；
求出集合，再根据和求出集合，进而求解结论．
本题主要考查集合的基本运算，考查分类讨论思想的应用，属于基础题．
18.【答案】解：选：，
由正弦定理得，
因为，所以，
故，即，
因为，所以；
选：，
因为，
所以，即，
因为，所以；
选：，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
因为，所以．
由第一问可知：，
又，
由余弦定理得：，
解得：，
由三角形面积公式可得：．
【解析】选：利用正弦定理得到，结合，求出角的大小；
选：利用诱导公式得到，从而得到，结合，求出角的大小；
选：利用正弦定理和余弦定理求出，结合，求出角的大小；
利用第一问求出的，利用余弦定理求出，从而求出三角形面积．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
19.【答案】解：由题意可得，即，可得，
即有；
由，，可得对称轴方程为，；
由，可得，
又在递增，在递减，
且，，，
所以，当时，在区间上恰有两个实数根．
【解析】由题意可得，由周期公式可得，进而得到的解析式；再由正弦函数的对称轴方程，可得所求；
求得在区间上的单调性，计算最值和端点的函数值，可得所求取值范围．
本题考查正弦函数的图象和性质，以及方程的根的个数，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可得，解得，
所以；
由题意可得，
所以，，
所以该水域中水葫芦的生长面积在月份起是元旦开始研究时其生长面积的倍以上．
【解析】由题意，列出方程组求解即可；
结合解不等式即可．
本题考查了函数在生活中的实际运用，属于基础题．
21.【答案】解：因为，
点是的中点，点是上靠近的三等分点，
所以，
在矩形中，，，
所以，
所以，，即．
如图，以为原点，以，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，设，则，
所以，，
所以，
所以当时，，取得最小值；
当或时，取得最大值，
所以的取值范围为．
【解析】由向量的线性运算可求，的值，即可求解的值；
建立平面直角坐标系，设点的坐标，结合题意求出向量，的坐标，利用二次函数性质即可求的取值范围．
本题考查了平面向量的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．
22.【答案】解：依题意，，可得，解得，
所求不等式的解集为；
由题意，，即的相关函数为，
对任意的，的图象总在其相关函数图象的下方，
当时，恒成立，
由，，得，
在此条件下，即时，恒成立，即，即在上恒成立，
，解得，
故实数的取值范围为．
【解析】利用对数函数的性质可得，解出即可；
根据题意，求得，依题意，在上恒成立，由此得解．
本题考查对数函数的图象及性质，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若则( )
A. B. C. D.
3.设是实数，““是“的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 即不充分也不必要条件
4.在中，已知为上一点，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，为单位向量与的夹角等于，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.若三角形的三边长分别是，，，则这个三角形中最大角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.把截面半径为的圆形木头锯成面积为的矩形木料，如图，点为圆心，，设，把面积表示为的表达式，则有( )
A.
B.
C.
D.
8.黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：，已知，，，则下列结论正确的是( )
注：公因数只有的两个非零自然数叫做互质数；
，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数．
A. B.
C. D. 的值域为
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数，为虚数单位，则下列结论正确的为( )
A. B. 的虚部是
C. 对应的点位于第一象限 D.
10.下列各式中，其中运算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
11.下列选项中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则与的夹角的余弦值为
C. 若单位向量，的夹角为，则的值为
D. 设向量，，若，则
12.已知二次函数，若对任意，则( )
A. 当时，恒成立
B. 当时，恒成立
C. 对，均有恒成立
D. 使得成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知角的始边与轴非负半轴重合，角的终边过点，则 ______．
14.已知向量，且与共线，那么 ______．
15.如图，在中，为边上一靠近点的三等分点，，则 ______， ______．
16.欧拉是世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一欧拉在年发表的三角形的几何学一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理设中，点、、分别是外心、垂心和重心，下列四个选项中结论正确的序号是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设集合，，．
若，求；
若，且，求实数的取值集合．
18.本小题分
在中，内角、、的对边分别为、、，
在条件：；；
，从上述三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是，并解答下面问题：
求角的大小；
若，求的面积．
19.本小题分
已知函数的对称轴与相邻的对称中心之间的距离为．
求的解析式和对称轴方程；
若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围．
20.本小题分
某环保组织自年元旦开始监测某水域水葫芦生长的面积变化情况，此后每隔一个月每月月底测量一次，通过近一年的观察发现，自年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快水葫芦生长的面积单位：与时间单位：月的关系满足最初测得该水域水葫芦生长的面积为单位：，二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，记年元旦最初测量时间的值为．
请求出关于的函数解析式；
该水域中水葫芦的生长面积在几月份起是元旦开始研究时其生长面积的倍以上？
参考数据：，
21.本小题分
如图，在矩形中，点是的中点，点在上．
若点是上靠近的三等分点，设，求的值；
若，，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数，当点在函数的图象上运动时，对应的点在的图象上运动，则称是的相关函数．
解关于的不等式；
若对任意的，的图象总在其相关函数图象的下方，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
利用列举法表示集合，再由补集定义得答案．
本题考查补集及其运算，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意，．
故选：．
根据复数的模长的性质求解．
本题考查复数的模长，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了充分条件，必要条件的判断，不等式求解，属于基础题．
将化简为：或，再根据充分条件和必要条件的定义即可得正确答案，
【解答】
解：，
，
即，
即，
解得或，
“”是“”的充分不必要条件，
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
利用平面向量的三角形法则，将用表示即可．
本题考查了平面向量的三角形法则，属于基础题．
【解答】
解：因为，则；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，为单位向量与的夹角等于，
则向量在向量上的投影向量为．
故选：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：三角形的三边长分别是，，，
则边长对应的角最大，不符设为角，
故．
故选：．
根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得矩形的长为，
矩形的宽为，
矩形的面积．
故选：．
由三角函数可表示矩形的长和宽，由三角函数公式化简可得．
本题考查函数解析式的求解，涉及三角函数化简，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：，互质，且，，选项错误；
解：设，，且，为互质的正整数，或，或是的无理数，
由题意可知，的值域为，是大于等于的正整数，故选项D错误；
当，时，则，，
当，时，则，，
当，时，则，，
当，时，则，，
综上所述，以上四种均有，故选项C正确，B错误，
故选：．
设，，且，为互质的正整数，或，或是的无理数，然后根据题意分类讨论即可得解．
本题考查了抽象函数的应用，考查了学生的推理能力与理解能力，需要较强的综合知识，属于难题．
9.【答案】
【解析】解：对于，复数，，故A正确；
对于，，的虚部是，故B错误；
对于，复数，，
，对应的点的坐标为，位于第一象限，故C正确；
对于，复数，，
，
，故D错误．
故选：．
根据共轭复数的概念可判断，根据虚部的定义可判断，根据复数的几何意义可判断，根据复数的模长公式可判断．
本题主要考查了复数的运算，考查了复数的几何意义，以及复数的模长公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合指数、对数的运算性质，即可求解．
本题主要考查指数、对数的运算性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项A，当时，满足条件，但不一定有，故A错误；
选项B，若，，
则，故B正确；
选项C，若单位向量，的夹角为，
则，故C正确；
选项D，由，可得，解得，故D错误．
故选：．
利用向量平行的定义可判断；由向量夹角公式进行计算可判断；由数量积的性质进行计算可判断；由向量垂直的坐标关系可判断．
本题考查向量平行、垂直的性质，考查向量的坐标运算，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，二次函数，其开口向上，对称轴为，
依次分析选项：
对于，当，即时，有，，
由于，必有恒成立，A正确；
对于，当，时，有时，，B错误；
对于，，必有恒成立，C正确；
对于，当时，，易得，D正确．
故选：．
根据题意，将函数的解析式变形可得，由二次函数的性质分析、，举出反例可得、D错误，综合可得答案．
本题考查二次函数的性质，涉及函数的恒成立问题，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：角的始边与轴非负半轴重合，角的终边过点，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查三角函数的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，且与共线，
，即．
，则．
故答案为：．
由平面向量共线的坐标运算列式求解，再由向量模的计算公式求解．
本题考查平面向量共线的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：为边上一近点的三等分点，
，
即，
故，
，
，
又，
，
，
．
故答案为：，．
由得出，由正弦定理的得出，进而得出，最后由得出的值．
本题考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图：对于，由图可知显然不正确，故不正确；
对于，
，故正确；
对于，是重心，则延长与的交点为中点，且，
则，故正确；
根据欧拉线定理可知，点、、共线，且．
，故正确．
故答案为：．
根据向量相等的定义可直接判断；根据题意可判断；利用向量数乘和加减法法则可判断；根据重心的性质可判断；．
本题考查了平面向量基本定理，考查了向量的线性运算，考查了数形结合思想，属于中档题．
17.【答案】解：集合，
时，，
；
时，，
，且，
时，，
时，，
可得或，解得或；
实数的取值集合为
【解析】先求出集合，，进而求解结论；
求出集合，再根据和求出集合，进而求解结论．
本题主要考查集合的基本运算，考查分类讨论思想的应用，属于基础题．
18.【答案】解：选：，
由正弦定理得，
因为，所以，
故，即，
因为，所以；
选：，
因为，
所以，即，
因为，所以；
选：，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
因为，所以．
由第一问可知：，
又，
由余弦定理得：，
解得：，
由三角形面积公式可得：．
【解析】选：利用正弦定理得到，结合，求出角的大小；
选：利用诱导公式得到，从而得到，结合，求出角的大小；
选：利用正弦定理和余弦定理求出，结合，求出角的大小；
利用第一问求出的，利用余弦定理求出，从而求出三角形面积．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
19.【答案】解：由题意可得，即，可得，
即有；
由，，可得对称轴方程为，；
由，可得，
又在递增，在递减，
且，，，
所以，当时，在区间上恰有两个实数根．
【解析】由题意可得，由周期公式可得，进而得到的解析式；再由正弦函数的对称轴方程，可得所求；
求得在区间上的单调性，计算最值和端点的函数值，可得所求取值范围．
本题考查正弦函数的图象和性质，以及方程的根的个数，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可得，解得，
所以；
由题意可得，
所以，，
所以该水域中水葫芦的生长面积在月份起是元旦开始研究时其生长面积的倍以上．
【解析】由题意，列出方程组求解即可；
结合解不等式即可．
本题考查了函数在生活中的实际运用，属于基础题．
21.【答案】解：因为，
点是的中点，点是上靠近的三等分点，
所以，
在矩形中，，，
所以，
所以，，即．
如图，以为原点，以，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，设，则，
所以，，
所以，
所以当时，，取得最小值；
当或时，取得最大值，
所以的取值范围为．
【解析】由向量的线性运算可求，的值，即可求解的值；
建立平面直角坐标系，设点的坐标，结合题意求出向量，的坐标，利用二次函数性质即可求的取值范围．
本题考查了平面向量的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．
22.【答案】解：依题意，，可得，解得，
所求不等式的解集为；
由题意，，即的相关函数为，
对任意的，的图象总在其相关函数图象的下方，
当时，恒成立，
由，，得，
在此条件下，即时，恒成立，即，即在上恒成立，
，解得，
故实数的取值范围为．
【解析】利用对数函数的性质可得，解出即可；
根据题意，求得，依题意，在上恒成立，由此得解．
本题考查对数函数的图象及性质，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
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