2022-2023学年广东省汕尾中学高一（下）期中数学试卷(含解析）

2022-2023学年广东省汕尾中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A. B. C. D.
6.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是( )
A. B.
C. D.
7.函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
8.下列区间中，函数单调递增的区间是
( )
A. B. C. D.
9.如图是函数的部分图像，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.对于任意两个向量，下列命题正确的是( )
A. B.
C. D. 若，则
11.是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是( )
A. 的单调递增区间为
B.
C. 的最大值为
D. 的解集为
12.已知，，则下列结论正确的是( )
A. 的终边在第二象限 B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，那么的最小值是______．
14.已知向量，若，则______．
15.在中，已知，，，则 ______．
16.已知函数是偶函数，则__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，且．
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知函数，．
求的值；
若，求
19.本小题分
已知平面向量，，，且，．
求和；
若，，求向量；
求与向量的夹角的大小．
20.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，．
求；
若，，求的面积．
21.本小题分
已知函数的最小正周期．
求函数单调递增区间和对称中心；
求函数在上的值域．
22.本小题分
某工厂生产某种零件的固定成本为元，每生产一个零件要增加投入元，已知总收入单位：元关于产量单位：个满足函数：．
将利润单位：元表示为产量的函数；总收入总成本利润
当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元？单位利润利润产量
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
故，
先计算处的坐标，再利用坐标模长公式即可．
本题主要考查利用向量坐标求模，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
，可得：，
．
故选：．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而利用两角和的正切函数公式即可计算得解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合对数函数的单调性，即可求解．
本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，设，其定义域为或，有，为奇函数，不符合题意；
对于，设，其定义域为，有，为奇函数，不符合题意；
对于，设，其定义域为，有，为偶函数，不符合题意；
对于，设，其定义域为，有，既不是奇函数，也不是偶函数，符合题意；
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，总合即可得答案．
本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以．
故选：．
根据平面向量的线性运算可得答案．
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：是奇函数，
所以排除，
当时，排除
故选：．
先由奇偶性来确定是、还是、选项中的一个，再通过对数函数，当时，函数值为，可进一步确定选项．
本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦型函数单调性，是简单题．
本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．
【解答】解：令，．
则，．
当时，，
，，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由图象可知，又，所以，
当时，，将点代入，可得，
所以，，解得，，此时，
当时，，将点代入，可得，
所以，，解得，，此时，
综上可得，故B正确，A错误，
，CD错误，
故选：．
由图象可求得最小正周期，由周期公式即可求得的值，将点代入，可求得的值，从而可判断选项B，利用诱导公式可判断．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，由向量加法的运算性质可得，A正确；
对于，由向量加法的运算性质可得，B错误；
对于，，C正确；
对于，向量不能比较大小，D错误；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查向量数量积的性质，涉及向量的线性运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，当时，，
又由为偶函数，则的草图如图：
由此分析选项：
对于，的单调递增区间为，A正确；
对于，在区间上，为减函数，则有，B错误；
对于，的最大值为，C正确；
对于，的解集为，D错误；
故选：．
根据题意，由函数的奇偶性和解析式作出函数的草图，由此分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同角的三角函数关系在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
先对，两边平方求出的值，即可判断出所在的象限，再求出的值，从而求出，，的值，即可判断得解．
【解答】
解：，
两边平方得：，
，故D正确，
与异号，
又，
，故A正确，
，
，
，
又，
，，，故B错误，C正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，，则，当且仅当时等号成立，
即的最小值是．
故答案为：．
根据题意，由基本不等式可得，即可得答案．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：向量，．，
，
则，
故答案为：．
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以由余弦定理，可得，整理可得，
则解得或舍去．
故答案为：．
由已知利用余弦定理可得，解方程即可求解的值．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，考查计算能力，属于基础题．
根据题意，可得也为上的奇函数，即可得解．
【解答】
解：函数是偶函数，
为上的奇函数，
故也为上的奇函数，
所以时，，
所以，经检验，满足题意，
故答案为：．
17.【答案】解：，，
为第三象限角，
，
；
原式．
【解析】由同角三角函数的基本关系求解；
根据诱导公式及同角三角函数的基本关系化简求值．
本题主要考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．
18.【答案】解：，
，，
，
．
【解析】将代入，结合特殊角的三角函数值，可得答案；
根据，，求出，代入两角差的余弦公式，可得答案．
本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，特殊角的三角函数值，难度不大，属于基础题．
19.【答案】解：因为，则，所以．
因为，则，所以．
所以，；
因为，，
所以；
设与向量的夹角为，
则，
因为，所以，即与的夹角为．
【解析】根据平面向量平行，垂直的坐标表示，代入计算，即可得到结果；
根据平面向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果；
根据平面向量的夹角公式，结合坐标运算，即可得到结果．
本题主要考查平面向量的基本运算，要求熟练掌握平面向量的数量积公式，属于基础题．
20.【答案】解：由正弦定理及，得，
所以，
即，所以，
因为，所以，又，所以．
因为，，又由知，
由余弦定理得，
即，则，所以，
所以的面积为．
【解析】利用正弦定理及条件，进行边转角即可求出结果；
利用余弦定理及条件，建立方程求出的值，再用面积公式求出结果．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：函数的最小正周期，
故；
所以，
令，，
整理得，，
故函数的单调递增区间为，．
令，，整理得，．
故函数的对称中心为，．
由于，
所以，
故．
故函数的值域为．
【解析】首先利用函数的最小正周期求出函数的关系式，进一步利用整体思想求出函数的单调递增区间和对称中心．
利用函数的定义域求出函数的值域．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
22.【答案】解：当时，，
当时，，
故．
设零件的单位利润为，
则，
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，，此时无最值，
故当产量为个时，零件的单位利润最大，最大单位利润是元．
【解析】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于中档题．
根据已知条件，结合利润公式，即可直接求得．
设零件的单位利润为，则，再结合基本不等式公式与反比例函数的性质，即可求解．
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