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11.1.1三角形的边六大题型（一课一练）
【人教版】
一、单选题（本大题共12个小题，每题4分，共48分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．（八年级上·全国·课堂例题）三角形是（ ）
A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形
D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形
2．（八年级上·山西吕梁·阶段练习）已知的三边长a，b，c满足等式，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
3．（八年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是三角形按常见关系进行分类的图，则关于P、Q区域的说法正确的是（ ）
A．P是等边三角形，Q是等腰三角形 B．P是等腰三角形，Q是等边三角形
C．P是直角三角形，Q是锐角三角形 D．P是钝角三角形，Q是等腰三角形
4．（八年级上·河北保定·期末）下面不能组成三角形的三条线段是（ ）
A． B．
C． D．
5．（七年级下·河南南阳·期末）一个三角形的两条边的长为5和7，若三角形周长为偶数，那么第三边的长可能是（ ）
A．2 B．4 C．7 D．14
6．（2019·浙江杭州·模拟预测）若一个三角形的任意两条边都不相等，则称之为“不规则三角形”．顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，这样的“不规则三角形”的个数为（ ）
A．8 B．18 C．24 D．36
7．（八年级上·湖北武汉·期中）现有以下表述：
①三角形按边相等关系分类有三边都不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；
②三角形的三边中线一定交于一点，三角形的高也一定交于一点；
③平面上有四个点、、、，用它们作顶点可以构成3个或4个三角形；
④有8根木棒，长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8，其中最长边是8，另两边的差大于2，这样的三角形可以有4种．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（七年级下·河南驻马店·期末）已知是的三边长，其中是二元一次方程组的解，那么的值可能是下面四个数中的（ ）
A．2 B．6 C．10 D．18
9．（八年级上·广西贵港·期中）有长度为1，2，3，4的四条线段，任选其中三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（九年级下·湖南长沙·开学考试）在周长为25的三角形中，最短边是x，另一边是，则x的取值范围（ ）
A． B． C． D．
11．（八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，是中点，垂直平分，交边于点，交边于点，在上确定一点，使最大，则这个最大值为（ ）
A．10 B．5 C．13 D．
12．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，对角线交于点，且，点在内部，下列说法：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（21-22八年级上·陕西安康·阶段练习）图中以为边的三角形共有 个．
14．（七年级下·全国·课后作业）若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形．
15．（八年级上·河南许昌·阶段练习）乐乐同学有两根长度为4cm，7cm的木棒，母亲节时他想自己动手给妈妈钉一个三角形相框，现有五根长度分别为3cm，6cm，10cm，12cm，15cm的木棒供他选择，他有 种选择．
16．（七年级下·江苏无锡·期末）若二元一次方程组的解、的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为 ．
17．（七年级下·上海奉贤·期中）已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为 ．
18．（七年级下·四川成都·期中）我们规定：满足（1）各边互不相等且均为整数：（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数，这样的三角形称为“倍高三角形”，其中叫做“倍高系数”．如果是周长为13的“倍高三角形”，其“倍高系数” ；如果是“倍高三角形”，且，则周长最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（八年级上·山东淄博·阶段练习）已知，，是三角形的三边长．
(1)化简：；
(2)若，，，求（1）中式子的值．
20．（八年级上·重庆梁平·期中）已知三角形两边的长分别是4cm和9cm
(1)求第三边的取值范围；
(2)若第三边的长是偶数，求第三边的长；
(3)求周长的取值范围（第三边的长是整数）．
21．（八年级上·广东江门·阶段练习）如果一个三角形的一边长为，另一边长为．
(1)求这个三角形第三边的长的取值范围；
(2)当第三边长为偶数时，求三角形的周长．
22．（八年级上·海南省直辖县级单位·期末）探究：如图，用钉子把木棒、和分别在端点、处连接起来，用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是．
(1)若，，，试求的最大值和最小值；
(2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗
23．（八年级上·河南漯河·阶段练习）已知，，是三边的长．
(1)若，，满足，试判断的形状；
(2)化简．
24．（八年级上·江西上饶·期中）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡．已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米．
(1)第一条边长能否为10米？为什么？
(2)求的取值范围．
25．（七年级·全国·课时练习）把一条长为18米的细绳围成一个三角形,其中两边长分别为x米和4米.
(1)求x的取值范围;
(2)若围成的三角形是等腰三角形,求x的值.
26．（八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知木棒a长度为35厘米、木棒b长度为70厘米，
（1）若现要求选择第三根木棒c与木棒a、b首尾顺次连接组成一个三角形，请求出木棒c长度的取值范围；
（2）有一木棒长度为130厘米，现要求把其切割分为两根木棒d、e（木棒d、e的长度之和恰好为130厘米），若在a、d、e中任选2根木棒，它们与木棒b首尾顺次连接都能组成三角形，求木棒d长度的取值范围；
（3）若木棒d的长为偶数，求（2）中所有可能组成的三角形里最小的周长以及最大的周长分别是多少厘米？
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11.1.1三角形的边六大题型（一课一练）
【人教版】
一、单选题（本大题共12个小题，每题4分，共48分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．（八年级上·全国·课堂例题）三角形是（ ）
A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形
D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形
【答案】B
【详解】解：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，
故选：B．
2．（八年级上·山西吕梁·阶段练习）已知的三边长a，b，c满足等式，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】D
【详解】解: ∵，
∴，
解得：，
∴是等边三角形，
故选：D．
3．（八年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是三角形按常见关系进行分类的图，则关于P、Q区域的说法正确的是（ ）
A．P是等边三角形，Q是等腰三角形 B．P是等腰三角形，Q是等边三角形
C．P是直角三角形，Q是锐角三角形 D．P是钝角三角形，Q是等腰三角形
【答案】B
【详解】解：∵等边三角形是特殊的等腰三角形，
∴P是等腰三角形，Q是等边三角形，
故选：B．
4．（八年级上·河北保定·期末）下面不能组成三角形的三条线段是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、∵，
∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意；
B、∵，
∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意；
C、∵，
∴三条长分别为的线段不能构成三角形，符合题意；
D、∵，
∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意；
故选；C．
5．（七年级下·河南南阳·期末）一个三角形的两条边的长为5和7，若三角形周长为偶数，那么第三边的长可能是（ ）
A．2 B．4 C．7 D．14
【答案】B
【详解】设第三边为a，根据三角形的三边关系知，2＜a＜12．
由于这个三角形的周长为a+12，而且周长是偶数，
∴a为偶数，可以为4、6、8、10．
故选：B．
6．（2019·浙江杭州·模拟预测）若一个三角形的任意两条边都不相等，则称之为“不规则三角形”．顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，这样的“不规则三角形”的个数为（ ）
A．8 B．18 C．24 D．36
【答案】C
【详解】解：如图示：
设立方体的边长为，则在立方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能：
边长为，面对角线为，体对角线为．立方体有四条体对角线，先考虑其中的一条如，第三个顶点可以是 、、、、、 中之一，
有6个不规则三角形．因此所求的不规则三角形的个数是．
故选：．
7．（八年级上·湖北武汉·期中）现有以下表述：
①三角形按边相等关系分类有三边都不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；
②三角形的三边中线一定交于一点，三角形的高也一定交于一点；
③平面上有四个点、、、，用它们作顶点可以构成3个或4个三角形；
④有8根木棒，长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8，其中最长边是8，另两边的差大于2，这样的三角形可以有4种．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形，故原说法错误；
②三角形的三边中线一定交于一点，三角形的高也一定交于一点，故原说法正确；
③平面上有四个点A、B、C、D，当四点共线时，不能组成三角形，故原说法错误；
④有8根木棒，长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8，其中最长边是8，另两边的差大于2，这样的三角形可以有4种，故原说法正确；
理由如下：
三角形其他两边可以是：7和4、7和3、7和2、6和3，可拼成四种不同的三角形．
因为，且满足；且满足；且满足；且满足．
故选：B．
8．（七年级下·河南驻马店·期末）已知是的三边长，其中是二元一次方程组的解，那么的值可能是下面四个数中的（ ）
A．2 B．6 C．10 D．18
【答案】B
【详解】解：由题意可知：，
(2)-(1)式得：
a=6，代回(1)中，解得b=4，
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知，
6-4故选：B．
9．（八年级上·广西贵港·期中）有长度为1，2，3，4的四条线段，任选其中三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】解：首先任意的三个数组合可以是1，2，3或1，2，4或2，3，4或1，3，4．
根据三角形的三边关系：其中2+3=5>4，能组成三角形，其他均不能组成三角形
∴只能组成1个三角形．
故选A．
10．（九年级下·湖南长沙·开学考试）在周长为25的三角形中，最短边是x，另一边是，则x的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵周长为25的三角形中，最短边是x，另一边是，
∴第三边长为，
∴，
解得，
∵最短边是x，
∴
解得，，
综上可知， ．
故选：D．
11．（八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，是中点，垂直平分，交边于点，交边于点，在上确定一点，使最大，则这个最大值为（ ）
A．10 B．5 C．13 D．
【答案】B
【详解】解：如图，延长交直线于P，在上任取一点不与点P重合，连接，，
∵，，
∴，
∴此时，最大，最大值等于长，
∵D是中点，
∴，
∴最大值，
故选：B．
12．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，对角线交于点，且，点在内部，下列说法：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：因为；
由等底同高可得；
故①正确；
延长交于Q，
因为，，
所以，
即，
所以，
所以；
故②正确；
因为，；
所以；
即；
故③正确；
因为，；
所以；
所以；
即；
故④正确；
所以正确的有4个；
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（21-22八年级上·陕西安康·阶段练习）图中以为边的三角形共有 个．
【答案】
【详解】解；图中以为边的三角形有，，共个．
故答案为：．
14．（七年级下·全国·课后作业）若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形．
【答案】 8 cm，12 cm，12 cm 等腰
【详解】解：设三角形三边的长度比为，
则：，
解得：
∴
故答案为：①8 cm，12 cm，12 cm②等腰
15．（八年级上·河南许昌·阶段练习）乐乐同学有两根长度为4cm，7cm的木棒，母亲节时他想自己动手给妈妈钉一个三角形相框，现有五根长度分别为3cm，6cm，10cm，12cm，15cm的木棒供他选择，他有 种选择．
【答案】2
【详解】解：设第三根木棒的长度为，
若要构成三角形，则，即，
所以在3cm，6cm，10cm，12cm，15cm这5根木棒中，满足的只有和这2根，
即他有2种选择，
故答案为：2．
16．（七年级下·江苏无锡·期末）若二元一次方程组的解、的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为 ．
【答案】2
【详解】
①-②得：y=3-m
把y=3-m代入②，得x=3m-3
故方程组的解为
若x为腰，y为底，则2x+y=7
即2(3m-3)+3-m=7
解得：m=2
此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件
若y为腰，x为底，则2y+x=7
即2(3-m)+3m-3=7
解得：m=4
此时x=9，y=-1，不合题意
若x=y，即3m-3=3-m
解得：
此时腰为，底为
但+<4，不符合构成三角形的条件
故不合题意
所以满足条件的m为2
故答案为：2
17．（七年级下·上海奉贤·期中）已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：设第三边为，
根据三角形的三边关系，得：，
即，
为整数，
的最小值为．
故答案为：．
18．（七年级下·四川成都·期中）我们规定：满足（1）各边互不相等且均为整数：（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数，这样的三角形称为“倍高三角形”，其中叫做“倍高系数”．如果是周长为13的“倍高三角形”，其“倍高系数” ；如果是“倍高三角形”，且，则周长最小值为 ．
【答案】 2或3 36
【详解】根据倍高三角形的定义和三角形的三边关系得：
是周长为13，
最长边小于，
各边互不相等且均为整数，
最长边为6，较短两边为2和5或3和4，
最短边上的高与最长边上的高的比值为整数，
，或即或3；
设，，，
，
，，，
，，
分子的变化比分母的变化要快，
随着k的增大则随着k的增大周长在增大，周长在增大，
最短边上的高与最长边上的高的比值为整数，
当时的周长有最小值，
∴，
周长最小值为，
故答案为： 2或3；36．
三、解答题（本大题共8个小题，共84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（八年级上·山东淄博·阶段练习）已知，，是三角形的三边长．
(1)化简：；
(2)若，，，求（1）中式子的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）∵，，是三角形的三边长，得，
∴
．
（2）当，，时，
原式．
20．（八年级上·重庆梁平·期中）已知三角形两边的长分别是4cm和9cm
(1)求第三边的取值范围；
(2)若第三边的长是偶数，求第三边的长；
(3)求周长的取值范围（第三边的长是整数）．
【答案】(1)第三边的取值范围是5cm【详解】（1）设第三边长为xcm，
9-4=5（cm），
9+4=13（cm），
∴第三边的取值范围是5cm（2）由题意可知，其中偶数为6，8，10，12，
∴第三边的长为6cm，8cm，10cm，12cm．
（3）周长=4+9+第三边，
∵5cm<第三边<13cm，
∴18cm<周长<26cm．
21．（八年级上·广东江门·阶段练习）如果一个三角形的一边长为，另一边长为．
(1)求这个三角形第三边的长的取值范围；
(2)当第三边长为偶数时，求三角形的周长．
【答案】(1)第三边的长(2)三角形的周长为或
【详解】（1）解：∵一个三角形的一边长为，另一边长为，设第三边的长为，
∴，
∴，
即这个三角形第三边的长的取值范围是：第三边的长；
（2）解：∵，且为偶数，
∴
当时，三角形的周长为，
当时，三角形的周长为，
∴三角形的周长为或
22．（八年级上·海南省直辖县级单位·期末）探究：如图，用钉子把木棒、和分别在端点、处连接起来，用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是．
(1)若，，，试求的最大值和最小值；
(2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗
【答案】(1)最大值为19，最小值为3(2)
【详解】（1）要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点从左到右依次为、、、．
，，，
，
要求的最小值，即将绕顺时针方向旋转，使其与共线；将绕点逆时针方向旋转，使其与共线，即四点从左到右依次为、、、．
，，，
．
综上，的最大值是19，最小值是3．
（2）要围成四边形，则的取值范围为：．
23．（八年级上·河南漯河·阶段练习）已知，，是三边的长．
(1)若，，满足，试判断的形状；
(2)化简．
【答案】(1)等边三角形(2)
【详解】（1），
且，
，
为等边三角形；
（2），，是的三边长，
，，，
，，，
．
24．（八年级上·江西上饶·期中）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡．已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米．
(1)第一条边长能否为10米？为什么？
(2)求的取值范围．
【答案】(1)不能．理由见解析(2)的取值范围是
【详解】（1）不能．理由如下：
由题意得：第一条边长为m米，则第二条边长为米，第三条边长为米，
若第一条边长为10米，则第二条边长为28米，第三条边长为12米，
而，不符合三角形两边的和大于第三边，
不能构成三角形．
第一条边长不能为10米．
（2）由题意，知三角形的三边长分别为米，米，米，
则解得．
由三角形两边的和大于第三边，得，
解得．
故的取值范围是．
25．（七年级·全国·课时练习）把一条长为18米的细绳围成一个三角形,其中两边长分别为x米和4米.
(1)求x的取值范围;
(2)若围成的三角形是等腰三角形,求x的值.
【答案】(1)5【详解】（1）由题意可得：18-4-x-4解得：5（2）①当x为底边长时，由题意可得：
4+4+x=18，解得：x=10，
又∵5∴x=10不符合题意，舍去；
②当x为腰长时，由题意可得：
x+x+4=18，解得x=7，
又∵5∴x=7符合题意.
26．（八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知木棒a长度为35厘米、木棒b长度为70厘米，
（1）若现要求选择第三根木棒c与木棒a、b首尾顺次连接组成一个三角形，请求出木棒c长度的取值范围；
（2）有一木棒长度为130厘米，现要求把其切割分为两根木棒d、e（木棒d、e的长度之和恰好为130厘米），若在a、d、e中任选2根木棒，它们与木棒b首尾顺次连接都能组成三角形，求木棒d长度的取值范围；
（3）若木棒d的长为偶数，求（2）中所有可能组成的三角形里最小的周长以及最大的周长分别是多少厘米？
【答案】（1）木棒c长度的取值范围是35cm＜c＜105cm；（2）35cm＜d＜95cm；（3）最小的周长是141cm，最大的周长是209cm．
【详解】（1）根据三角形的三边关系，得70﹣35＜c＜70+35，即35＜c＜105．
∴木棒c长度的取值范围是：35cm＜c＜105cm；
（2）a＝35cm，b＝70cm，d+e＝130cm．
①如果a、d、b能组成三角形，那么35cm＜d＜105cm；
②如果a、e、b能组成三角形，那么35cm＜e＜105cm，
∵d+e＝130cm，
∴25cm＜d＜95cm；
③如果d、e、b能组成三角形，那么|e﹣b|＜d＜e+b，即|130﹣d﹣70|＜d＜130﹣d+70，
解得：30cm＜d＜100cm，
综上所述，35cm＜d＜95cm；
（3）若木棒d的长为偶数，
①如果a、d、b能组成三角形，那么d最小值为36cm，最大值为104cm，
此时最小的周长是：35+70+36＝141（cm），最大的周长：35+70+104＝209（cm）；
②如果a、e、b能组成三角形，则d最小值为26cm，最大值为94cm，那么e最小值为36cm，最大值为104cm，
此时最小的周长是：35+70+36＝141（cm），最大的周长：35+70+104＝209（cm）；
③如果d、e、b能组成三角形，那么周长是：130+70＝200（cm）．
综上所述，最小的周长是141cm，最大的周长是209cm．
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