2022-2023学年湖南省衡阳九中九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省衡阳九中九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共12小题，共36分）
1.下列实数为无理数的是( )
A. B. C. D.
2.下面的计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.某射击爱好者的次射击成绩单位：环依次为：，，，，，，，，，，则下列结论正确的是( )
A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是
5.对任意四个有理数，，，定义新运算：，已知，则( )
A. B. C. D.
6.如图，直线与相交于点，，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
7.下列命题正确是( )
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有两条边对应相等的两个直角三角形全等
C. 垂直于圆的半径的直线是切线
D. 对角线相等的平行四边形是矩形
8.已知点在第四象限，则实数的取值范围在数轴上表示正确的为( )
A. B.
C. D.
9.已知关于的分式方程无解，则的值是( )
A. 或 B. 或 C. D.
10.如图，将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接若，则图中阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，在矩形中，为对角线，点关于的对称点为点，连接，，交于点，过点作，垂足为，过点作垂足为，若，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，，，两点．若，则下列四个结论：；；；，正确结论的个数为
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本题共6小题，共18分）
13.若代数式有意义，则的取值范围是______．
14.分解因式： ．
15.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
16.育才学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的名同学男女组成了“关爱老人”志愿小分队．若从该小分队中任选名同学参加周末的志愿活动，则恰好是男女的概率是______．
17.在中，，，，则的面积是______．
18.如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则______．
三、解答题（本题共7小题，共58分）
19.计算：．
20.如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：．
21.某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同学必须且只能选择一项球类运动，对该校学生随机抽取进行调查，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
运动项目 频数人数
羽毛球
篮球
乒乓球
排球
足球
本次随机抽取的学生共有______人，频数分布表中的______，______；
在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为多少度？
全校大约有多少名学生选择参加乒乓球运动？
22.年秋季，中小学开始实施义务教育劳动课程标准年版，传递了“双减”背景下加强劳动教育的鲜明信号，某校准备利用学校劳动实践基地，开展劳动教育现欲购进甲、乙两种菜苗供学生栽种已知用元购进甲种菜苗的数量比用元购进乙种菜苗的数量多棵，单独购一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗共需元．
求购进一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗各需要多少元；
学校准备购进两种菜苗共棵，甲种菜苗不少于棵，不多于棵，则购买总费用最少需要多少元？
23.无人机爱好者小新尝试利用无人机测量他家所住的楼房的高度小新站在距离楼房米的处，他操作的无人机在离地面高度米的处，无人机测得此时小新所处位置的俯角为，楼顶处的俯角为在同一平面内
求楼房的高度；
在的条件下，若无人机保持现有高度且以米秒的速度沿平行于的方向继续匀速向前飞行，请问：经过多少秒，无人机刚好离开小新的视线？
24.如图，是的直径，点是直径上不与，重合的一点，过点作，且，连接交于点，在上取一点，使．
求证：是的切线；
当是的中点时，，求的长．
25.如图，矩形的边、在坐标轴上，点坐标为，点是射线上的一动点，把矩形沿着折叠，点落在点处．
当点、、共线时，______；
如图，当点与点重合时，与轴交于点，过点作，交于点，请判断四边形的形状，并说明理由；
若点正好落在轴上，请直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意；
故选：．
根据无理数的定义解答即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
2.【答案】
【解析】解：、，故原计算错误，不合题意；
B、，故原计算错误，不合题意；
C、，故原计算正确，符合题意；
D、，故原计算错误，不合题意；
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．
此题考查的是同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：、出现了次，出现的次数最多，该组成绩的众数是，故本选项不符合题意；
B、该组成绩的中位数是，故本选项不符合题意；
C、该组成绩，故本选项符合题意；
D、该组成绩数据的方差，故本选项不符合题意；
故选：．
根据众数、中位数、平均数和方差的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了平均数、中位数、众数和方差的定义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了定义新运算和一元一次方程的解法．根据新定义运算规则，得，解方程求出的值即可．
【解答】
解：因为，
所以，
即，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了角的和差关系，掌握“对顶角相等”是解决本题的关键．
先求出的度数，再根据角的和差关系得结论．
【解答】
解：，
．
，，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：、一组对边平行，这组对边相等的四边形是平行四边形，所以选项错误；
B、有两组边对应相等的两个直角三角形全等，所以选项错误；
C、过半径的外端且垂直于圆的半径的直线是切线，所以选项错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项正确．
故选：．
根据平行四边形的判定方法对进行判断；根据直角三角形全等的判定方法对进行判断；根据切线的判定定理对进行判断；根据矩形的判定方法对进行判断．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
8.【答案】
【解析】解：点在第四象限，
，
解得，
解集在数轴上的表示为：
故选：．
根据第四象限内点的坐标特点列出关于的不等式组，求出的取值范围，并在数轴上表示出来即可．
本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．
9.【答案】
【解析】解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
分式方程无解，
或，
时，，
将代入，
解得，
综上，或，
故选：．
根据分式方程无解，需要对化简后的整式进行讨论，可能是整式方程无解，也可能是整式方程的解是原分式方程的增根，即可求解．
本题主要考查的是利用分式方程无解求参数的值，理解分式方程无解的解题方法是解题关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
由翻折的性质得到，而，得到是等边三角形，求出扇形的面积，的面积，即可求出阴影的面积．
【解答】
解：连接，直线与交于点，如图所示，
扇形中，，
，
点与圆心重合，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积为：．
11.【答案】
【解析】解：点关于的对称点为点，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
三角形是等腰三角形，
，
，，
，
∽，
，即，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
．
故选：．
根据轴对称的性质得，由矩形的性质得，则，三角形是等腰三角形，可得，证明∽，根据相似三角形的性质可得，由得是的中位线，可，即可求解．
本题考查矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，中位线定理等，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：对称轴为直线，，
，正确，
，
，
，
，
，错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
由题意可知时，，
，
，
，
，
，
，
，正确；
抛物线开口向上，与轴的交点在轴下方，
，，
，
，，
，
，
，
，
所以错误；
故选：．
根据二次函数的对称性，即可判断；由开口方向和对称轴即可判断；根据抛物线与轴的交点已经时的函数的取值，即可判断；根据抛物线的开口方向、对称轴，与轴的交点以及，即可判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
13.【答案】
【解析】解：代数式有意义，
，
．
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数，可得：，据此求出的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
14.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15.【答案】且
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
．
又是一元二次方程的二次项系数，
．
故答案为：且．
要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于，得到的取值范围，因为方程是一元二次方程，所以不为．
本题考查的是根的判别式，当判别式的值大于时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是．
16.【答案】
【解析】解：列表如下：
男 女 女
男 女，男 女，男
女 男，女 女，女
女 男，女 女，女
由表可知，共有种等可能结果，恰好是男女的有种结果，
所以恰好是男女的概率为，
故答案为：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】或
【解析】解：作交于点，
设，则．
在中，
．
中，，
，即，
，
解得或．
或，
的面积或．
故答案为：或．
作交于点，设，用勾股定理得出，再由可得是的倍列出方程可得的值，再根据三角形的面积公式可得答案．
本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数并运用勾股定理．
18.【答案】
【解析】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为，
的纵坐标和的纵坐标相同为，
的横坐标和的横坐标相同为，
的纵坐标和的纵坐标相同为，
的横坐标和的横坐标相同为，
的纵坐标和的纵坐标相同为，
的横坐标和的横坐标相同为，
由上可知，，，，，，，个为一组依次循环，
，
，
故答案为：．
根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、，从而得到每次变化为一个循环组依次循环，用除以，根据商的情况确定出即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐标，观察出每次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
19.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】证明：，
，
即．
，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
【解析】先证，再证，然后证≌，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
21.【答案】解：，，；
“排球”所在的扇形的圆心角为；
全校总人数是名，
则选择参加乒乓球运动的人数是名，
答：全校大约有名学生选择参加乒乓球运动．
【解析】解：抽取的人数是人，
则，
．
故答案是：，，；
见答案。
根据选择乒乓球运动的人数是人，对应的百分比是，即可求得总人数，然后利用百分比的定义求得，用总人数减去其它组的人数求得；
利用乘以对应的百分比即可求得；
求得全校总人数，然后利用总人数乘以对应的百分比求解．
本题考查读扇形统计图获取信息的能力，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数单位，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
22.【答案】解：设购进一棵甲种菜苗需要元，则购进一棵乙种菜苗需要元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去，
．
答：购进一棵甲种菜苗需要元，一棵乙种菜苗需要元；
设购进甲种菜苗棵，购买总费用为元，则购买乙种菜苗棵，
根据题意得：，
即．
，
随的增大而减小，
又，
当时，取得最小值，最小值为．
答：购买总费用最少需要元．
【解析】设购进一棵甲种菜苗需要元，则购进一棵乙种菜苗需要元，利用数量总价单价，结合用元购进甲种菜苗的数量比用元购进乙种菜苗的数量多棵，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出购进一棵甲种菜苗所需费用，再将其代入中，即可求出购进一棵乙种菜苗所需费用；
设购进甲种菜苗棵，购买总费用为元，则购买乙种菜苗棵，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
23.【答案】解：作，交于，，交于，
由题意可知，，米，米，
则米，
米，
，，易知四边形为矩形，与飞行方向平行，
，米，，
米，
米；
延长与飞行方向相交于，
由知米，米，
，
，
，，
米，
无人机保持现有高度且以米秒的速度沿平行于的方向继续匀速向前飞行，
无人机刚好离开小新的视线的时间为：秒，
即：经过秒，无人机刚好离开小新的视线．
【解析】作，交于，，交于，由题意可知，，米，米，四边形为矩形，与飞行方向平行，可得，，的长度，，求得，进而可得楼房的高度；
延长与飞行方向相交于，由知米，米，可得，则，，易知，求出，再由无人机的速度即可得到时间．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
24.【答案】证明：连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线．
解：连接，如图所示：
是的直径，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，，
∽，
，
，
．
【解析】连接，由垂直得，同圆半径相等推，再由已知条件推，等量代换的的角从而证出是的切线；
由是的直径，得角，由中点定义得线段相等，进一步用勾股定理求线段长，再用三角形相似求比例线段从而求出的长．
本题考查了勾股定理、切线的判断，圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些定理性质的熟练应用，、相似三角形的判定是解决本题的关键．
25.【答案】
【解析】解：如图，四边形是矩形，点坐标为，
，，，
由勾股定理得：，
由折叠的性质得：，
当点、、共线时，，
故答案为：；
四边形是菱形，理由如下：
如图，设交于，
由折叠的性质得：，，
四边形是矩形，
，
，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
分两种情况：
如图，点在轴正半轴上时，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，，
在中，由勾股定理得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
；
如图，当在轴的负半轴上时，
同得：，则，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
综上所述，点的坐标为或．
由翻折的性质得得到，再根据勾股定理可以求出的长，然后由点、、共线时，可知，即可求解；
先证≌，得，再证四边形是平行四边形，然后由，即可得出结论；
分两种情况，点在轴正半轴上时，根据勾股定理列方程可得的长，即可得出结论；
当在轴的负半轴上时，根据勾股定理列方程可得的长，即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查的是矩形的性质、菱形的判定、坐标与图形性质、平行四边形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
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