高中数学人教A版（2019）必修2 第八章 8.6.2 直线与平面垂直（第2课时） 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
第七章
8.6.2 直线与平面垂直（第2课时）
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解直线与平面垂直的性质定理，并会用直线与平面垂直的性质定理证明相关问题； 1.几何直观素养和逻辑推理素养.
2.理解直线到平面的距离、两个平面间的距离的概念，并会求直线到平面的距离. 2.空间想象素养和逻辑推理素养.
温故知新
1.直线与平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.
2.直线与平面垂直的判定定理
定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
用符号语言表示
l⊥m,l⊥n,m α,n α,m∩n=P l⊥α.
图形语言表示
α
P
l
m
n
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．
3.点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段．垂线段的长度叫做点到该平面的距离．
新知引入
观察下列图片，你能发现什么线、面关系的规律吗？
下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线a与平面α垂直的条件下能推出哪些结论.
根据已有经验，我们可以探究直线a与平面α内的直线关系. 但由定义， a与α内的所有直线垂直. 所以，可以探究a ， α与其他直线或平面的关系.
我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 . 在空间中是否有类似的性质呢？
新知引入
(1)如图1，在长方体ABCD-A′B′C′D′中,棱AA′、BB′ 、 CC′ 、DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系
(2)如图2，已知直线a、b和平面α . 如果a⊥α, b⊥α，那么直线a、 b一定平行吗
可以发现 , 这些直线相互平行 . 不失一般性，我们以(2)为例加以证明.
新知探究
如图，假设a与b不平行，且b∩α=O.
显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可确定一个平面.
在该平面内过点O作直线b′//a, 则直线b与b'是相交于点O的两条不同直线,所以直线b与b'可确定平面β.
设α∩β=c, 则O∈c.
因为a⊥α, b⊥α，所以a⊥c, b⊥c.
又因为b′//a , 所以b'⊥c.
这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b、b′与c垂直，显然不可能.
因此 b//a.
由于无法把两条直线a、b归入到一个平面内，所以在定理的证明中，无法应用平面直线的判定知识，也无法应用基本事实4，在这种情况下我们采用了“反证法”．
a
b
α
O
b′
c
β
新知探究
这样，我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理.
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言表示
a⊥α, b⊥α a//b.
图形语言表示
作用：判断线线平行
线面垂直 线线平行
直线与平面垂直的性质定理告诉我们 , 可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行.直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.
新知探究
在a⊥α的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论 如果平面α与平面β平行，你又能得到什么结论
b
a
a⊥α，b⊥a，b α b//α.
a
a⊥α，α//β a⊥β.
α
β
a
在a⊥α的条件下，如果a⊥β，又能得到什么结论？
a⊥α，a⊥β α//β.
知新探究
【例1】如图，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等.
证明：
过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1.
∴AA1＝BB1.
∵ AA1⊥α，BB1⊥α，
∴AA1//BB1.
∵l∥α，
∴l∥A1B1.
设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α＝A1B1，
∴四边形AA1B1B是矩形.
由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等.
知新探究
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
a
α
由例1还可以进一步得出，
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
α
β
在棱柱、棱台的体积公式中，它们的高就是它们底面间的距离.
知新探究
【例2】推导棱台体积公式
其中S′,S分别是棱台的上、下底面面积，h是高．
解：
如图，延长棱台各侧棱交于一点P，得到截得棱台的棱锥．过点P作棱台下底面的垂线，分别交棱台的上、下底面于点O′，O，
∴棱台的体积
∴.
.
设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为V′，高为h′．则PO′=h′．
则PO垂直于棱台的上底面．从而O′O＝h．
知新探究
【例2】推导棱台体积公式
其中S′,S分别是棱台的上、下底面面积，h是高．
解：
.
,
由棱台的上、下底面平行，棱台的上、下底面相似，并且
.
∴.
知新探究
【例3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.
证明：AE∥MN.
证明：
∵AD＝AP，E是PD的中点，
∴AE⊥AB，
∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
又AB∥CD，
∴AE⊥PD.
∴AE⊥CD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，
∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，
∴AE∥MN.
知新探究
【例4】已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5.
⑴求点B1到平面A1BCD1的距离；
⑵求B1C1到平面A1BCD1的距离．
解：
∵AD＝AP，E是PD的中点，
⑴如图，过点B1作B1E⊥A1B于点E.
由题意知BC⊥平面A1ABB1，且B1E 平面A1ABB1，
∴BC⊥B1E.
∴AE⊥PD.
又BC∩A1B＝B，
∴B1E⊥平面A1BCD1，
∴线段B1E的长即为所求.
∵MN⊥AB，AB∥CD，
∴MN⊥CD.
在Rt△A1B1B中，
B1E＝，
∴点B1到平面A1BCD1的距离为.
知新探究
【例4】已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5.
⑴求点B1到平面A1BCD1的距离；
⑵求B1C1到平面A1BCD1的距离．
解：
⑵∵B1C1∥BC，且B1C1 平面A1BCD1，BC 平面A1BCD1，
∴B1C1∥平面A1BCD1.
∴点B1到平面A1BCD1的距离即为所求，
∴B1C1到平面A1BCD1的距离为.
初试身手
1.如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a α，a⊥AB.求证：a∥l.
证明：
∵PA⊥α,l α.
∴PA⊥l.
∵PA∩PB＝P，PA，PB 平面PAB，
∴a∥l.
又∵PA⊥α，a α，
∴a⊥平面PAB.
同理PB⊥l.
∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴l⊥平面PAB.
初试身手
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2.
⑴写出点A到平面BCC1B1的距离;
⑵写出直线AB到平面A1B1C1D1的距离;
⑶写出平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离.
解：
⑵∵AB∥平面A1B1C1D1,
⑴点A到平面BCC1B1的距离h1=AB=4.
⑶∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1,
∴AB到平面A1B1C1D1的距离h2=AA1=2.
∴平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离h3=AB=4.
初试身手
3.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥平面BCC1B1，F为B1C1的中点.求证：直线A1F∥平面ADE.
证明：
∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F 平面A1B1.
又CC1 平面BCC1B1，B1C1 平面 BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
又AD⊥平面BCC1B1，
∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点,
∴A1F∥AD.
∴A1F∥平面ADE.
∴A1F⊥B1C1，
∴CC1⊥A1F.
∴A1F⊥平面BCC1B1.
又AD 平面ADE，A1F 平面ADE,
课堂小结
1.直线与平面垂直的性质定理
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言表示
a⊥α, b⊥α a//b.
图形语言表示
线面垂直 线线平行
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
2.直线到平面的距离、平面到平面的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
作业布置
作业： P155 练习 第2，3, 4题
P164-165 习题8.6 第12, 19，20题
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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